Bonjour,

J'ai le nombre complexe suivant: z=1-e^j(pi/4)

Pour trouver son module je transforme la forme exponentielle en forme algéribrique, je trouve z=1-racine(2)/2+j racine(2)/2

Pour le module j'obtiens: |z|=racine(2-racine(2))

Mon module est-il juste?

Ensuite pour l'argument je ne vois pas trop comment partir, car je n'ai pas de valeurs "connues" qui me permettent de déterminer l'argument...

Et enfin comment faire pour en déduire que sin(pi/8)= (racine(2-racine(2)))/2?

Merci d'avance! :) 

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Edité par MaxeinlorPhy 25 août 2017 à 2:48:23

Le module est juste.

Il faut le mettre en facteur cela te donne la valeur du cosinus et du sinus de l'argument.

Tu dois trouver \(\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\).

Là en élevant au carré et en réordonnant correctement, une identité trigonométrique va te donner une valeur connu pour \(\cos 2 \theta\) , d'où \(\theta\). Il y a deux solutions, utilier le signe du sinus pour choisir la bonne.

Ensuite, une fois ce résultat obtenu, \(\sin \theta/8\) sera facile.

( remarque: l'utilisation de la formule de Moivre entre \(\pi/4\) et \(\pi/8\) , si tu connais, te donne plus  facilement  la valeur )  

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Edité par Sennacherib 25 août 2017 à 12:50:56

J'ai mit le module en facteur, j'obtiens donc:

cos(x)=(racine(2-racine2))-racine(2)racine(2-racine(2)))/(2-racine(2))

désolé pour mon écriture mathématiques, mais je n'arrive pas à écrire avec les balises ^^"

je sens qu'il y a un truc à simplifier mais je ne vois pas comment, merci d'avance!

EDIT: j'ai trouvé!

Pour la suite je trouve: cos(x)=1/2-racine(2)/4 je vois pas quoi faire avec cela en factorisant par 1/2 cela ne m'aide pas ^^"

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Edité par MaxeinlorPhy 25 août 2017 à 15:15:47

en fait, il y a une façon encore plus immédiate d'aboutir au résultat pour l'argument et pour \(\sin \theta \)au résultat.

Il suffit de mettre \(e^{i \pi /8}\) en facteur pour obtenir directement la forme exponentielle de \(z\).En effet \(z\) s'écrit alors :

\(z=e^{i \pi /8}(e^{-i \pi /8}-e^{i \pi /8}=-2i \sin \pi/8 e^{i \pi /8}=2 \sin \pi/8 e^{-i3 \pi /8}  \)

\(2 \sin \pi/8\) est donc le module de \(z\) précédemment calculé d'où le sinus.

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Edité par Sennacherib 25 août 2017 à 16:29:35

hello,

perso, j'aurai plutôt mis \( e^{j \frac{\pi}{8} } \) en facteur dans la première expression pour avoir :  \( e^{j \frac{\pi}{8} }\left( e^{-jpi/8} -  e^{jpi/8} \right) \) 

du coups, tu as \( \left( e^{-jpi/8} -  e^{jpi/8} \right) = - 2i sin( \pi / 8 ) \) . et tu transforme -i en exponentielle : \( -i = e^{-pi/2} \)  soit 

\[ z= 2 sin( \pi / 8 ) e^{j \left( \pi /8 - \pi /2 \right) } =2 sin( \pi / 8 ) e^{j ( -3 \pi /8 ) }   \]

grrrr, doublé par  Sennacherib

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Edité par edouard22 25 août 2017 à 16:38:59

edourd22, 1mn30 trop tard pour la solution simple! 

pour le premier calcul, on a  \(\cos \theta=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\).d'où \(4 \cos^2 ( \theta) =2-\sqrt{2}\)et donc \(\cos(2 \theta )=-\sqrt{2}/2\) ,  

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliquer ...ruse calculatoire d'ornithorynque! 

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Edité par Sennacherib 25 août 2017 à 16:48:57

J'arrive à obtenir vos deux formes, sauf: cos(2x)=-racine(2)/2 ^^'

merci de votre aider

EDIT: J'ai trouvé!! merci je suis passé par les formules de réduction du carré

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Edité par MaxeinlorPhy 25 août 2017 à 16:43:45

Sennacherib a écrit:

edourd22, 1mn30 trop tard pour la solution simple!  

Oui, mais ma solution est mieux écrite je ne sais pas quelle solution étaient attendu. la première est très ornithorynque :p 

Sinon, MaxeinlorPhy, si tu te demande pourquoi on a mis exp(j pi/8) en facteur, c'est car cela corresponds à l'angle moitié entre 1 et pi/4.  Cela permet à chaque fois faire apparaitre un cosinus ou un sinus

MaxeinlorPhy a écrit:

J'arrive à obtenir vos deux formes, sauf: cos(2x)=-racine(2)/2 ^^'

Cela vient du fait que \( cos(x)^2 = \frac{ 1 + cos(2x)}{2} \)

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Edité par edouard22 25 août 2017 à 16:44:25

edouard22 a écrit:

Sinon, MaxeinlorPhy, si tu te demande pourquoi on a mis exp(j pi/8) en facteur, c'est car cela corresponds à l'angle moitié entre 1 et pi/4.  Cela permet à chaque fois faire apparaitre un cosinus ou un sinus

Parce que 1=e^j0 et donc la moitié entre pi/4 et 0 c'est pi/8? une technique à retenir alors?

remarque: MaxinlorPhi ,il serait bon que tu apprennes le LaTeX de base si tu postes régulièrement, parce que dès que les formules sont  lourdes, ce que tu écris devient illisible.

Je vais regarder merci!

ouep technique à retenir. Par contre, tu as pas fait un sujet sur les dérivée il y a pas longtemps ? J'y ai répondu, il y a 30minutes, et le sujet a disparu...

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Edité par edouard22 25 août 2017 à 17:39:37

Je l'ai supprimé sans faire exprès en essayant de le recréer avec du LaTex xD

Donc je cherche où apprendre à rédiger comme vous car je tombe sur https://openclassrooms.com/forum/sujet/comment-rediger-des-maths-sur-le-site-du-zero ou il manque des trucs (normal) et je trouve pas genre comment rédiger une limite

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Edité par MaxeinlorPhy 25 août 2017 à 17:43:49

hello. 

Tu as plusieurs façon de faire ça :  

\( lim_{x \rightarrow a^- } f(x) =  lim_{x \rightarrow a^+ } f(x)   \) 

qui donne \( lim_{x \rightarrow a^- } f(x) =  lim_{x \rightarrow a^+ } f(x)   \)  ou :

\( \underset{x \rightarrow a^- }{ lim} f(x) = \underset{x \rightarrow a^+ }{ lim} f(x)  \) 

\( \underset{x \rightarrow a^- }{ lim} f(x) = \underset{x \rightarrow a^+ }{ lim} f(x) \)  ou :

\( \underset{x \rightarrow a^- }{lim} \: f(x) = \underset{x \rightarrow a^+ }{lim} \: f(x) \) 

\( \underset{x \rightarrow a^- }{lim} \: f(x) = \underset{x \rightarrow a^+ }{lim} \: f(x) \) 

tu utilise \underset{a}{b} pour écrire a sous b ou _ pour mettre  quelque chose en indice. tu as tout ici : 

https://fr.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Écrire_des_mathématiques

Ca a l'air compliqué, et long a écrire, mais tu peux écrire des formules assez compliqué de façon assez simple comme : 

\[ \underset{\beta,W}{min}\: J_{3}(\beta,W)  = \underset{\beta,W}{min} \: \sum_{c}\left( \frac{\beta_{c}}{2}  \|W_{c}\|^{2} + \frac{1}{n\lambda} \max\left(0,1-y_{i}\sum_{j}B_{j}W_{j}^{T}\phi_{j} \right) \right) + \chi \sum_i \|x_i - argmin \| x_i - \mu_c\| \|^2 \]

edit : je viens de voir,Sennacherib, que tu utilisais dfrac au lieu de frac pour écrire une fraction, cela change quoi ? 

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Edité par edouard22 25 août 2017 à 18:26:37

J'ai regardé un peu et j'ai essayé mais le résultat est pas tout à fait là ^^', merci je continuerai à apprendre!