Bonjour ! 

Je suis en train d'essayer de refaire un TD de l'année dernière de physique, et je bloque sur une question, dans l'exercice 2 de cette feuille : 

J'arrive sans trop de problèmes à répondre à toutes les questions, hormi la numéro 3. Comment obtenir v(x), sachant que je connais v(t) ?
Je pourrais bien calculer x(t), puis calculer une fonction réciproque pour obtenir t(x), remplacer dans ce que je connais déjà, mais la difficulté de la fonction réciproque à trouver, et l'ordre dans lequel les questions sont posées, ça ne ressemble pas à ce que je suis censé faire. Pourtant, j'ai beau chercher ailleurs, je ne trouve pas de solutions. 

Si vous pouviez m'aider

Bonjour,

je pense que on s'en sort en faisant un peu de trigonométrie hyperbolique.

En effet on voit que l'expression de \(v(t)\) peut s'écrire \(v=v_0\tanh(\frac{t}{\tau})\), ce qui par intégration donne \(x(t)=v_0\tau\ln(\cosh(\frac{t}{\tau}))\),

on a aussi l'identité  \(\cosh^2 =\dfrac{1}{1-\tanh^2}\) 

En manipulant ces relations, on élimine facilement le temps.

Tu devrais aboutir à quelque chose de la forme \(v(x)=\sqrt{v_0^2(1-\exp (\dfrac{ -2x}{v_0 \tau}))}\)    

edit:  le seul truc dans ma suggestion c'est que  on répond en fait à la question 4) avant 3) ...mais personnellement je ne vois pas trop comment faire autrement.

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Edité par Sennacherib 16 septembre 2017 à 10:45:46

En effet, c'est pas si compliqué que ça de manipuler un peu l'expression de x pour retomber sur v(t), mais j'avoue que j'ai déjà du mal avec les formules de trigo, quand on passe à la trigo hyperbolique je suis plus trop là :D 

Sinon, je pense avoir trouvé une autre méthode qui ne nécessite pas de calculer x(t) avant, mais elle ne marche pas pour une raison que j'ignore, donc où c'est une bête connerie dans les calculs, ou j'ai violé quelques principes mathématiques

On part du PFD : \[m \frac{dv}{dt} = mg\sin( \alpha)-v^{2}kS/2 = mgsin(\alpha) (1-\frac{v^{2}}{v_{l}^{2}})\], avec \(v_{l} = \sqrt{\frac{2sin(\alpha)mg}{KS}}\)

Donc : \[m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} =  mgsin(\alpha) (\frac{v_{l}^{2}-v^{2}}{v_{l}^{2}})\] Or, dx/dt = v. Donc \[\frac{v}{v^{2}-v_{l}^{2}} dv =  \frac{dx}{x_{l}}\], avec \(x_{l} = \frac{v_{l}^{2}}{g\sin(\alpha)}\)

Jusqu'ici, ça me semble à peu près homogène, ou alors je ne comprends pas pourquoi ça ne l'est pas. (xl est homogène à une longueur, donc dx/xl est sans unité, tout comme l'autre membre). 

On intègre : \[-\frac{1}{2}ln(v^{2}-v_{l}^{2}) = \frac{x}{x_{l}}\]

Et là, c'est déjà bizarre, avec un argument de fonction qui est homogène à une grandeur physique. Forcément, ligne d'après : \[v^{2}-v_{l}^{2}= \exp(-2\frac{x}{x_{l}})\] ce qui est bien sûr complètement absurde. Je ne comprends pas pourquoi ce que j'ai fait ne marche pas, et à quel moment mon expression a cessé d'être homogène... C'est l'intégration qui pose problème ?

EDIT : A force de bidouiller, je suis tomber sur un autre truc assez étonnant. On repart de \[m \frac{dv}{dt} = mgsin(\alpha) (1-\frac{v^{2}}{v_{l}^{2}})\], et on pose \(y =\frac{v^{2}}{v_{l}^{2}}\) qui est sans dimension cette fois. 

On a \(dy = 2vdv\), d'où : \[\frac{1/2}{1-y}dy = \frac{dx}{x_{l}}\]

En intégrant : \(-1/2ln(1-y)=\frac{x}{x_{l}}\), d'où \(1-y = exp(\frac{-2x}{x_{l}})\)

\(y = 1- exp(\frac{-2x}{x_{l}}{x_{l}})\) d'où : \[v = v_{l}\sqrt{exp(\frac{-2x}{x_{l}})}) \], soit le même résultat que trouvé par Sennacherib (à ceci près que vu la qualité de ma photo, ce que tu as lu comme un \(v_{0}\) est en fait le \(v_{l}\) que l'on trouve dans la question 1 :) 

Si quelqu'un pouvait m'aider à identifier la légitimité du premier et du second cas, ce serait bien sympathique, car j'avoue ne pas trop comprendre pourquoi l'un marche et pas l'autre... 

Merci ! 

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Edité par gasasaa 16 septembre 2017 à 16:18:22

ta méthode est correcte ( après mon édit, perturbé par le fait que je répondais à 4 avant 3,  j'ai finalement pensé après coup à ce que tu as fait ...on évite ainsi la  trigo hyperbolique   )

mais, déjà attention aussi aux signes \(v^2-v_l^2 <0 \), ... dont   tu   prends sans sourciller  le logarithme,  

ton erreur principale vient du fait que tu oublies la  constante d'intégration   .

  Donc, \(\frac{1}{2}\ln(v_l^2 -v^2) =-\dfrac{x}{x_l} +C\)

Avec la condition initiale \(x=0,v=0.\), on obtient \(C= \frac{1}{2}\ln(v_l^2  )\), d'où \(\frac{1}{2}\ln (\dfrac{v_l^2-v^2}{v_l^2})=  -\dfrac{x}{x_l}  \) et on en tire bien la même relation que celle de mon post.

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Edité par Sennacherib 16 septembre 2017 à 18:50:08

Aaaaah ! Merci beaucoup ça me perturbait depuis un petit moment, c'était en fait tout con  Et bien vu en effet pour le log négatif, un petit rappel sur cette valeur absolue dans l'intégration me fait le plus grand bien. 

En revanche pour la constante d'intégration je ne l'avais pas oublié, je pensais qu'elle n'était pas nécessaire puisque l'on intègre entre 0 et v (ou entre 0 et x), donc avec des bornes. Même si dans ce cas, il aurait peut-être était malin de ma part de penser à retrancher le terme \(\frac{1}{2}ln(v_{l}^{2}-0^{2})\), qui m'aurait donné le même résultat

Bref, un grand merci à toi, bonne soirée ! 

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Edité par gasasaa 17 septembre 2017 à 3:33:19