EDIT : propriété vraie jusqu'à 18287 après vérification, le problème est résolu, merci.

Bonsoir,

Je suis tombé sur une étrange formule qui ne donne que des nombres premiers finissant par 7 si on prend en entrée un couple de nombres premiers jumeaux finissant par 7 et 9. Je m'explique.

On prend un couple de premiers jumeaux finissant par 7 et 9, par exemple 1427 et 1429. Et on calcule comme suit (avec sigma(n) la somme des diviseurs de n) : $$\sigma(1427+\sigma(1428+\sigma(1429)))$$ et si le résultat est un entier finissant par 8, alors on lui retranche 1 et le nombre obtenu finissant par 7 est toujours un nombre premier. Par exemple avec l'exemple ci-dessus on obtient le résultat 5718 et 5717 est un nombre premier.

Pour l'instant je n'ai pas trouvé de contre-exemple, j'ai parcouru plusieurs ordres de grandeur pour les jumeaux finissant par 7 et 9.

Quelqu'un aurait-il une explication à cette formule ?

Je vous remercie par avance.

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Edité par Craw 26 février 2022 à 3:00:55

Le problème m'intéresse.
Tu calcules la somme des diviseurs de (1427 + 1428 + 1429) = 4284 ?
Est-ce que tu inclus 1 et n lui-même comme diviseurs de n ?
En quel langage l'as-tu testé? Je pourrais le faire en Python ou en C.
Je pourrais facilement dépasser le million en C (voire le milliard?)

On ne regarde que les nombres de la forme 7+10k et 9+10k
Pour les diviseurs, on s'arrête à la racine carrée, car si d est un ddiviseur de n, alors n/d l'est également.

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Edité par PierrotLeFou 26 février 2022 à 4:12:07

Oui j'inclus 1 et n lui-même.

Par contre non je calcule bien sigma(1427+sigma(1428+sigma(1429))) = 5718.

J'ai demandé à quelqu'un de tester ma conjecture en Python, il a trouvé un contre-exemple avec les jumeaux 18287 et 18289.

Mais même s'il existe un contre-exemple le problème reste intéressant je trouve car on trouve pratiquement que des nombres premiers finissant par 7.

Il y a plusieurs contre-exemples. Je suis allé jusqu'à 100000. Voici mon code en Python:
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premier=lambda n: False if n<2 else True if n<4 else False if n%2==0 or n%3==0 else all(n%i and n%(i+2) for i in range(5, int(n**0.5+0.5)+1, 6))
def diviseurs(n):
    s=[1]
    l=[n]
    for d in range(2, int(n**0.5+0.5)+1):
        if n%d==0:
            s.append(d)
            l.append(n//d)
    if s[-1] == l[-1]: s.pop()
    l.reverse()
    return s+l
sigma=lambda n: sum(diviseurs(n))
for n in range(7, 100000, 10):
    if premier(n) and premier(n+2):
        s=sigma(n+sigma(n+1+sigma(n+2)))
        if s%10==8 and not premier(s-1): print(n)
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18287                                                                                                                   
27107                                                                                                                   
27737                                                                                                                   
53147                                                                                                                   
59207                                                                                                                   
60917                                                                                                                   
75617                                                                                                                   
99137

J'ai fait une petite compilation sur la fréquence des nombres premiers en fonctions du dernier chiffre:
Je part de 7 et je vais jusqu'à 1 000 000
19617 nombres se terminent par 1                                                                                        
19664 nombres se terminent par 3                                                                                        
19621 nombres se terminent par 7                                                                                        
19593 nombres se terminent par 9                                                                                        

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Edité par PierrotLeFou 27 février 2022 à 2:13:25