Partage
  • Partager sur Facebook
  • Partager sur Twitter

Somme des diviseurs et nombres premiers jumeaux

Sujet résolu
    26 février 2022 à 1:48:26

    EDIT : propriété vraie jusqu'à 18287 après vérification, le problème est résolu, merci.

    Bonsoir,

    Je suis tombé sur une étrange formule qui ne donne que des nombres premiers finissant par 7 si on prend en entrée un couple de nombres premiers jumeaux finissant par 7 et 9. Je m'explique.

    On prend un couple de premiers jumeaux finissant par 7 et 9, par exemple 1427 et 1429. Et on calcule comme suit (avec sigma(n) la somme des diviseurs de n) : $$\sigma(1427+\sigma(1428+\sigma(1429)))$$ et si le résultat est un entier finissant par 8, alors on lui retranche 1 et le nombre obtenu finissant par 7 est toujours un nombre premier. Par exemple avec l'exemple ci-dessus on obtient le résultat 5718 et 5717 est un nombre premier.

    Pour l'instant je n'ai pas trouvé de contre-exemple, j'ai parcouru plusieurs ordres de grandeur pour les jumeaux finissant par 7 et 9.

    Quelqu'un aurait-il une explication à cette formule ?

    Je vous remercie par avance.

    -
    Edité par Craw 26 février 2022 à 3:00:55

    • Partager sur Facebook
    • Partager sur Twitter

    Jeu du carré rouge modifié, quel niveau atteindrez-vous ? http://squared.go.yj.fr

      26 février 2022 à 4:03:39

      Le problème m'intéresse.
      Tu calcules la somme des diviseurs de (1427 + 1428 + 1429) = 4284 ?
      Est-ce que tu inclus 1 et n lui-même comme diviseurs de n ?
      En quel langage l'as-tu testé? Je pourrais le faire en Python ou en C.
      Je pourrais facilement dépasser le million en C (voire le milliard?)

      On ne regarde que les nombres de la forme 7+10k et 9+10k
      Pour les diviseurs, on s'arrête à la racine carrée, car si d est un ddiviseur de n, alors n/d l'est également.

      -
      Edité par PierrotLeFou 26 février 2022 à 4:12:07

      • Partager sur Facebook
      • Partager sur Twitter

      Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

        26 février 2022 à 7:31:19

        Oui j'inclus 1 et n lui-même.

        Par contre non je calcule bien sigma(1427+sigma(1428+sigma(1429))) = 5718.

        J'ai demandé à quelqu'un de tester ma conjecture en Python, il a trouvé un contre-exemple avec les jumeaux 18287 et 18289.

        Mais même s'il existe un contre-exemple le problème reste intéressant je trouve car on trouve pratiquement que des nombres premiers finissant par 7.

        • Partager sur Facebook
        • Partager sur Twitter

        Jeu du carré rouge modifié, quel niveau atteindrez-vous ? http://squared.go.yj.fr

          26 février 2022 à 18:23:10

          Il y a plusieurs contre-exemples. Je suis allé jusqu'à 100000. Voici mon code en Python:
          -
          premier=lambda n: False if n<2 else True if n<4 else False if n%2==0 or n%3==0 else all(n%i and n%(i+2) for i in range(5, int(n**0.5+0.5)+1, 6))
          def diviseurs(n):
              s=[1]
              l=[n]
              for d in range(2, int(n**0.5+0.5)+1):
                  if n%d==0:
                      s.append(d)
                      l.append(n//d)
              if s[-1] == l[-1]: s.pop()
              l.reverse()
              return s+l
          sigma=lambda n: sum(diviseurs(n))
          for n in range(7, 100000, 10):
              if premier(n) and premier(n+2):
                  s=sigma(n+sigma(n+1+sigma(n+2)))
                  if s%10==8 and not premier(s-1): print(n)
          -
          18287                                                                                                                   
          27107                                                                                                                   
          27737                                                                                                                   
          53147                                                                                                                   
          59207                                                                                                                   
          60917                                                                                                                   
          75617                                                                                                                   
          99137

          J'ai fait une petite compilation sur la fréquence des nombres premiers en fonctions du dernier chiffre:
          Je part de 7 et je vais jusqu'à 1 000 000
          19617 nombres se terminent par 1                                                                                        
          19664 nombres se terminent par 3                                                                                        
          19621 nombres se terminent par 7                                                                                        
          19593 nombres se terminent par 9                                                                                        

          -
          Edité par PierrotLeFou 27 février 2022 à 2:13:25

          • Partager sur Facebook
          • Partager sur Twitter

          Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

          Somme des diviseurs et nombres premiers jumeaux

          × Après avoir cliqué sur "Répondre" vous serez invité à vous connecter pour que votre message soit publié.
          • Editeur
          • Markdown