on peut constater que l'ensemble des n n'est pas vide en exhibant pour 1<n<1000, 3 cas sauf oubli,
\(n=34\) avec \(\sigma(33)=\sigma(35) = 48 \)
on saute alors à deux nombres assez proches
\(n=835\) avec \(\sigma(834)=\sigma(836) = 1680 \)
\(n=849\) avec \(\sigma(848)=\sigma(850) = 1674 \)
à part cela, quand tu parles du "niveau" d'une démonstration d'une conjecture sur une infinité, la question c'est déjà y en a-t-il une à trouver? Quelque chose te permet de dire que oui? Sur le Net, on ne trouve rien sur une éventuelle conjecture . simple curiosité ou dans le cadre d'un problème précis ?
- Edité par Sennacherib 29 janvier 2019 à 18:12:35
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
J'ai recensé tous les cas jusqu'à 20000. J'avais un léger bug dans mon traitement (erreur sur les nombres triangulaires), mais impact mineur.
J'ai trouvé environ 25 solutions entre 2 et 20000. La densité des solutions diminue quand n augmente mais elle diminue très peu. Donc si on veut extrapoler ces maigres résultats, on peut penser qu'il y a une infinité de solutions.
S'il y avait un nombre fini de solutions, la solution la plus grande serait un nombre remarquable !
Par contre, j'y pense seulement maintenant, l'exercice suivant a probablement un nombre fini de solutions.
Trouver tous les n tels que sigma(n) = sigma(n+3).
En effet, si n est pair, n+3 est impair, et donc sigma(n) a de fortes chances d'être plus grand que sigma(n+3).
Et inversement pour n impair et n+3 pair. De plus modulo 3, n et n+3 sont égaux, donc peu de possibilités de compenser le problème dû à la parité différente.
on peut effectivement conjecturer, en ayant constaté l'existence, ( 0.5% jusqu'à 1000(*) et 0.125 % jusqu'à 20.000) un infinité de densité décroissante, un peu à l'image des nombres premiers . mais tout ça évidemment à ce stade c'est de la conjecture façon café du commerce. Mais prouver effectivement qu'il y en a une infinité me semble un problème ouvert . (cf ci-après confirmation)
La question de l'égalité plus générale \(\sigma(n)=\sigma(n+k ) \) a apparemment occupé certains matheux.On trouve des bribes de réponses sur le site connu d'informations mathématiques http://villemin.gerard.free.fr avec affichage de résultats ( la profondeur de recherche n'est pas indiquée)
pour \(\sigma(n)=\sigma(n+1 ) \), il a été démontré que il y en a une infinité ( prouvé en 1984) cela semble la seule démonstration existante
pour \(\sigma(n)=\sigma(n+2 ) \) l'infinité est conjecturée mais n'est pas démontrée (* a priori j'ai raté des nombres dans ma recherche entre 1 et 1000, il y en aurait 5 et non 3 )
pour \(\sigma(n)=\sigma(n+3) \) il y en a deux seulement en dessous de 10.000, ceci confirme une plus grande rareté mais l'hypothèse d'un nombre fini n'est pas mentionnée,
des données aussi pour les premiers nombres avec \(k=4\) et \(k=5\)
- Edité par Sennacherib 30 janvier 2019 à 14:27:25
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
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