Bonjour,

Dans ce message : $$ \sigma(n) $$ désignera la somme des diviseurs d'un entier naturel n, n compris.

Peut-on prouver qu'il y a une infinité de $$ \sigma(n-1) = \sigma(n+1) $$ et si oui comment ? Je n'ai aucune idée du niveau d'une telle démonstration.

Merci à vous.

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Edité par Craw 28 janvier 2019 à 16:26:13

on peut constater  que l'ensemble des n n'est pas vide en exhibant pour  1<n<1000, 3 cas  sauf oubli,

  \(n=34\)   avec \(\sigma(33)=\sigma(35) = 48 \)

on saute alors à deux nombres assez proches

\(n=835\) avec \(\sigma(834)=\sigma(836) = 1680 \) 

\(n=849\) avec \(\sigma(848)=\sigma(850) = 1674 \)

à part cela, quand tu parles du "niveau" d'une démonstration d'une conjecture sur une infinité, la question c'est déjà  y en a-t-il une à trouver? Quelque chose te permet de dire que oui? 
Sur le Net, on ne trouve rien sur une éventuelle conjecture .    simple curiosité ou  dans le cadre d'un  problème précis ?

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Edité par Sennacherib 29 janvier 2019 à 18:12:35

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Edité par Craw 30 janvier 2019 à 9:26:31

J'ai recensé tous les cas jusqu'à 20000. J'avais un léger bug dans mon traitement (erreur sur les nombres triangulaires), mais impact mineur.

J'ai trouvé environ 25 solutions entre 2 et 20000. La densité des solutions diminue quand n augmente mais elle diminue très peu. Donc si on veut extrapoler ces maigres résultats, on peut penser qu'il y a une infinité de solutions.

S'il y avait un nombre fini de solutions, la solution la plus grande serait un nombre remarquable !

Par contre, j'y pense seulement maintenant, l'exercice suivant a probablement un nombre fini de solutions. 

Trouver tous les n tels que sigma(n) = sigma(n+3).

En effet, si n est pair, n+3 est impair, et donc sigma(n) a de fortes chances d'être plus grand que sigma(n+3).

Et inversement pour n impair et n+3 pair. De plus modulo 3, n et n+3 sont égaux, donc peu de possibilités de compenser le problème dû à la parité différente.

on peut effectivement conjecturer, en ayant constaté  l'existence, (  0.5% jusqu'à 1000(*) et 0.125 % jusqu'à 20.000) un infinité de densité décroissante, un peu à l'image des nombres premiers . 
mais tout ça évidemment à ce stade c'est de la conjecture façon café du commerce. Mais   prouver effectivement qu'il y en a une infinité  me semble un problème  ouvert . (cf ci-après confirmation)

La question de l'égalité plus générale \(\sigma(n)=\sigma(n+k ) \) a apparemment  occupé certains matheux.On trouve des bribes de réponses sur le site connu d'informations mathématiques http://villemin.gerard.free.fr avec affichage de résultats ( la profondeur de recherche n'est pas indiquée)

pour  \(\sigma(n)=\sigma(n+1 ) \), il a été  démontré que il y en a une infinité ( prouvé en 1984) cela semble la seule démonstration existante 

pour  \(\sigma(n)=\sigma(n+2 ) \) l'infinité est conjecturée mais n'est pas démontrée (* a priori j'ai raté des nombres dans ma recherche entre 1 et 1000, il y en aurait 5 et non 3  )

pour \(\sigma(n)=\sigma(n+3) \) il y en a deux seulement en dessous de 10.000, ceci confirme une plus grande rareté mais  l'hypothèse d'un nombre fini  n'est pas mentionnée, 

des données aussi pour les premiers nombres avec \(k=4\) et \(k=5\)

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Edité par Sennacherib 30 janvier 2019 à 14:27:25