Salut

Je vous pose le problème :

"1°) Déterminer a et b tq soit o(1/n) (en notation de Landau)

2°) Calculeret ."

J'ai réussi 1°) et trouvé soit , j'ai bloqué à la question 2°) : je suis convaincu qu'il faut utiliser 1°) mais je ne voit pas comment...

Merci de votre aide

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Edité par Méphisto 3 janvier 2018 à 15:16:03

ne manque-t-il pas une information,... l'expression de la suite \(u_k\) par exemple ? 

J'ai peut-être mal expliqué : on parle de la même suite qu'à 1°) et, d'après la résolution de 1°), on a :

: c'est juste un changement de variable concernant la somme, qui va de k = 0 à k = n.

J'espère avoir été clair...

Les images ne s'affichent pas toute pour moi.
essaie d'écrire ton besoin en latex : https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

exemple : 

si j'écrits cette ligne sur le forum : code latex entre \( et \)
\(u_k=\sqrt{k}-2\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}\)

\(u_k=\sqrt{k}-2\sqrt{k+1}+\sqrt{k+2}\)

Méphisto-Python a écrit:

J'ai peut-être mal expliqué : on parle de la même suite qu'à 1°) et, d'après la résolution de 1°), on a :

: c'est juste un changement de variable concernant la somme, qui va de k = 0 à k = n.

J'espère avoir été clair...

Ce n'est pas un question d'être clair ou pas. Ce qu'on t'a fait remarquer, c'est que tu as oublié de donner l'expression de la suite. Relis-toi !

(neuneutrinos a l'air de dire qu'il y a plusieurs images. Je n'en vois qu'une : celle où est écrite la série. Donc les informations manquantes seraient dans des images qui ne sont pas passées dans le message ?)

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Edité par robun 3 janvier 2018 à 18:27:41

robun a écrit:

Méphisto-Python a écrit:

J'ai peut-être mal expliqué : on parle de la même suite qu'à 1°) et, d'après la résolution de 1°), on a :

: c'est juste un changement de variable concernant la somme, qui va de k = 0 à k = n.

J'espère avoir été clair...

Ce n'est pas un question d'être clair ou pas. Ce qu'on t'a fait remarquer, c'est que tu as oublié de donner l'expression de la suite. Relis-toi !

mais non, c'est à toi de la deviner ! D'ailleurs, j'ai toujours pars compris la question 1 : qu'est ce qui doit être en o(1/n) ?

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Edité par edouard22 3 janvier 2018 à 18:29:09

1°) Trouver a, b tq u_n soit o(1/n) en notation de Landau

\(u_{n} = \sqrt{n} + a \sqrt{n+1} + b \sqrt{n+2}\)

2°) Calculer

 Je sais pas si c'est mieux... C'est la première fois que j'essaie d'utiliser latex dans un forum...

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Edité par Méphisto 3 janvier 2018 à 18:45:52

Hello. Alors un indice : série telescopique. Une idée serait de séparer Sn en trois somme puis à s'arranger sur les indices pour montrer les telescopages.

hs: c'est super le message comme ça

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Edité par edouard22 3 janvier 2018 à 20:46:42

J'ai pensé à cela mais je ne sais pas comment simplifier  \(S_{n} =  \sum_0^n  \sqrt{k}\)...

J'ai cherché sur Internet et trouvé :

- encadrement de la somme des racines

- sommes de Riemann

- fonction Zeta...

Sauf que n'ayant pas encore appris ces derniers en cours je ne peut pas les utiliser...

normalment, les \( \sum \sqrt{k} \) disparaissent.

L'idée est d'écrire les trois sommes et de regrouper les termes commun au sein d'une même somme.

soit \( \sum_{0}^n \sqrt{k} - 2 \sum_{0}^n \sqrt{k+1} + \sum_{0}^n \sqrt{k+2} = A_n + \sum_{2}^n \sqrt{k} + \sum_{2}^n \sqrt{k} + - 2* \sum_{2}^n \sqrt{k} = A_n \)

A dépends des termes résidus des trois somme qui ne sont pas compris dans \( \sum_2^n sqrt{k} \) : Par exemple : \( \sum_{0}^n \sqrt{k} = 0 + 1 + \sum_{2}^n \sqrt{k} \)  Du coups, tu dois écrire les deux autres sommes de la même façon, et en déduire A. puis la limite.


Et du coups : \( \lim_{n \rightarrow + \infty } S_{n} = 12* \zeta ( -1 ) \)

edit : Comme à dit notre chère Senna, on ne va pas donner la solution directement

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Edité par edouard22 4 janvier 2018 à 0:27:50

c'est beaucoup plus simple que cela. En suivant l'indication d'edouard22, il suffit d'écrire 3 termes consécutifs pour comprendre comment la somme se simplifie.

Et, sauf erreur,  on doit trouver en final \(S=-1\)  

edit

grillé par le susnommé ...mais, en ne donnant que le résultat final,  l'idée était quand même de laisser Mephisto chercher  un peu !.... 

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Edité par Sennacherib 4 janvier 2018 à 0:02:42

Sennacherib a écrit:

c'est beaucoup plus simple que cela. En suivant l'indication d'edouard22, il suffit d'écrire 3 termes consécutifs pour comprendre comment la somme se simplifie.

Et, sauf erreur,  on doit trouver en final \(S=-1\)  

edit

grillé par le susnommé ...mais, en ne donnant que le résultat final,  l'idée était quand même de laisser chercher  un peu !.... 

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Edité par Sennacherib il y a moins de 30s

oups c'est vrai que j'ai été déstabilisé par le nombre de solutions "hypers" complexes évoqués plus haut ^^. Du coups, j'ai rajouté un petit ornytho-piège.

Voila, message édité

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Edité par edouard22 4 janvier 2018 à 0:10:01

Merci pour vos conseils, j'ai trouvé :

\(S_{n} =  \sum_0^n \sqrt{k} - 2  \sum_1^{n+1} \sqrt{k}  +\sum_2^{n+2}  \sqrt{k}\)

\(S_{n} =  \sum_0^n \sqrt{k} -  \sum_1^{n+1} \sqrt{k}+\sum_2^{n+2}  \sqrt{k} -  \sum_1^{n+1} \sqrt{k}\)

\(S_{n} =  - \sqrt{n+1}  + \sqrt{n+2} - 1\)

puis

\(S =  \lim_{n \rightarrow + \infty }  S_{n}\)

\(S =   \lim_{n \rightarrow + \infty } (- \sqrt{n+1}  + \sqrt{n+2} - 1)\)

\(S= -1\)

De plus est ce que l'on peut dire que  \(S_{n} - S  \sim 1\) ?

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Edité par Méphisto 4 janvier 2018 à 12:10:35

Méphisto-Python a écrit:

\(S =  \lim_{n \rightarrow + \infty }  S_{n}\)

\(S =   \lim_{n \rightarrow + \infty } (- \sqrt{n+1}  + \sqrt{n+2} - 1)\)

\(S= -1\)

De plus est ce que l'on peut dire que  \(S_{n} - S  \sim 1\) ?

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Edité par Méphisto-Python il y a environ 1 heure

évidemment non! si \(S\) est la limite de \(S_n\), on a bien sûr \(S_{n} - S \rightarrow 0\).

Cette remarque "bizarre" provoque un petit doute ..., pourquoi penses tu cela et comment passes tu de la ligne 2 à la 3, autrement dit comment tu prouves en détaillant que la limite est bien \(S=-1\) donc que \( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\) tend vers 0 autrement qu'en considérant qu c'est "intuitivement" évident.

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Edité par Sennacherib 4 janvier 2018 à 13:55:09

Oui, \(S_{n} - S  \sim 1\) est une erreur : j'ai vérifié avec la définition même de l'équivalence!

Ce que je dois faire c'est trouver un développement limité de  \(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1}\).

Concernant la limite \(S =  \lim_{n \rightarrow + \infty }  S_{n}\),

Par la technique de la quantité conjuguée,

\(\lim_{n \rightarrow + \infty } \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} =  \lim_{n \rightarrow + \infty }\frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}} = 0\) par développement.

Merci bien