Bonjour,

J'ai un DM en spé maths pour jeudi, dont voici un exercice :

1. Montrer que si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair.

2. Montrer que si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair.

3. En déduire que \(n^2 - n\) est divisible par 2 pour tout entier naturel n.

Les questions 1 et 2 ne me posent pas de problème, mais si ça peut servir, je les posterai également. Je vois donc deux méthodes pour répondre à la question 3, voici la réponse que j'ai écrite :

On vient alors de prouver que selon sa parité, \(n\) pouvait s'écrire sous la forme \(2p\) ou bien \(2p +1\), et de même pour \(n^2\). Or on sait que si un nombre est divisible par \(2\), il s'écrit sous la forme \(2p\) ou \(2p + 1\). Il vient alors que \(2\) divise \(n\), et que \(2\) divise \(n^2\). Donc \(2\) divise toute combinaison linéaire de \(n\) et \(n^2\), et \(2\) divise \(n^2 - n\).

Autre preuve.

Soit \(n\) un nombre pair. Alors \(n^2\) est pair aussi, et \(n^2 - n\) s'écrit :

\[n^2 - n = 2q - 2p = 2(q - p) = 2k\]

Donc si \(n\) est pair, \(n^2 - n\) est divisible par \(2\).

Soit \(n\) un nombre impair. Alors \(n^2\) est impair aussi, et \(n^2 - n\) s'écrit :

\[n^2 - n = 2q + 1 - 2p - 1 = 2q - 2p = 2(q - p) = 2k\]

Donc si \(n\) est impair, \(n^2 - n\) est divisible par \(2\). Un entier naturel \(n\) est soit pair, soit impair. Par conséquent, pour tout entier naturel \(n\), \(n^2 - n\) est divisible par \(2\).

Est-ce que mes méthodes sont bonnes? Ou bien l'une (ou les deux!) d'entre elle est fausse?

Merci d'avance,

Rubytox.

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Edité par Rubytox 5 octobre 2015 à 22:09:25

Coucou,

Ta deuxième méthode est très bien, peut-être même trop détaillée parce que pour moi la différence de deux nombres paris est trivialement pair et idem la différence de deux impairs est aussi trivialement paire mais peut-être que ce n'est pas jugé si trivial que ça non plus en tout cas c'est l'idée.

En revanche pour ta première méthode rien ne va.

on sait que si un nombre est divisible par 2 , il s'écrit sous la forme 2p ou 2p+1 .

Non. Un nombre est divisible par deux s'il peut s'écrire comme le produit de 2×p. Point.

Il vient alors que 2 divise n

Non plus, ce serait un peu trop beau. Par exemple, n = 7 ça ne marche pas.

Merci de ta réponse rapide

Dans ce cas je vais conserver ma seconde méthode pour le DM. Oui c'est vrai, mais je préfère détailler quand même, pour pas que mon prof croit que ça sorte de nulle part (c'est peut-être trivial, mais je préfère quand même le préciser).

Oui c'est vrai que une fois que j'y réfléchis un peu, je vois que j'ai vraiment dis n'importe quoi ^^' 

Merci de ton aide, si j'ai d'autres problèmes pour ce DM, je posterai ici, pour pas créer un nouveau topic.

Rubytox.

une remarque : il y a une méthode immédiate qui n'est peut être pas le but de l'exercice mais je l'indique:

\(n^2-n=n(n-1)\) est  donc pour tout \(n\) le produit de deux nombres successifs; un des deux est nécessairement pair, d'où la conclusion.

en bonus ,  

on montre de la même façon que \(n^3-n=n(n+1)(n-1)\) est donc toujours divisible par 6 puisque toujours divisible par 2 et 3 comme produit de 3 nombres successifs.

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Edité par Sennacherib 5 octobre 2015 à 23:12:14

@Sennacherib : Merci pour ce bonus, c'est vrai que c'est très intéressant et bon à savoir

Je reviens encore vers vous pour un dernier problème : on me demande "Montrer que \(2^9 \equiv 2[10] \)". Dans ce cas-là, j'ai donc cherché la suite des restes de sorte qu'elle soit périodique. On a normalement \( 2 \equiv 2[10] \), et donc :

\[2^2 \equiv 4[10]\]

\[2^3 \equiv 8[10]\]

\[2^4 \equiv 6[10]\]

\[2^5 \equiv 2[10]\]

\[2^6 \equiv 4[10]\]

Et donc on n'arrive jamais à un reste de 1. J'ai demandé à mon prof de m'expliquer, mais j'ai franchement pas vraiment compris son explication. Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer à ce sujet s'il vous plaît?

(À savoir, on me demande ensuite le chiffre des unités de \( 2^{63} \) et de \( 2^{100}\) )

Encore une fois merci d'avance,

Rubytox.

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Edité par Rubytox 6 octobre 2015 à 22:07:44

On n'arrive jamais à un reste de 1 ... Parce que 2^n est un multiple de 2, 10 est un multiple de 2,et donc tout nombre de la forme 2^n - k * 10 sera aussi un multiple de 2.  Et mod(2^n, 10), c'est un nombre qui est de la forme 2^n-k*10.

En plus court, quand tu fais la différence entre 2 nombres pairs, tu obtiens un nombre pair.

Ensuite, pour 2^63... 63 peut s'écrire de la forme 5*12 + 3 .. ou toute autre décomposition.

donc 2^63 = ((2^5)^12) * 2^3

Or 2^5 = 2 mod 10 

Donc 2^63 = 2 ^12 * 2^3  mod 10

2^63 = 2^15  mod 10

2^63 = (2^5)^3 mod 10

2^63 = 8 mod 10. 

Merci de ta réponse!

Oui effectivement, je comprends comment ça fonctionne pour la suite des restes, merci.

Si jamais ça intéresse quelqu'un : pour 2^63, comme ils demandent dans la question 1 de prouver que 2^9 = 2[10], j'ai décomposé 63 avec 9, et ait effectivement trouvé 8[10] à la fin. Pour 2^100, en faisant la même technique, j'ai trouvé 6[10].