Je suppose qu'on te donne en plus la valeur de U(0), sinon ça va être difficile.

Je n'ai pas la réponse, mais je calculerais les premières valeurs W(0),W(1),W(2), W(3), et probablement encore quelques valeurs, pour essayer de voir une tendance.

Et ensuite, partir sur une démonstration par récurrence.

Et si on ne te donne pas U(0), alors .... c'est une autre histoire.

Ceci dit, je pense qu'il n'y a pas de formule 'directe' pour calculer W(n). Mais si on te demande la limite de W(n) quand n devient très grand, ça paraît tout à fait jouable.

oui en effet c'est ca que on te donne pas U(0) ; il te donne just que   0< U(n) <= 2

et puis aprés que : V(n+1) < 1/2 (V(n))

Donc on ne demande pas une expression 'directe' de Wn ... ça va.

Démontrer que V(n+1) < 1/2 V(n) 

Ca parait faisable. Qu'as tu tenté pour ça ?

KimaKallile a écrit:

oui en effet c'est ca que on te donne pas U(0) ; il te donne just que   0< U(n) <= 2

et puis aprés que : V(n+1) < 1/2 (V(n))

et puis tu doit montrer que V(n+1) < (1/2)^(n) * (V(n)).

montrer que \(V_{n+1} < \frac{1}{2}V_n\) sans être difficile n'est pas tout à fait immédiat . A quel niveau est posé l'exo?

Indication:
on part de \(v_{n+1}=2-u_{n+1}\), on remplace \( u_{n+1}\) par sa valeur fonction de \( u_{n }\), et un  peu d'astuce calculatoire permet d'aboutir.

Ce qu'il faut montrer ensuite, je pense,  est que \(V_{n+1} < (\frac{1}{2})^n\) et non ce qui est indiqué. ( faire une récurrence)
Conclure que \( \lim V_n =0\).
Ceci est nécessaire mais non suffisant pour montrer que la somme  \(W_n\) tend vers une limite. Mais l'inégalité trouvée doit te permettre de conclure.

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Edité par Sennacherib 23 décembre 2017 à 14:14:25