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Suites

7 février 2019 à 3:12:37

Bonjour,
J'ai un exercice de maths qui me pose quelques difficultés.
Le voici ci-dessous, avec ci-dessous mes pistes :
Pour la question 1, j'ai déjà un peu de mal. Voici ce que j'ai fait :
Je dérive la fonction f_n, avec la formule : (g ° f) ' (x) = f' * (g' ° f)
J'obtiens f_n'(x)=ln(n)*n^(x-1)-1.
Est-ce correct ?
Ensuite, je n'arrive pas à utiliser ce résultat pour trouver les variations...
Je pourrais peut-être résoudre l'équation ln(n)*n^(x-1)-1 = 0 ?
Si oui, j'aboutis à : n^(x-1)=1/ln(n). Et je n'arrive pas à continuer...
(sachant que l'on nous a dits que a^x = exp(x ln(a)), je ne sais pas si cela peut aider...
2. J'ai aussi regardé la question suivante, et là encore je n'y arrive pas.
Ce que j'ai commencé à faire : e<3<n
donc ln(e)<ln(3)<ln(n)
donc ln(ln(e))<ln(ln(3))<ln(ln(n))
Je n'ai pas l'impression d'être sur la bonne voie... Qu'en pensez-vous ?
Merci d'avance pour votre aide et pour vos pistes !
Bonne journée.

-
Edité par HdghgGdfsgs 7 février 2019 à 3:15:04

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7 février 2019 à 14:09:58

bonjour,

1-la dérivée est juste mais pour trouver si elle s'annule, on a  \(n^{x-1}=e^{\ln(n)(x-1)}\) en utilisant ce que on te dit, ce qui , pour moi, rend évidente la résolution de \(\ln(n) n^{x-1}=1\)...divise par    ln(n)  chaque membre et prend ensuite le ln  .... et tu devrais voir apparaître le \(a_n\) du b)

2-pour montrer que \(a_n<1\) il te suffit de montrer que \(\frac{\ln(\ln(n)}{\ln(n)}\) est toujours positif si \(n\geq 3\), ...  et que vaut \(\ln(\ln(e))\) que tu laisses sous cette forme ??

...le chemin reste long jusqu'au 8 c) :p 

remarque: à quel niveau est posé cet exo, car on rappelle que \(a^x=e^{x\ln(a)}, a>0\) ce qui devrait être une évidence sans avoir à le rappeler , c'est la définition même de la puissance d'un réel positif  avec un exposant réel 

-
Edité par Sennacherib 7 février 2019 à 14:24:03

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
7 février 2019 à 19:41:40

Merci pour la réponse. Effectivement le chemin reste long jusqu'à la fin, et je commence à m'inquiéter car je dois le rendre en début de semaine prochaine... Serez-vous disponible ce week-end pour m'aider ? C'est du niveau de BCPST.

J'étudie vos réponses. J'ai aussi regardé en attendant, la question 2. J'ai essayé d'utiliser les croissances comparée, mais cela n'aboutit pas... Comment peut-on donc calculer cette limite ?

mMerci beaucoup pour l'aide et bonne soirée.

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8 février 2019 à 9:48:24

Bonjour,

« Serez-vous disponible ce week-end pour m'aider ? C'est du niveau de BCPST. »

Posez les questions ici directement, il y a toujours du monde sur ce forum. Si Sennacherib n’est pas là, il y aura d’autres personnes.

Il est normal de ne pas terminer un DM si vous êtes en classe préparatoire aux grandes écoles. Moi je n’ai jamais fait de DM en entier ni en sup ni en spé.

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Edité par Bibou34 8 février 2019 à 9:51:46

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8 février 2019 à 12:13:20

des indications limitées pour quelques questions suivantes .
Il faut chercher par toi même un maximum, sinon si on aide trop dans un DM en prépa , cela ne sera d'aucun profit. ( le but c'est quand même de se préparer pour des DS ... puis des concours où  le forum OC ( ou autres) ne seront pas accessibles :lol: 

1 c)  étudier la fonction \(\ln x-1+x\) en déduire \(a_n>0\) est facile , \(f_n(a_n)>0\) à mon avis un peu moins. Calculer explicitement en utilisant \(a_n\), simplifier et utiliser I

1 (d) commencer par regarder quand l'égalité est vraie pour (I )

1 (e) et (f) me semblent des conséquences évidentes de ce qui précédé. Penser à bien mentionner les propriétés de \(f_n\) qui justifie l'existence de \(u_n\). 

 2 (a) penser à la limite de \(\frac{\ln(x)}{x}, x \rightarrow +\infty\)

2 (b) j'avoue que j'ai un doute sur ce que on attend, les propriétés de \(u_n\) sont étudiées dans les questions suivantes  

3 a) regarder l'expression de \(f_n(u_{n +1})\), penser aussi que \(u_{n+1}\) est racine de \(f_{n+1}\)   et utiliser l'indication de monotonie ( il est utile de remarque que \(u_n -1 < 0, \forall n \geq 3\).

3 b), c) évident en gardant en tête l'étude des variations de \(f_n\)

4 la méthode est indiquée ; je pense qu'il faut chercher la contradiction en supposant une limite \(l \neq 0\) et considérer la limite de \(f_n\) en \(x=l\)

globalement on est quand même extrêmement guidé  dans ce problème, il n'y a très peu de questions ouvertes.

en 5 a) cependant on demande un signe sans indiquer lequel on doit trouver. Le résultat ne s'obtient pas immédiatement en injectant \(\frac{1}{n}\) dans I. Il y a un petit effort supplémentaire à fournir.

pour 5 b), pour utiliser 5a) penser que ce qui est demandé revient à montrer que \(u_n> \frac{1}{n}\)

6 a) après avoir fait les calculs demandés ( attention à la manipulation des puissances ln et de lnln), le résultat découle de la monotonie de \(g_n\) ..  si les calculs sont justes.

6 b) pour réitérer le raisonnement il s'agit de trouver un  bon majorant ... qui n'est pas totalement évident

7  encadrer \(u_n\) en tenant compte des résultats de 6 et de 5 , un équivalent simple  déduit de 6 b) par un DL en tenant compte du comportement de \(\ln(n)/n\) quand \(n \rightarrow +\infty\) 

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Edité par Sennacherib 10 février 2019 à 22:47:20

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
9 février 2019 à 17:00:38

J'ai réussi la 1.b et le début de la 1.c.
J'ai réussi à montrer que ln(x) =< x-1.
Par contre, comment en déduire que An > 0 puis que f(An) inférieur ou égal à 0 ?
Là, je ne vois pas... Car on ne peut pas poser An=x car on ne sait justement pas si An est strictement positif, c'est ce que l'on veut montrer...
Merci encore pour l'aide.
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9 février 2019 à 18:10:07

 cette petite évidence  : si \(\ln(x)\leq x-1\) a fortiori \(\ln(x)<x \) donne la clé ! :p .

Pour \(x=n\) alors \(\ln(n)< n\).La fonction logarithme étant monotone croissante, alors   \(\ln(\ln(n))<\ln(n)\)donc \(\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<1\) donc \(1-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}=a_n>0\)

pour \(f_n(a_n)\), commence par faire ce que j'ai dit ; calcule explicitement avec la valeur de \(a_n\) et simplifie,...en manipulant correctement les puissances de log .Il faut ensuite utiliser \(\ln(x)\leq x-1\) pur \(x=\ln(n)\)

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Edité par Sennacherib 9 février 2019 à 18:20:19

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
9 février 2019 à 18:17:27

Effectivement !

Ensuite, comme d'après les résultats précédents, on a a_n<1 et comme 0<a_n et comme la fonction f_n est strictement croissante sur 0 ; + infini, on obtient fn(a_n)<fn(1)=0. Donc f(a_n)<0.

Qu'en pensez-vous ? Le problème, c'est que cela montre aussi le résultat de la question 1.d, donc il y a un souci...

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9 février 2019 à 18:37:49

où voyez vous que \(f_n)\) est croissante sur \((0,+\infty)\) alors que la dérivée s'annule en \(x=a_n\)!. Vos voulez sans doute dire sur \(a_n, +\infty\). Mais , à ce stade  vous  avez   démontré seulement  que  \(f_n(a_n)\) est un extremum. Vous ne savez pas que c'est un minimum.D'ailleurs ce n'est que en 1(e) que on vous demande  de dresser le tableau de variations.

Il faut prouver directement que c'est négatif. Faites ce que j'ai dit, calculer \( f_n(a_n)\) et ensuite utiliser I comme le suggère l'énoncé!:-°

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Edité par Sennacherib 9 février 2019 à 18:41:19

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
9 février 2019 à 18:44:37

Oui, désolé, sur a_n ; + infini !

Par contre, j'ai fait un tableau de variations pour l'étude des variations au tout début du DM... Je ne peux pas l'utiliser ? Car on y voit bien que c'est un minimum... Ou alors il ne fallait pas encore faire de tableau de variations dès la question 1.a ?

Merci encore pour l'aide !

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9 février 2019 à 18:54:58

comment avez vous fait le tableau de variation en 1 a) sans  avoir démontré que  \(f_n(a_n)\) <0 ? je serais curieux de voir :o
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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
9 février 2019 à 19:01:43

J'ai trouvé que fn'(x)>=0 est équivalent à x = An.

Donc on obtient ce tableau de variations suivant en 1.a :

x     |  - infini                    An                      + infini

______________________________________________

fn'(x) |        -                     0                +

______________________________________________

fn       |  décroissante       fn(an)          croissante

En quoi est-ce faux ? Désolé, je ne comprends pas...

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9 février 2019 à 20:05:39

personnellement, dans la logique des suggestions de l'énoncé  j'avais  démontré comme suit ( sans  vraiment regarder 1 a) :

pour \(x=a_n\), \(f_n(a_n)= n^{1-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}-1}-1+\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n))}=n^{ -\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)} }-1+\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n))} \).

Mais \(n^{ -\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)} } =e^{ -\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\ln(n)}= e^{ - \ln(\ln(n) }=\frac{1}{\ln(n)}\)

Donc \(f_n(a_n)= \frac{1}{\ln(n)} -1+\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n))}=\frac{1-\ln(n)+\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\) 

Or en appliquant \(\ln(x) \leq x-1\) pour \(x=\ln(n)\), il vient: \(\ln(\ln(n)) \leq \ln(n)-1\) ce qui prouve  que le dénominateur de la fraction précédente est négatif d'où \( f_n(a_n)\leq 0\)

L'énoncé est alors assez bizarre puisque 1(d) et 1(e) semble pouvoir être traité dès 1(a) !

En revenant sur 1(a) il semble en effet que on puisse dés  la première question  pratiquement  prouver tout ce qui est demandé par la suite .

Un point important dans votre tableau est de placer x=1 avec \(f_n(1)=0\) où  la dérivée en ce point est positive . Donc au voisinage de 1-, la fonction est nécessairement négative.  
Par ailleurs \(f_n(0)=1/n\) avec dérivée négative en 0.  Donc   \(f_n\)   fonction continue,  s'annule nécessairement quelque par entre (0,1) et avec  ces conditions ne peut aller de 0 à 1 qu'en passant pas un minimum négatif et un seul puisque on prouve que la dérivée ne s'annule qu'une fois.

Bref les questions 1(c) à 1(f) sembleraient  alors redondantes si on étudie complètement dés le départ les variations de la fonction ... mais j'ai quand même l'impression que on attend les démos que j'ai suggérées ... vous pouvez toujours rédiger en expliquant que on pouvait répondre en grande partie  à la suite dès 1 a) !

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Edité par Sennacherib 9 février 2019 à 20:18:42

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
9 février 2019 à 21:00:14

D'accord !

Merci beaucoup pour cette réponse détaillée.

Donc pour la question 1.c, je fais le calcul que vous exposez dans votre message ci-dessus ?

Et alors pour la question 1.d, que dois-je faire ?

Parce que moi je referais exactement la même chose, mais il y autre chose qui doit être attendu, non ?

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10 février 2019 à 9:19:52

En utilisant le résultat du calcul en c)

L'inégalité  \(\ln(x) \leq x-1\) est stricte sauf pour \(x=1\). Donc si  \(x=\ln(n) \neq 1\), \(\ln(\ln(n))-1+\ln(n)<0\),   ce qui permet de dire que à \(f_n(a_n)=  \frac{1-\ln(n)+\ln(\ln(n))}{\ln(n)}<0, \forall n\geq 3\) .

  la question dès 1 a) reste quand même étrange : si on la traite complètement et correctement , elle anticipe  tout ce qui suit jusqu'à 1 f)  

Un énoncé   de 1)  aurait pu très bien être limité à . "En étudiant ses variations, montrer que la fonction  \(f_n(x)\) a un seul minimum strictement négatif  se trouvant dans l'intervalle \(]0,  1[\)\) en   \(x=a_n\) et s'annule dans l'intervalle \(]0, a_n   [\) en \(u_n\)" solution de l'équation \(E_n\)" :-°

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Edité par Sennacherib 10 février 2019 à 9:27:40

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
10 février 2019 à 13:58:20

Voici là où j'en suis désormais :

J'ai à peu près réussi jusqu'à la question 4 incluse.

J'en suis désormais à la question 5.a.

Là, par contre, pour cette question 5.a, je bloque... 

Je ne vois pas du tout comment faire, j'ai essayé d'injecter 1/n dans l'inégalité I, mais cela n'a pas abouti... 

Auriez-vous une idée ? Pourriez-vous m'indiquer comment procéder s'il vous plaît ?

Merci encore pour l'aide.

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Edité par HdghgGdfsgs 10 février 2019 à 21:59:14

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10 février 2019 à 23:14:35

On a \( f_n(\frac{1}{n})=n^{\frac{1}{n}-1}-\frac{1}{n}\)

I vous donne \(\ln(\frac{1}{n})< \frac{1}{n}-1\)  on peut en déduire une autre inégalité que l'expression de \(f_n\) devrait vous suggérer et qui permettra de conclure. 

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Edité par Sennacherib 10 février 2019 à 23:15:47

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
10 février 2019 à 23:37:02

Merci pour votre réponse ! J'avoue que je commençais à désespérer...

Après quelques manipulations d'inégalités, j'obtiens :

exp(ln(n)ln(1/n))-1/n inférieur ou égal à fn(1/n) ?

Que faire ensuite ?

Sachant que ln(n)ln(1/n) est négatif, non ?

Donc que exp(ln(n)ln(1/n)) est compris entre 0 et 1 ?

Mais je crois que c'est la mauvaise direction...

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Edité par HdghgGdfsgs 11 février 2019 à 5:47:38

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11 février 2019 à 9:13:32

 partant de  l'inégalité, en élevant à la puissance exponentielle:

  \(\ln(\frac{1}{n})< \frac{1}{n}-1 \rightarrow e^{\ln(\frac{1}{n})} < e^{\frac{1}{n}-1 }\) 

mais \(e^{\ln(\frac{1}{n})}=\frac{1}{n}\)  donc \(\frac{1}{n} < e^{\frac{1}{n}-1 }\)

  et là toujours faire attention à l'énoncé, on vous rappelle \(n\geq 3\) ce n'est pas pour rien,

cela implique \(\frac{1}{n} < e^{\frac{1}{n}-1 } <n^{\frac{1}{n}-1 }\), edit ceci est faux les exposants étant négatifs (cf. plus loin un correctif dans mon dernier post)

et donc \(  n^{\frac{1}{n} -1}- \frac{1}{n} =f_n(\frac{1}{n})>0 \) :) 

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Edité par Sennacherib 15 février 2019 à 7:32:37

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11 février 2019 à 10:07:57

Super, merci beaucoup! Et pour la suite ?
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11 février 2019 à 13:59:38

HdghgGdfsgs a écrit:

Super, merci beaucoup! Et pour la suite ?


la suite n'attend  que toi...:lol:
Je suis là pour aider si je  peux ( comme d'autres membres, mais on n'est pas si nombreux sur le forum maths à pouvoir aider dans un devoir niveau post bac ) mais   si tu ne proposes rien , je ne ferais rien à ta place. Si tu bloques dés que la question n'est pas évidente et que  tu ne cherches pas assez, tu auras des soucis dés que tu auras un DS sans aide et en temps limité.

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Edité par Sennacherib 11 février 2019 à 14:00:05

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11 février 2019 à 15:44:31

Oui, bien sûr, je comprends !

J'ai surtout besoin d'aide pour la question 6.a et 6.b... J'ai essayé de simplifier gn(an) et gn(un) en utilisant l'écriture sous forme exponentielle, mais cela me donne une écriture plus compliquée !

Donc je ne vois pas comment simplifier ces écritures, ni comment en déduire le dernier résultat à montrer de 6.a...

Merci par avance pour vos pistes...

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11 février 2019 à 18:07:11

Vous n'avez pas prouvé que  \(g_n(u_n)=u_n\)?:( c'est important pour la suite et évident sans aucun calcul  si on garde en tête  ce qu'est \(u_n\) pour \(f_n\).
  \(g_n(a_n)\), si vous n'arrivez pas à simplifier c'est que vous n'êtes pas à l'aise avec des puissances de logarithmes...:-° 

En effet ,avec \(a_n=1-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\), il vient \(g_n(a_n)= n^{a_n-1}=n^{-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}}\)

Donc, \(g_n(a_n)=  e^{-\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\ln(n)}=e^{- \ln(\ln(n))  }=\frac{1}{e^{\ln(\ln(n))  }}\) et le dénominateur ce n'est pas autre chose que \(\ln(n)\)

Donc \(g_n(a_n)=\frac{1}{\ln(n)}\)

montrer alors que \(u_n < \frac{1}{\ln(n)}\) devrait être évident.

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Edité par Sennacherib 11 février 2019 à 18:10:13

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
11 février 2019 à 20:08:08

J'avais réussi le calcul de gn(an), mais pas celui de gn(un)... Merci de m'avoir aidé !

Pour la question 6.b, il est suggéré de réitérer le raisonnement, mais je ne vois pas en quoi cela pourrait aider... Ne faudrait-il pas plutôt calculer gn pour une autre valeur ? J'avoue que je ne sais pas..

Pour la 7, j'ai pensé à utiliser le fait que n*un est minorée par 1 (montré précédemment). Ensuite, utiliser les inégalités de 6a et 6b, puis le théorème d'encadrement, mais cela n'aboutit pas...

Pourriez-vous donc m'aider pour les questions 6.b et 7 ?

Merci beaucoup, je progresse vraiment grâce à vous !

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11 février 2019 à 21:14:43

pour 6 b) réitérer le raisonnement revient bien à calculer \(g_n\) pour une autre valeur \(\alpha\) à trouver.

sachant que on a toujours \(g_n(u_n)=u_n\)

il faut trouver \(\alpha\) tel que  \(u_n <\alpha\) et \(g(\alpha)=\frac{1}{n}\exp(e^{\frac{\ln(n)}{n}})\) 

Pour trouver ce \(\alpha\), pensez que on a déjà montré que \(u_n< \frac{1}{\ln(n)}\)

Comme je suis obligé d'en rester là pour ce soir, ...vous avez toute la nuit pour trouver 6 b) et 7 :lol:

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Edité par Sennacherib 11 février 2019 à 21:16:06

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
11 février 2019 à 21:16:57

Sauf que j'ai déjà passé la nuit dernière à chercher ce DM, et j'aimerais bien dormir un peu cette nuit...

Pourriez-vous me donner un petit coup de pouce pour que j'atteigne la 8 ?

Merci en tout cas pour l'aide !

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12 février 2019 à 11:05:37

... et ensuite un coup de pouce pour la question 8?
Il vous a fallu un "coup de pouce" pour presque chaque question, parfois assez simple. Pour  ce problème en DS sans aide , pensez que vous n'auriez pas plus de 2 heures !
Par exemple avec les indications données, même si vous n'en aviez pas l'intuition au départ, il est quand même facile de trouver le bon \(\alpha\) pour résoudre 6 b) 

Je vous donne toutes les indications utiles pour terminer le problème ... au delà ce n'est plus un coup de pouce !

donc pour 6 b), il suffit de résoudre  \(g(\alpha)=\frac{1}{n}\exp(e^{\frac{\ln(n)}{n}})\)  soit \(n^{\alpha-1}=\frac{1}{n}\exp(e^{\frac{\ln(n)}{n}})\)

soit \(n^{\alpha}= \exp(e^{\frac{\ln(n)}{n}})\)

et en passant au logarithme, on obtient \(\alpha = \frac{e^{\frac{\ln(n)}{n}}}{\ln(n)}\) et on vérifie bien la condition \(u_n< \alpha\) puisque on sait déjà  que \(u_n< \frac{1}{\ln(n)}\) 

A partir de 7, tout dépend de ce que vous avez appris sur les équivalences.J'ai un doute sur ce que on attend de la question 7 lorsque on demande de déduire de ce qui précède. Il me semble que on ne peut pas déduire de façon immédiate une équivalence.( je rappelle la définition : \(u_n \sim v_n \) si \(\frac{u_n}{v_n}\rightarrow 1\) quand \(n\rightarrow +\infty\))

A ce stade ce qui précède permet de dire 

\(\frac{1}{n}< u_n <\frac{1}{n}\exp(e^{\frac{\ln(n)}{n}})\)

mais les deux suites encadrantes ne sont pas équivalentes. En effet leur rapport vaut \(\exp(e^{\frac{\ln(n)}{n}})\) et sachant que \(\frac{\ln(n)}{n}\rightarrow 0\), vous vérifierez que la limite de cette quantité est \(e\).

Il est pourtant tentant de penser que à l'ordre 1 \(u_n \sim \frac{1}{n}\). 

Il faut, à mon avis, encore  réitérer l'application de \(g_n\) avec l'expression de droite. Je vous laisse le soin de montrer que cette nouvelle itération conduit à un encadrement \(\frac{1}{n}< u_n <\frac{h(n)}{n} \) où cette fois \(h(n) \rightarrow 1\) donc  cet encadrement permet alors de conclure \(u_n \sim \frac{1}{n}\).

8 revient à trouver une équivalence plus précise à l'ordre 2.

8 a) Montrer que \(\ln(nu_n) \sim \frac{\ln(n)}{n}\) est facile si on raassemble correctement ce que on sait :

Que vaut \(nu_n\)? revenir à l'équation de départ \(E_n\). Après substitution, il est facile de montrer que le rapport \(\frac{\ln(nu_n)}{\frac{\ln(n)}{n}}\) tend vers 1. Il faut aussi pour cela avoir en tête que  7 permet de montrer aussi que \(nu_n\) converge vers 1.

8 b,c):  8 a) permet de déduire que un équivalent plus précis de \(u_n\) est \(\frac{1}{n}+\frac{\ln(n)}{n^2}\) et de trouver  l'erreur relative et son comportement quand \(n \rightarrow +\infty\)

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Edité par Sennacherib 12 février 2019 à 11:12:57

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
12 février 2019 à 17:38:09

Merci pour la réponse.

Il me reste plusieurs interrogations :

1. Pour la 6.b, je n'ai pas compris votre raisonnement...

2. OK pour la 7 et la 8.a !

3. Comment trouvez-vous cet équivalent plus précis de un avec les questions précédentes ? Là je ne vois pas... Ensuite, pour l'erreur relative, selon le prof il faut utiliser la formule comme en physique : erreur relative = [Valeur théorique - Valeur expérimentale] / (Valeur théorique)... Mais je ne sais pas comment l'appliquer dans ce devoir... Et vous ?

Merci encore, on approche de la fin (et de la date pour rendre ce DM...) !

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Edité par HdghgGdfsgs 12 février 2019 à 18:02:22

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13 février 2019 à 11:21:26

6 b) on a bien montré que \(u_n < a_n\) impliquait que \(u_n< \frac{1}{\ln(n)}\).

On cherche à faire la même chose avec un \(\alpha \) jouant le rôle de \(a_n\). Comme on ne connait pas  ce \(\alpha \), on cherche s'il existe en postulant a priori que \(g_n(\alpha)=\) le résultat attendu. Et on vérifie que on a bien \( u_n <\alpha\) avec le résultat trouvé ce qui répond à la question.

pour 8,   il faut faire attention aux équivalents de fonction de fonction et prendre directement l'exponentielle de 2 équivalents pour dire \(\ln(nu_n) \sim \frac{\ln(n)}{n} \Rightarrow nu_n \sim e^{\frac{\ln(n)}{n}}\sim 1+\frac{\ln(n)}{n}\)   donc \(u_n \sim \frac{1}{n}+\frac{\ln(n)}{n^2}\) n'est pas nécessairement vrai ( il faut avoir en tête ce que on n'a le droit de faire et ce qu'il ne faut pas faire en manipulant les équivalents.)

Pour montrer néanmoins que cette équivalence est correcte, il vaut mieux appliquer la définition en vérifiant que \(\frac{nu_n}{1+\frac{\ln(n)}{n}}\rightarrow 1\) .On peut écrire  quan \(n \rightarrow \infty\)que  \(\frac{nu_n}{1+\frac{\ln(n)}{n}} =nu_n( 1-\frac{\ln(n)}{n}+\varepsilon(n)\) avec \( \varepsilon(n) \rightarrow 0\).  Mais l'équivalence \(\ln(nu_n) \sim \frac{\ln(n)}{n}\) nous montre que \(nu_n\) tend vers 1 dans tous les cas. Donc le rapport \(\frac{nu_n}{1+\frac{\ln(n)}{n}}\) tend bien vers 1 d'où l'équivalence, d'où \(u_n \sim \frac{1}{n}+\frac{\ln(n)}{n^2}\) car on a le droit de multiplier les équivalents par un nombre ici \(\frac{1}{n}\).

On voit donc que en 7) avec \(u_n \sim \frac{1}{n}\), on néglige un terme d'ordre 2 \(\frac{\ln(n)}{n^2}\) et donc je pense que l'erreur relative est obtenue en divisant ce terme négligé par \(  \frac{1}{n}\) soit \(\delta_n =\frac{\ln(n)}{n }\)  qui tend bien vers 0 quand n tend vers l'infini.

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Edité par Sennacherib 13 février 2019 à 11:32:12

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tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
13 février 2019 à 11:41:36

J'ai tout compris, merci beaucoup !

La dernière des dernières questions :

pour la 5.a, dans votre message de lundi à 9h13, je ne comprends l'implication à partir de ce que l'on obtient avec I...

Pourriez-vous m'expliquer svp ?

Je dois rendre mon travail dans quelques minutes et il ne me reste plus que cette question...

MERCI.

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