pour 5 a), tu as raison de ne pas comprendre. J'ai beaucoup écrit ... et là  un peu vite.  La dernière implication est fausse , les  exposants étant négatifs, l'inégalité n'est pas conservée. 

On a  simplement \(f_n(\frac{1}{n})=n^{\frac{1}{n}-1}-\frac{1}{n}=\frac{n^{\frac{1}{n} }-1}{n}\) le signe de \(f_n\) est alors celui de \(n^{\frac{1}{n} }-1\)

On peut alors appliquer  l'inégalité I à \(x=n^{\frac{1}{n}}\), il vient \(\ln(n^{\frac{1}{n}}) \leq n^{\frac{1}{n}} -1\).

soit \(    n^{\frac{1}{n}} -1 \geq  \frac{\ln(n)}{n }>0\), donc \(f_n(\frac{1}{n}) > 0\)..

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Edité par Sennacherib 13 février 2019 à 18:09:59