Bonjour,

J’ai fait quelques exercices aujourd’hui sur les limites de suites et j’ai eu faux à un des exos, mais je ne comprends pas ou est l’erreur.

Je vais utiliser RAC() pour les racines carrées.

Trouver la limite de la suite RAC(n²+n)-n

J’ai fait :

= ((RAC(n²+n)-n) * RAC(n²+n)) / RAC(n²+n)

=((RAC(n²+n) * RAC(n²+n)) (-n*RAC(n²+n))

= n²+n - n * RAC(n²+n) / RAC(n²+n)

= n²+n-n

=n² donc la limite de la suite quand n tend vers + infini est de + infini.

Mais j’ai eu faux donc j’ai du faire une erreur dans le calcul :/

Merci d’avance ! 

L'erreur de calcul est assez ...évidente! ta façon de manipuler la fraction est ...bizarre même si on te lit mal .

Le dénominateur \( \sqrt{n^2+n}   \) à la 3ème ligne de calcul , que tu fais disparaître par un "tour de passe-passe"   ,s'applique à toute l'expression de gauche   et le résultat est en fait  \(\dfrac{n^2+n -n\sqrt{n^2+n}} {\sqrt{n^2+n}}\) qui ne mène à rien .

Par contre  on peut tout simplement mettre \(n\) en facteur . On obtient alors \(n(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1)\)

Quand \(n \rightarrow +\infty\), on a \(\sqrt{1+\frac{1}{n}} \sim 1+\frac{1}{2n}\) et il n'est pas difficile d'en déduire que la limite cherchée vaut 1/2

(Edit : la suggestion de Awpsolet revient au même . Il faut diviser par le \(n\) qui apparait au numérateur aprés l'opération , ...mais elle  évite ainsi  d'utiliser les équivalents ...si on ne connait pas)

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Edité par Sennacherib 3 septembre 2017 à 16:23:10

A mon avis, le mot 'conjugué' ne va pas beaucoup l'aider.  On va donc développer :

Ici, tu as la différence entre 2 termes, une expression de al forme a-b.  Et souvent, dans ce cas, il faut penser à l'identité remarquable : (a-b)*(a+b) = a²-b²  

Qu'on peut aussi écrire a-b = (a²-b²)/(a+b)

Et à partir de là, le calcul de ta limite se fait bien.

Mon erreur a été de simplifier le dénominateur alors que sur le numérateur elle ne s'appliquait pas à toute l'expression ! 

Merci pour vos réponses !