Mon professeur nous a donné un exercice bonus pour un DM et j’aimerais réussir à le faire mais je suis totalement bloqué...
Le sujet se nomme boite aux crayons : Vous devez envoyer un colis de 12 stylos choisis parmi 4 modèles. Le premier est bleu et coûte 1€ et pèse 5 grammes. Le second modèle est rouge coûte 1,5€ et pèse 7 grammes. Le troisième est bleu coûte 3€ et pèse 8 grammes. Le dernier modèle est rouge coute 4€ et pèse 10 grammes.
Il est uniquement possible de placer exactement 12 stylos de le colis qui ne doit pas peser plus de 78 grammes, hors emballage. Le budget hors frais de port est de 22€. Et il doit y avoir autant de stylos de chaque couleur. Montrez que l’on peut modéliser ce problème sous forme d’un système linéaire.
Si la solution n’était pas entière, que devriez-vous faire ?
Il m’est demandé de rédiger le programme C pour déterminer le contenu du colis.
Je vous avoue que j’ai réussi tous mes exercices du devoir mais pas celui-ci, et ça me frustre vraiment. C’est pourquoi je fais appel a votre aide ?
Je vais faire une tentative pour écrire le système:
Soient n1 à n4 les variables, c1 à c4 les coûts et p1 à p4 les poids.
n1*c1 + n2*c2 + n3*c3 + n4*c4 <= 22
n1*p1 +n2*p2 +n3*p3 +n4*p4 <= 78
n1 + n2 + n3 + n4 = 12
n1+n3 > 0 et n2+n4 > 0
Il n'y a qu'une équation parmi des inéquations.
La façon dont je l'ai fait consiste à trouver l'élément de moindre "charge" (coût et poids). Ici, c'est le premier (n1).
Je lui ai donné 12 stylos. C'aurait été la solution optimale.
Cependant j'avais une contrainte, il me fallait au moins un élément de la couleur complémentaire.
Quel est le meilleur choix (n2 ou n4?)? Celui qui a la charge la plus basse (n2).
Donc la solution optimale est n1=11, n2=1, n3=0, n4=0
Cette solution satisfait toutes les inéquations et équation.
J'ai présenté d'autres possibilités en retranchant des stylos du prenier type pour les donner à d'autres types tant que cela respecte les contraintes.
Passer de la solution {6, 4, 1, 1} à {6, 3, 2, 1} se fait en retranchant du 2ième type pour en donner au 3ième type.
On s'apperçoit vite qu'en retranchant des types de basse charge pour les donner aux types de haute charge nous amène rapidement à transgresser les contraintes.
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
» Et il doit y avoir autant de stylos de chaque couleur.
La solution n1=6, n2=6 n3=0 n4=0 donne [12, 15, 72]
et elle devrait satisfaire les contrainte cette fois ...
Cette contrainte est plus forte que ce que j'avais pensé.
L'algorithme choisirait la paire bleu-rouge de moindre charge et augmenterait le nombre d'eléments
Ça reste encore la façon de trouver la solution optimale.
Ensuite, si on veut trouver d'autres solutions, on retranche un élément de chaque type de cette paire et on les donne aux types de charge plus forte.
On continue ainsi tant qu'on ne depasse pas les limites.
La solution {5, 5, 1, 1} = [12, 19.5, 78]; nous amène déjà à la limite sur le poids.
les solutions {6, 5, 0, 1] = [12, 17.5, 75] et {5, 6, 1, 0} = [12, 17, 75] sont des variantes en redistribuant d'un type à l'autres de la même couleur.
Je vous laisse le plaisir d'en trouver d'autres s'il en reste ...
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
Sujet boite aux crayons (Systeme lineaire)
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