Bonjour à tous,

En utilisant le principe de la conservation de la quantité de mouvement ainsi que de l'énergie cinétique lors d'un choc entièrement élastique j'obtiens le système suivant :

\begin{cases}  \overrightarrow{p_{1}} + \overrightarrow{p_{2}} = \overrightarrow{p_{1}'} + \overrightarrow{p_{2}'} \\ m_{1} \times v_{1}^{2} + m_{2} \times v_{2}^{2} = m_{1} \times v_{1}'^{2} + m_{2} \times v_{2}'^{2} \end{cases} 

                                                                               Le choc n'a lieu que sur un axe \( \Rightarrow \)

\begin{cases} m_{1} \times v_{1} + m_{2} \times v_{2} = m_{1} \times v_{1}' + m_{2} \times v_{2}' \\ m_{1} \times v_{1}^{2} + m_{2} \times v_{2}^{2} = m_{1} \times v_{1}'^{2} + m_{2} \times v_{2}'^{2} \end{cases} 

Je voudrais trouver l'expression de \(v_{1}'\) et \(v_{2}'\) mais je ne trouve pas la méthode pour résoudre ce système. Pourriez-vous m'éclairer sur ce point ? 

Merci par avance

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Edité par deazer 5 février 2013 à 21:41:16

Oh, des carrés !

Je verrais bien une méthode de substitution... genre à partir de la 1ere equation on trouve \(v'_1\) en fonction des autres paramètres et on injecte ça dans la 2e, ce qui nous donne le carré de \(v'_2\), toussa toussa quoi

Grob' : Substitution ? Avec des carrés ? Beurk.

La solution repose en fait sur une astuce de calcul, on passe v1 et v'1 d'un côté de l'égalité, v2 et v'2 de l'autre. On factorise l'identité remarquable qui apparaît (a²-b²) dans l'équation avec des carrés, et on divise la deuxième équation (celle avec les carrés) par la première.

\( \begin{cases} m_1 ( v_1-v'_1) = m_2 (v'_2 - v_2)\\m_1 (v_1^2 - v_1'^2) = m_2 (v_2'^2 - v_2^2)\Leftrightarrow m_1 (v_1 - v'_1)(v_1 + v'_1)  = m_2 (v'_2 - v_2)(v'_2 + v_2)\end{cases} \)

\( \begin{cases} m_1 ( v_1-v'_1) = m_2 (v'_2 - v_2)\\ v_1 + v'_1 = v_2 + v'_2\end{cases} \)

On se retrouve donc avec deux équations linéaires, que l'on résout par la méthode de notre choix.

Le plus simple, c'est de sommer les deux égalités (la seconde étant multipliée par m1), trouver v'2, et faire de même pour v'1.

Edit : Le latex me rendra fou.

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Edité par melepe 5 février 2013 à 23:56:05

c'est une équation vectoriel Grob' (même si l'op les a omis dans la seconde écriture), il y a en réalité 4 équations et 6 inconnu (que l'on abrège en 2 équations).

\( (v_{x1}',v_{y1}',v_{z1}') et (v_{x2}',v_{y2}',v_{z2}') \)

En faite il y a une infinité de solutions possibles avec 2 degrés de libertés, tu peux donc vraiment obtenir mathématiquement parlant une infinité de solutions.

Si tu veux résoudre ce type d’équations tu peux par exemple:

Imposer des paramètres. Par exemple la norme et/ou direction de v'1 et/ou v'2. Ou alors imposer certaines des composantes des vitesses

Une méthode pour obtenir des solutions pseudo physique serait d'introduire un paramètre d'impact et d'imposer la direction des vitesses v'1 et v'2 en disant: angle d'incidence = angle de diffusion (comme la lumiere sur un miroir ) et ainsi tu auras assez d’équations pour résoudre ton système

Si tu imposes 1 seul paramètre tu auras toujours une infinité de solution mais plus contrainte: (par exemple un "cône" de diffusion)

edit:

Ah oui j'avais pas vu selon un seul axe bon je rajoute alors pour l'Op au cas ou:
Ce n'est pas parce que tes particules sont sur un axe avant le choc qu'elle seront sur le MÊME après !

Un autre ajout pour compléter ce que j'ai dis précédemment (au cas ou c'est utile à quelqu'un ):
Il faut faire attention : infinité de solution ne veux pas dire que toute les solutions sont possibles. Ainsi vouloir imposer plus de 2 paramètres c'est sans aucun doute (sauf chance incroyable) se retrouver avec un système qui ne peux pas être résolu !

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Edité par Vael 6 février 2013 à 0:06:30

Dans le cas général oui, mais là le choc est à une dimension.

Salut,

En utilisant la méthode de melepe, j'arrive à une équation similaire mais avec des "+" dans les parenthèse au lieu des "-" comme il l'a écrit. Quelqu'un pourrait-il détailler la méthode jusqu'à l'obtention de v1' et v2' ?

D'avance merci et bonne soirée.

_____________________

Finalement, je crois avoir trouvé,merci.

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Edité par Elapse 27 février 2013 à 19:07:04

melepe a écrit:

La solution repose en fait sur une astuce de calcul, on passe v1 et v'1 d'un côté de l'égalité, v2 et v'2 de l'autre. On factorise l'identité remarquable qui apparaît (a²-b²) dans l'équation avec des carrés, et on divise la deuxième équation (celle avec les carrés) par la première.

\( \begin{cases} m_1 ( v_1-v'_1) = m_2 (v'_2 - v_2)\\m_1 (v_1^2 - v_1'^2) = m_2 (v_2'^2 - v_2^2)\Leftrightarrow m_1 (v_1 - v'_1)(v_1 + v'_1)  = m_2 (v'_2 - v_2)(v'_2 + v_2)\end{cases} \)

\( \begin{cases} m_1 ( v_1-v'_1) = m_2 (v'_2 - v_2)\\ v_1 + v'_1 = v_2 + v'_2\end{cases} \)

On se retrouve donc avec deux équations linéaires, que l'on résout par la méthode de notre choix.

Le plus simple, c'est de sommer les deux égalités (la seconde étant multipliée par m1), trouver v'2, et faire de même pour v'1.

Salut, j'ai essayé de continuer, mais j'y arrive pas du tout comment faire SVPP ??
Merci

Simple résolution d'un système de deux équations à deux inconnues.

Comme je disais, il faut multiplier les deux termes de la seconde égalité par m1, puis tu additionnes les deux égalités. Ca te permet de trouver v2'.

Après, tu fais la même chose pour v1', en multipliant par m2 plutôt que m1.

Merci, j'ai essayé mais je suis bloqué en plus je sais meme si j'ai bien compris ce que ca signifiait...

Euh, c'est un peu étonnant que tu ne saches pas résoudre par toi-même un système 2*2... Même si tu n'appliques pas la méthode dont je parle.

\( \begin{cases} m_1 ( v_1-v'_1) = m_2 (v'_2 - v_2)\\ v_1 + v'_1 = v_2 + v'_2\end{cases} \)

Donc en multipliant la seconde égalité par m1,

\( \begin{cases} m_1 ( v_1-v'_1) = m_2 (v'_2 - v_2)\\ m_1(v_1 + v'_1) = m_1(v_2 + v'_2)\end{cases} \)

En additionnant ces deux égalités :

\( m_1 (v_1 - v'_1 + v_1 + v'_1) = m_2(v'_2 - v_2) + m_1(v_2 + v'_2) \)

\( 2.m_1.v_1 = v'_2(m_2 + m_1) + v_2(m_1 - m_2) \)

Et là tu trouves \( v'_2 \).

Pour v'1, pareil, sauf qu'au début il faut multiplier par m2.

Merci beaucoup

Une dernière chose, pourriez vous m'éclairer sur les incertitudes svp :

est ce que cette phrase est correcte??

Quelqu'un a écrit:

"pour les incertitudes on prend en compte juste le nombre de chiffres apres la virgule, pas le nb de cs"

(CS = chiffres significatifs)

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Edité par Jobris1999 29 septembre 2013 à 11:35:57

Bjr...pouve vous met montré comment calculer le vitesse de v1 avants le chos élastique m2 est isolé .

Bonjour,

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