En considérant qu'un élément de R à une infinité de chiffres après la virgule, il y a 10 possibilité (10 chiffre) pour chaque emplacement et il y a une infinité d'emplacements ce qui fait 10x10x... = 10 puissance l'infini. On ne tient pas compte de l'infinité de chiffre avant la virgule car il existe une bijection de N^2 dans N donc multiplier par l'infini ne change pas la taille.

Mon résonnement est-il juste ? 

Les gens raisonnent, et les tambours résonnent.

Ici, tu as fait le bon choix, tu ne raisonnes pas, tu résonnes.

Bon, je suis méchant, désolé. 

C'est surtout de savoir ce que tu veux prouver.
Si je demande quel est le chiffre après le dernier sachant qu'il y en a une infinité ...

Il me semble qu'y a une bijection entre R et N^N. C'est peut-être ce dont tu parles, mais effectivement on ne sait pas trop quelle est ta conclusion...

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Edité par robun 14 mai 2021 à 9:55:08

pour moi l'infini < constante puissance l'infini < l'infini puissance l'infini < constante puissance l'infini puissance l'infini <... en quelque sorte

Attention qu'en maths le mot infini a deux sens :

− Quand on dit qu'une suite tend vers l'infini, c'est une façon de parler, c'est juste une expression (pour dire que les termes peuvent être aussi grands qu'on veut à partir d'un certain rang). Pareil pour une fonction qui tend vers l'infini. Dans ce cas, l'infini n'existe pas en tant qu'objet mathématique, juste en tant qu'élément de vocabulaire.

− L'infini défini par Cantor est un objet mathématique. Mais il y a plusieurs infinis (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini ) et ce n'est pas trivial.

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Edité par robun 15 mai 2021 à 15:58:08

Et l'infini de R n'est pas le même que l'infini de R² ou R ³
Exemple d'une suite infinie dont le résultat n'est pas infini:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n + ...  converge vers 2

Sans cadre formel, les phrase d'AxelTurpin n'ont pas de sens défini. Soit il précise le formalise, le contexte … et dans ce cas son questionnement pourrait avoir une réponse soit il ne le fait pas et ą revient à avoir une discussion de pochtrons accoudés à un zinc.

R et R² ont bien le meme infini car il existe une bijection d'apres:(https://www.ilemaths.net/sujet-bijection-de-r-dans-c-368243.html) ou il se trompe ? si j'ai compris a partir d'un element de R il prend un chiffre sur 2 pour faire un element de R² et l'autre chiffre sur 2 pour faire l'autre elements de R² et inverserment il met les chiffres à la suite pour aller de R² dans R. D'apres mon approcher en metant au carre on obitient constante puissance infini x 2
Or infini x 2 = infini donc ca revient a la meme taille.

Remarque: Dans mon approche une constante puissance l'infini = n'importe quelle constante puissance infini avec des constante superieur à 1. car on peut faire le meme raisonnement en base 2 et conclure que la taille de R est 2 puissance infini par exemple.

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Edité par AxelTurpin 16 mai 2021 à 18:29:59

Mais où veux-tu en venir ? Tu veux refaire la théorie des nombres transfinis ? Étudies-la, plutôt.

AxelTurpin a écrit:

R et R² ont bien le meme infini car il existe une bijection d'apres:(https://www.ilemaths.net/sujet-bijection-de-r-dans-c-368243.html) ou il se trompe ?

Il existe des bijections entre ℝ et ℝ² , ces deux ensembles ont donc le même cardinal (pas inifini, cardinal). L'infini n'est pas un nombre que tu pourrais manipuler comme un nombre.

Il y a aussi une notation : \( \overline{R} = \{-\infty\} \cup R \cup \{+\infty\} \)

Mais ce n'est qu'une notation (que personnellement je n'aime pas : elle ne sert qu'à abréger).

Car mettons qu'on veuille considérer ∞ comme une sorte de nombre étendu. On note son opposé -∞, et par définition : ∞ - ∞  = 0.

On doit définir l'addition et la multiplication :

• ∞ est un élément absorbant pour l'addition : ∞ + x = ∞  (y compris si x = ∞ , mais pas si x = -∞ ).
• ∞ est un élément plus ou moins absorbant pour la multiplication : ∞ ⋅ x = ∞ si x positif, -∞ si x négatif, mais 0 si x = 0.
• On notera en particulier que ∞ ² = ∞ .

Notons que ∞ ⋅ 0 = 0 : 0 reste un élément absorbant pour la multiplication.

Démonstration : ∞ ⋅ 0 = ∞ ⋅ (∞  - ∞) = ∞ ² - ∞ ² = ∞  - ∞  = 0.

Autre remarque : ∞ ne peut pas avoir d'inverse (tout comme 0). En effet, ∞ ⋅ x = 0 ou ∞, mais jamais 1.

Considérons à présent la suite (n) et la suite (n²) (pour n entier naturel). On a :

lim(n) = ∞ , lim(n²) = ∞ , mais lim(n² - n) ≠ ∞ - ∞  donc ≠ lin(n²) - lim(n)

De plus : lim(1/n) ≠ 1/∞ puisque lim(1/n) = 0 qui n'est pas l'inverse de ∞.

Bref, ça ne sert pas pour manipuler des limites. Du coup ça ne sert à rien.

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Edité par robun 17 mai 2021 à 10:26:48

De plus ∞ n'est pas non plus le cardinal de ℝ ... ce dernier est noté ℭ la puissance du continu.

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Edité par White Crow 17 mai 2021 à 7:37:19

C'est vrais que ca sert pas beaucoup, mais ca donne peut etre toutes les tailles d'infini possible, il n'y a pas d'infini de taille/cardinal intermediaire entre N et R, si ?

Il me semble que c'est comme pour l'axiome d'Euclide : on peut poser en axiome qu'il n'y a pas d'infini intermédiaire, ou qu'il y en a.

Si vraiment ça t'intéresse Axel, il y a un approche originale de Conway pour construire des ensembles de nombres avec lesquels il est possible de donner un sens à une expression comme : «la racine carrée de l'infini moins 1», «l'infiniment petit c'est l'inverse de l'infiniment grand», «l'infini plus 1», «2 exposant l'infini», etc  …

Elle a été bien vulgarisée (mais ça va dépendre de ton niveau en math) par Knuth (ouaips, que de grands noms !) dans un petit fascicule : Les Nombres Surréels, ou comment deux anciens étudiants découvrirent les mathématiques pures et vécurent heureux. En suivant le lien tu trouveras une version française.

Merci, Si ca interrese d'autre monde, j'ai trouver ca aussi: https://www.mathemathieu.fr/art/articles-maths/44-infini-infinis-vers-hyp-continu#:~:text=Revenons%20%C3%A0%20nos%20r%C3%A9els...,(%20R%20)%20%3E%20%E2%88%9ER%20.

Dedans il est dit que si il y a n elements dans X alors P(X) en a 2^n, on retrouve le fait que les puissance agrandissent l'infini.
Ca a peu d'utilité, mais j'aime bien cette representation.