Bonjour, on dit toujours que le temps d'une chute libre est égale à 1/2 gt² + Vit car on ne prend pas en compte le fait que g(soit l'accèlération) n'est pas constante. En effet, en réalité, l'accélèration a = G* Mt/d². J'ai donc voulu essayer de calculer le véritable temps de chute libre d'un objet sur la terre en prenant en compte que a varie en fonction de l'altitude. Voici comment je m'y suis pris:

J'ai déterminé a(h) = 40.06 * 10^13 / (4.06*10^13 + h² + 8.12 * 10^13*h). J'ai calculé cette fonction grâce aux formules que j'ai dites plus tôt.

Seulement voilà, j'ai l'accélèration en fonction de h mais pas en fonction de t. Je ne peu donc pas trouvé la vitesse en fonction du temps, ce qui me semble nécessaire pour la suite des calculs.

Quelqu'un aurait-il une idée pour faire avancer mon problème ou même une autre solution car sûrement que je ne m'y prends pas bien. Je rappel que le but final est de trouver le temps exacte d'une chute libre sur terre en prenant en compte que a n'est pas constante.

En espèrant avoir été clair, Merci d'avance.

Hello.

La formule que tu a de a correspond effectivement à l'accélération d'un objet  qui subit la force de gravité. Lorsque l'objet est à la surface de la terre, on retrouve : a = 9.81m/s^2.

Si l'objet est à une altitude h du sol, on a : \( a = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{R^2 + 2*R*h + h^2}  \)  et si h << R, tu vois que prendre en compte l'altitude ne va pas vraiment modifier la valeur de l'accélération.  

Typiquement, le fait de ne pas prendre en compte la rotation de la terre aura certainement plus d'impact sur la trajectoire étudié que les variations de g en fonction de l'altitude. 

si tu souhaite voir si tu dois prendre en compte la hauteur, tu peux essayé de prendre a en considérant la hauteur max de ton objet. Tu aura alors la valeur min d'accélération ce qui te donnera le temps de chute le plus élevé. 
Puis, prendre a = 9.81, ce qui te donnera la valeur max d'accélération ce qui te donnera le temps de chute le plus petit.  La vraie valeur étant quelque part entre les deux (mais cela devrait être presque égale pour h << qq km)  

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Edité par edouard22 17 janvier 2019 à 0:35:13

j'ajouterais à ce que dit edouard22 que, si l'objectif est de calculer un  temps réaliste de chute libre sur la Terre surtout si h est assez important , il faut impérativement  tenir compte de l'atmosphère et du frottement aérodynamique (*), ce qui rendra doublement négligeable la prise en compte d'une variation de g sur une hauteur h<<R. La vitesse de chute approche  une valeur limite théorique assez rapidement. 
On peut résoudre explicitement avec des hypothèses simplificatrices classiques considérant la résistance proportionnelle au carré de la vitesse  et en supposant la masse volumique de l'air constante . Le Cx de l'objet qui chute intervient aussi comme on peut s'en douter mais aussi sa masse contrairement à la chute dans le vide. 
Si h est assez élevée pour que  la masse volumique de l'air ne puisse être considérée comme  constante ( et contrairement à g, elle varie assez vite avec h),  l'équation différentielle du mouvement ne peut se résoudre que numériquement.   

(*) l'écart dans les cas extrêmes devient considérable. Le record mondial de chute libre d'un kamikaze de service est de l'ordre de 39000 m ( ... avec un parachute à la fin quand même vers 2000m!). Le temps de chute libre  avant ouverture du parachute a été de 4 mn 30 environ. En chute libre cela aurait pris   1mn 40s environ.
La vitesse limite de chute stabilisée dans l'air de densité standard  pour un individu est de l'ordre de 200 km/h.

Pour une chute de 39000 m dans le vide, la vitesse à l'arrivée serait d'environ 870 m/s soit supérieure à 3000 km/h ! ( \(v= (\sqrt{2gh}\))

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Edité par Sennacherib 17 janvier 2019 à 9:10:05

Puis bon, au delà de la théorie, pour avoir déjà fait un peu de parachutisme dans ma vie. Le facteur le plus important c'est les frottement de l'air comme le dit Sennacherib. On atteint une vitesse constante relativement rapidement, sachant qu'en plus de ça, suivant la position qu'on prend pendant la chute libre, on peut changer sa propre vitesse de manière assez importante. j'ai pas de chiffre en tête, mais une variation de 20% à 50% ne me choquerait pas du tout.

Et pour calculer les frottements, il faut prendre en compte notre taille, notre position, la texture des vêtements, etc...

Autant dire que la variation de l'altitude est complètement négligeable comparé à ces composants là.

De plus, lors qu'on s'approche du sol (entre genre 2m du sol à 2km du sol), on peut également se prendre des courants ascendants ou descendants, des petites colonnes d'air chaud (qui peuvent quand même monter à du 15 ou 20m/s suivant la météo). Voir même du 50m/s dans des cumulonimbus (nuage d'orage).

Sauf que bon, il faut être fou pour faire de la chute libre dans un orage x)

Merci à vous 3 pour vos réponses, je me doute que sur terre la variation de l'altitude ne va pas impacter beaucoup par rapport aux frottements de l'air mais je me suis posé cette question surtout pour le principe Mathématique(savoir comment je devrais m'y prendre). D'ailleurs, je pourrais trouvé un problème assez similaire si je m'amuse à calculer le temps de chute libre en prenant en compte les frottements de l'air; car la densité de l'air varie également en fonction de l'altitude.

D'ailleurs, pour des planètes sans atmosphère, je pense que la variation de a en fonction de l'altitude joue beaucoup(ou même si mon objet se situe à une altitude > R).

Merci encore pour vos réponses, mais malheureusement aucune ne répond vraiment à ma question de base.

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Edité par Rafa34 17 janvier 2019 à 11:49:36

RafaelLetrillard a écrit:

Merci encore pour vos réponses, mais malheureusement aucune ne répond vraiment à ma question de base.

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Edité par RafaelLetrillard il y a environ 5 heures

mais ta question de base n'a pas de réponse simple avec ton expression de a, sinon qu'il faut résoudre l'équation fondamentale de la dynamique pour obtenir \( h(t)\)  à partir de  \(m\frac{d^2 h(t) }{dt^2}=a(h(t))\)   avec une accélération \(a(h(t))\)  suffisamment compliquée  en \(h(t)\)pour que l'équation différentielle ne puisse se résoudre explicitement.

Par contre, sans considérer \(g\) constant, tu peux faire une approximation excellente par un développement limité à l'ordre 1 qui donne \(g=g_0(1-\frac{2h}{R})\) et l'équation fondamentale de la dynamique devient une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants   que on sait facilement résoudre explicitement. ( ne pas négliger les termes en \((\frac{h}{R})^2\) même jusqu'à des hauteurs de 50 km où se trouve plus de 99.9% de la masse de l'atmosphère est un luxe parfaitement inutile ...  )

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Edité par Sennacherib 18 janvier 2019 à 17:31:51