Bonsoir à tous ,


Voilà dans le cadre d'un exercice de niveau terminale nous avons démontré que :

Pour tout p et q reèls strictement positif vérifiant p + q = 1
et Pour tout réel x>0 et y>0 on a :

<math>\(x^p * y^q \leq px + qy\)</math> (z)

Ensuite on pose a(1) , b(1) , a(2) , b(2) 4 reels strictement positifs et il faut montrer que :

<math>\(a(1) * b(1) + a(2) * b(2) \leq (a(1)^\frac{1}{p} + a(2)^\frac{1}{p})^p * ( b(1)^\frac{1}{q} + b(2)^\frac{1}{q})^q\)</math>


Pour celà il dise d'utiliser l'inégalité (z) et de poser :

<math>\(x(1) = \frac{a(1)^\frac{1}{p}}{a(1)^\frac{1}{p}+a(2)^\frac{1}{p}}\)</math>


Pour l'instant j'ai simplement remarqué le produit :

<math>\((a(1)^\frac{1}{p} + a(2)^\frac{1}{p})^p * ( b(1)^\frac{1}{q} + b(2)^\frac{1}{q})^q\)</math>

Et d'introduite x(2) y(1) et y(2) de la même manière !


pouvait s'écrire comme :


<math>\((\frac{a(1)^\frac{1}{p}}{x(1)})^p*(\frac{b(1)^\frac{1}{p}}{y(2)})^q\)</math>


Donc comme :

<math>\((\frac{a(1)}{x(1)^p})*(\frac{b(1)}{y(2)^q})\)</math>


Pourriez vous me venir en aide s'il vous plait

une petite réponse rapide
tu exprime <math>\(\frac {a_2 \times b_1 + a_2 * b_2}{ (a(1)^\frac{1}{p} + a_2^\frac{1}{p})^p * ( b(1)^\frac{1}{q} + b(2)^\frac{1}{q})^q}\)</math>
en fonction de <math>\(x(1) y(1) x(2) y(2)\)</math>
tu devrais avoir un truc du genre <math>\(\frac {a(1) * b(1) + a(2) * b(2)}{ (a(1)^\frac{1}{p} + a(2)^\frac{1}{p})^p * ( b(1)^\frac{1}{q} + b(2)^\frac{1}{q})^q}=x(1)^p*y(1)^q+x(2)^p*y(2)^q\)</math>

par contre faut faire attention de pas diviser par 0 (mais la tout est strictement positif alors )

Le plus difficile ...est derrière vous.
Si vous avez su démontrer l'inégalité fondamentale ( c'est un peu moins évident que la question posée) , vous ne devriez pas avoir de difficultés à conclure. C'est du calcul sans subtilité notable.
1-Vous exprimez x(2), y(1) et y(2) comme x(1) ( en adaptant les bonnes variables)
2- Vous utilisez l'inégalité pour les couples x(1), y(1) et x(2) et y(2).
3- Vous additionnez pour obtenir une nouvemlle inégalité ( tout est positif donc pas de problème)
Cette nouvemlle inégalité aprés regroupement ad hoc et simplification est celle que vous cherchez.

Salut !
Tu as :
<math>\(x_1 =\frac{a_1^{\frac 1p}}{a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}} \; , \; x_2 =\frac{a_2^{\frac 1p}}{a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}}\)</math>

<math>\(y_1 =\frac{b_1^{\frac 1q}}{b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}} \; , \; y_2 =\frac{b_2^{\frac 1q}}{b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}}\)</math>

L'inégalité (z) : <math>\(x^p \times y^q \leq px + qy\)</math>

Ton résultat à démontrer : <math>\(a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 \leq (a_1^\frac{1}{p} + a_2^\frac{1}{p})^p \times ( b_1^\frac{1}{q} + b_2^\frac{1}{q})^q\)</math>




(z) pour <math>\(x_1 , y_1\)</math> : <math>\(\Biggl( \frac{a_1^{\frac 1p}}{a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}}}\Biggr) ^p \times \Biggl(\frac{b_1^{\frac 1q}}{b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}}\Biggr) ^q \leq \frac {p \times a_1^{\frac 1p} \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})+ q \times b_1^{\frac 1q} \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}) }{(b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}) \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})}\)</math>

en simplifiant : <math>\(\frac {a_1 \times b_1}{(a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})^p \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})^q} \leq \frac {p \times a_1^{\frac 1p} \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})+ q \times b_1^{\frac 1q} \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}) }{(b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}) \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})}\)</math>




(z) pour <math>\(x_2 , y_2\)</math> : <math>\(\Biggl( \frac{a_2^{\frac 1p}}{a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}}}\Biggr) ^p \times \Biggl(\frac{b_2^{\frac 1q}}{b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}}\Biggr) ^q \leq \frac {p \times a_2^{\frac 1p} \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})+ q \times b_2^{\frac 1q} \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}) }{(b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}) \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})}\)</math>

en simplifiant : <math>\(\frac {a_2 \times b_2}{(a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})^p \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})^q} \leq \frac {p \times a_2^{\frac 1p} \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})+ q \times b_2^{\frac 1q} \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}) }{(b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}) \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})}\)</math>




en additionnant les deux inégalités trouvés : <math>\(\frac {a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2} {(a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})^p \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})^q} \leq \frac {p \times (a_1^{\frac 1p} + a_2^{\frac 1p}) \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})+ q \times (b_1^{\frac 1q} + b_2^{\frac 1q}) \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p}) } {(b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q}) \times (a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})}\)</math>

Et comme par magie, en simplifiant :

<math>\(\frac {a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2} {(a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})^p \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})^q} \leq p+q\)</math>

<math>\(\frac {a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2} {(a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})^p \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})^q} \leq 1\)</math>

Donc : <math>\({a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2} \leq {(a_1^{\frac 1p}+a_2^{\frac 1p})^p \times (b_1^{\frac 1q}+b_2^{\frac 1q})^q}\)</math>

C'était long à écrire... mais voilà! bonne journée.

à Darcanis ,
vous explicitez ce que j'ai simplement suggéré,
...il aurait été bien de laisser un peu travailler Lugielric...pour son plus grand profit!

Citation : nabucos

à Darcanis ,
vous explicitez ce que j'ai simplement suggéré,
...il aurait été bien de laisser un peu travailler Lugielric...pour son plus grand profit!

Bien évidemment, je crois qu'il à compris qu'il travaillait pour lui.
Ce n'est pas pour ça qu'il va copier-coller ce que j'ai explicité, non?

Merci à tous et pour Nabucos j'ai suivi ton protocole ce matin en cours et j'ai fais un truc qui ressemble de près à ce que Darcanis a proposé ... juste pas le même départ !

Merci à tous les trois !