Bonjour,

Je cherche à calculer l'entropie crée par l'écoulement d'un fluide sur un matériau à une certaine température.

Le matériau a une température qui évolue de façon linéique (augmente avec les x croissants), je note la différence des températures aux extrémités deltaT et la température moyenne du matériau Tm.

J'ai un document qui utilise sans explication la relation deltaS = Q * deltaT /T²

où Q est la chaleur échangée par le fluide et deltaS la variation d'entropie du matériau

Mais je ne trouve cette relation nulle part sur internet et je n'arrive pas à trouver de justification.

Merci de votre aide

Bonjour,

On peut arriver à   la relation indiquée faisant en particulier apparaître le terme en \(\left( \dfrac{1}{T^2 }\right)\), mais qui dans le cas général est à mon avis une relation locale en un volume élémentaire de matériau sous un gradient de température  .  

Je suppose que le \(dS\) indiqué est en fait la variation d'entropie créée ( interne) dans le système  \(dS_i\) ( ici par le flux thermique dans le matériau), la variation totale d'entropie étant \(dS=dS_e +dS_i\) ,  \(dS_e\) étant la variation d'entropie d'échange  avec le milieu extérieur. 
\(dS_i\) est en général difficile sinon impossible à calculer directement.
La démarche pour calculer \(dS_i\) consiste le plus souvent à calculer les deux autres termes, lorsque les hypothèses le permettent.

L'entropie étant une fonction d'état, \(dS\) peut se  calculer lorsque on peut  imaginer une transformation réversible entre l'état initial et final où un calcul explicite est possible.
Pour l'entropie d'échange, un cas simple est celui du système en contact avec une source à température constante\(T_s\), on a alors la relation classique \(dS=\frac{\delta Q}{T_s}\). On peut généraliser par sommation en présence de plusieurs sources ou par intégration pour une variation continue de température le long de la frontière système/milieu extérieur.  

En régime permanent le système est en équilibre thermodynamique et on a simplement \(dS=0\) donc \( dS_i =-dS_e\). Il suffit donc de savoir calculer l'entropie d’échange pour accéder à la variation d'entropie interne.

Prenons la situation simple d'un matériau en contact avec deux sources à température constante en régime permanent ( par exemple une plaque dont les faces sont maintenues à température \(T_1\) et \(T_2\)).  On en déduit alors  que \(dS_i=\left( \dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)dQ\) .
La quantité de chaleur \(dQ\) est la quantité qui traverse une surface \(dA\) pendant un temps \(dt\) sous un flux thermique \(\varphi\). 
Le flux est proportionnel au gradient thermique ( loi de Fourier) soit à \(T_2-T_1\) lorsque comme ici, le gradient est constant.

Pour notre système à deux sources, on peut donc  écrire  \(\dfrac{dS_i}{dt}= \left( \dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)dA \varphi   \) .

Par passage à la limite de cet exemple simple ( un démonstration plus rigoureuse est possible), on va exprimer le flux sortant d'un volume élémentaire de matière \(dV=dA.de\) . Par ce passage à la limite on voit que \( \left( \dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right)\) représente localement \(-\overrightarrow{grad}\left( \dfrac{1}{T } \right)\),  d'où le flux entropique interne associé au volume \(dV\):

\(\dfrac{dS_i}{dt}= -\overrightarrow{grad}\left( \dfrac{1}{T } \right)dV \varphi   \) ou encore en fonction de la chaleur sortant ( algébriquement) du  volume \(dV\), soit \(dQ= dV \varphi dt\):

\( dS_i = -\overrightarrow{grad}\left( \dfrac{1}{T }\right)  dQ  \), relation donnant dans le cas général la création locale d'entropie en présence d'un gradient de température.

Dans un système ne dépendant que d'une variable \(\overrightarrow{grad} \left( \dfrac{1}{T }\right)=-\left( \dfrac{1}{T^2 }\right) . \dfrac{dT}{dx}\)

 En posant alors \(\mathcal{Q}=\dfrac{dQ}{dx}\) représentant la quantité de chaleur transmise par unité de surface entre \(x\) et \(x+dx\), on arrive finalement à :

\( dS_i = \mathcal{Q} \left( \dfrac{dT}{T^2 }\right)    \).    

Lorsque le gradient de température est constant, on va retrouver l'expression   de l'exemple simple de départ.  

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Edité par Sennacherib 16 mai 2018 à 11:29:48