Après quelques années sans maths, je tâche de comprendre avec bien plus de profondeur qu'à l'adolescence des éléments "de base".
J'ai donc très envie d'être sûre de comprendre les notations. Hors, dans les "pour aller plus loin", il m'arrive clairement de manquer de vocabulaire initial.
Pourriez-vous m'aider en traduisant les phrases suivantes ?
1) ∀(i,j)∈[[1;n]]2,i≠j,Ai∩Aj=∅
2) ∪ni=1Ai=Ω
3) P(B)=∑ni=1(P(Ai∩B)
Pour la 1, je ne comprends pas le sens du A inversé. Je suppose que i, j et n qualifient des entiers. Et j'admets avec une ptite pique de honte que je ne sais plus ce que cela signifie quand le nombre est au pied de la lettre :blush:
Pour la 2, il y a de l'exposant et du "pied" : cela veut-il dire que c'est "toutes les valeurs entre i qui commence à 1 et n" ?
Pour la 3, serait-ce "la probabilité de B est égale à l'ensemble des entiers compris entre 1 et n dont la probabilité de A et à l'intersection de la probabilité de B" ?
Merci pour votre aide patiente dans cette démarche de vaincre ses vieux dragons ;-) Bonne journée ^_^ P(B)=∑ni=1(P(Ai∩B)
Quand le juriste se lasse d’empiler des textes dont l’encre est à peine sèche, de réconcilier des dispositions qui se contredisent ou, tout simplement, de s’échiner à leur donner un sens, vient un moment où, guetté par le découragement, il laisse son sac au bord du chemin, s’arrête et se pose la question fondamentale, la seule qui vaille : tout cela est-il bien raisonnable ? (A. Lucas)
Je ne sais pas utiliser les symboles ( pied , exposant ) sur ce site, donc ça va être galère.
Je vais faire différentes remarques, certainement pas exhaustive.
Point n°1 : on ne dit pas pied, on dit plutôt Indice. On ne dit pas exposant non plus , mais il n'y a pas à ma connaissance de mot précis à la place de exposant. Le mot exposant est réservé à un cas précis, par exemple le 2 de ta 1ère question, et dans ce cas, le 2 se prononce 'au carré'.
Point n°3 : tu dis : 'la probabilité est égale à l'ensemble ...'.
Non. J'arrête là. Une probabilité, ce n'est pas un ensemble, c'est un nombre. P(B) représente bien une probabilité. Mais c'est une somme ( la lettre grecque Sigma majuscule, ça symbolise une somme ou une addition) ; les indications i=1 en indice et n en '''exposant''', ça nous donne les limite de cette somme. Ici, on va prendre n nombres, et on va faire la somme de ces n nombres. Et les n nombres en question, c'est quoi, c'est n probabilités ... qu'on va voir plus loin.
En gros : on lance un dé , B est la probabilité d'obtenir un nombre pair. P(B)=P(2)+P(4)+P(6) ; ici, je n'ai que 3 nombres à additionner, j'écris la formule avec le symbole + pour l'addition. Si j'avais 100 nombres à additionner, je me débrouillerais pour utiliser le symbole SIGMA ( somme de plein de nombres).
Le symbole ∩ : C'est le symbole 'Intersection'. Je n'en dis pas plus...
Le symbole ∀ : il se lit 'quel que soit' ; Tu as dû entendre cette phrase des centaines de fois.
Sur cette première ligne, ça veut dire : Prenons un nombre i entre 1 et n, au hasard. Et prenons un nombre j également entre 1 et n au hasard. Supposons que i est différent de j (c'est ce qui est symbolisé par i≠j ; Alors on a l'assurance que les ensembles Ai et Aj n'ont aucun élément en commun.
J'arrête là. Les 3 propriétés que tu as recopiées là servent à définir une 'Partition'.
La première notation est juste mais suggère que l'on s'intéresse aux couples (i,j) en tant que couples. Non, on veut juste dire que i et j font partie de l'ensemble écrit à droite.
\( \forall \) = quel(s) que soi(en)t.
\( \in \) = appartenant à.
\( \left[\left[ 1;n \right]\right] \) = l'ensemble des entiers de 1 à n.
En fait il s'agit de la même notation que pour un intervalle [a,b], sauf qu'avec un simple crochet il s'agit de tous les nombres réels entre a et b (il y en a une infinité).
« Quels que soient i et j entiers compris entre 1 et n, i étant différent de j, on a : l'intersection de l'ensemble \( A_i \) avec \( A_j \) est vide. »
La notation \( A_i \) sert à numéroter des objets de même nature. Par exemple, si on a plein d'ensembles, on pourrait les noter A, B, C, D, etc. Mais on s'arrête où ? On préfère numéroter les ensembles : \( A_1 \) est le premier ensemble de la liste. Ainsi, s'il y a n ensembles, ils seront numérotés \( A_1 \) jusque \( A_n \), et ceci sans avoir besoin de connaître la valeur de n.
2) Le symbole \( \cup \) signifie « la réunion de ». Si nos ensembles sont numérotés de 1 à n, \( \cup_{i=1}^n A_i \) signifie « la réunion des ensembles \( A_1\), \( A_2\), etc. jusque \( A_n \) est égale à l'ensemble \( \Omega\) » (en probabilités, c'est en gros l'ensemble de toutes les éventualités).
Donc l'égalité 2 se lit :
« la réunion de tous les ensembles \( A_i \) (i allant de 1 à n) donne l'ensemble \( \Omega \).
3) Le symbole \( \sum \) signifie « la somme de ».
Exemple : \( \sum_{x=1}^4 x^2 \) est la même chose que 1² + 2² + 3² + 4² (on remplace les x par toutes les valeurs allant de 1 à 4, on les met au carré et on fait la somme).
L'égalité 3 se lit :
« la probabilité de B est égale à la somme des probabilités de tous les \(A_i\) inter B pour i allant de 1 à n. »
(On dit « A inter B » pour « l'intersection de A et B », et de même « A union B » pour « la réunion de A et B », ça va plus vite.)
Souvent, il est utile de développer la somme :
\( P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i \cap B) = P(A_1 \cap B) + P(A_2 \cap B) + \cdots + P(A_n \cap B) \)
(C'est moins rigoureux car on ne sait pas quelle est la valeur de n, donc on ne sait pas s'il y a au moins trois termes, mais c'est plus facile pour comprendre de quoi il s'agit.)
(Concernant cette propriété, c'est en fait un dessin qui est indispensable pour bien la comprendre. Quand j'étais étudiant, on m'avait dit que les Québécois l'appellent la « formule du saucisson », ce que le dessin confirme.)
Très bonne journée à vous et merci pour votre aide !
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Traduction du langage mathématique
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