Bonjour,

Je cherche à tracer la courbe correspondant à la trajectoire d'un objet lancé à la verticale à partir de la surface de la terre en prenant en compte la diminution de gravité en fonction de l'altitude (axe y).

Pour ce faire, j'utilise la formule suivante:

"y" représente l'altitude en fonction de la vitesse de lancer (v1), de l'accélération terrestre (a) et du temps (x).
Cette formule semble être correcte et donne une courbe cohérente. Ci-dessous l'exemple pour v1=4500 m/s et a=9.81 m/s^2

Pour être plus précis, je souhaite désormais prendre en compte le fait que la gravité (ou plutôt l'accélération due à la gravité) diminue en fonction de l'éloignement (altitude) de l'objet par rapport à la terre selon la formule suivante:

avec G (constante de gravité universelle = 6.69*10^-11), m (masse de la terre = 5.97*10^24) et d (distance séparant l'objet lancé de la terre), j'obtiens :

Pour rappel, "y" correspond à l'altitude de l'objet par rapport à la surface de la terre. La valeur 6.38*10^-6 correspond quant à elle au rayon de la terre.

En mixant ces deux formules j'obtiens :

Et ci-dessous la courbe correspondante en violet (la courbe rouge correspond quant à elle à une gravité constante de 9.81):

Cette courbe violette est visiblement erronée car lorsque l'objet retombe sur la terre, il revient en arrière sur l'axe x (axe du temps)...

Je serai extrêmement reconnaissant si quelqu'un arrive à trouver ce qui cloche dans mon raisonnement ou dans mes formules.

Merci d'avance.

Salut,

à première vue, je dirais que le problème vient du fait que la formule que tu utilises est établie en supposant que \(a\) est constante. Pour l'obtenir, il faut revenir au principe fondamental de la dynamique (PFD) qui dit que l'accélération (dérivée seconde de la position par rapport au temps) est égale à la somme des forces s'appliquant au système. Si ta position est \(X(t) = (x(t), y(t)) \) où \(t\) est le temps, tu as

\(\dfrac{d^2 x(t)}{dt^2} = 0\)

\(\dfrac{d^2 y(t)}{dt^2} = -a \)

En intégrant deux fois par rapport au temps, en supposant que \(a\) est une constante, tu obtiens deux expressions

\(x(t) = ..., y(t) = ...\)

En exprimant \(t = t(x)\) (en exprimant le temps comme fonction de \(x\) puis en injectant dans l'expression de \(y\), tu obtiens ta formule. Sauf que ... si \(a\) n'est pas une constante, ta formule est fausse et il faut repartir de l'expression que je donne ci-dessus qui devient donc

\(\dfrac{d^2 x(t)}{dt^2} = 0\)

\(\dfrac{d^2 y(t)}{dt^2} = -a(y(t)) \)

Il est très probable (je n'ai pas fait le calcul) que tu n'aies pas de jolie formule dans ce cas là. Il y a alors deux possibilités :

• tu fais une intégration numérique (voir schéma d'Euler, etc.)
• tu remarques que \(y\) est très petit devant \(6.38\cdot 10^6\) et que tu as de manière raisonnablement approchée (développement de Taylor)

\(\dfrac{1}{(6.38\cdot 10^6 + y)^2} \approx \dfrac{1}{(6.38\cdot 10^6)^2} \cdot (1 + 2\dfrac{y}{6.38\cdot 10^6})\)

et que tu as juste à résoudre deux équations différentielles de la forme

\(\dfrac{d^2 x(t)}{dt^2} = 0\)

\(\dfrac{d^2 y(t)}{dt^2} = A + B\cdot y(t) \)

qui sont des équations différentielles ordinaires d'ordre 2.

Edit: je pense que je viens de comprendre que \(x\) est le temps. Cela dit, on en revient au même : il faut repartir du PFD.

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Edité par Nozio 20 janvier 2020 à 14:00:06

Salut Nozio,

Merci beaucoup pour ta réponse.
Dans mon cas, je ne peux pas utiliser le développement de Taylor car c'est justement les très hautes altitudes (y > 10^6) qui m'intéressent et dans ces cas "y" n'est de loin pas négligeable par rapport au rayon de la terre.

J'ai également tenté d'autres approches, par exemple en utilisant le principe de la conservation d'énergie:

mais à chaque fois je reste bloqué. Il faut dire que mes études commencent vraiment à dater et j'ai de la peine à manipuler les fonctions d'intégration...

Mon but est d'obtenir une fonction f(x) ou x est le temps et qui me donnerait la position (altitude "y") d'un objet en fonction du temps et de la vitesse verticale initiale à laquelle l'objet est lancé. Toute la difficulté réside dans le fait que je souhaite prendre en compte la diminution de la gravité en fonction de l'éloignement de l'objet par rapport à la terre.

Si quelqu'un peut m'aider à trouver cette fonction (pour autant que ça soit possible) ça serait parfait. Si je peux ensuite en comprendre les étapes mathématiques permettant de l'obtenir ça serait encore mieux mais je dois avouer que ce n'est pas ma priorité.

Merci d'avance à tous ceux qui me lisent.

x

Salut,

juste pour te dire que j'ai bien vu ton message, je reviens vers toi dès que j'ai trouvé la meilleure option (ça ne sera pas trop long )

Edit: je n'ai pas trouvé de formule. Cependant, il est possible de résoudre cette équation numériquement (il y a une perte de précision évidemment).

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Edité par Nozio 29 janvier 2020 à 11:59:57