On vient de commencer les transferts d'énergie thermique en physique, et ça m'amusait de voir si j'étais capable de trouver la formule pour avoir la température d'une pièce à un moment donné en fonction de t, en considérant un échange basique entre deux pièces d'air, à température différente, avec un volume équivalent, séparée par un mur. La surface de contact est considérée plane, et le système isolé.
A partir de là, j'ai supposé, parce que ça me paraissait assez logique, que le flux thermique était la dérivée de la variation d'énergie qui se produisait dans la pièce la plus froide, selon le même principe que pour la mécanique (où on intègre l'accélération, puis la vitesse, pour avoir le vecteur position).
J'ai pour flux thermique, en fonction du temps : \[\frac{\lambda * S*\Delta T(t)}{e} = \frac{\lambda * S*\Delta J(t)}{C*e}\]
Avec, S la surface de contact, e l'épaisseur du mur, lambda la conductivité thermique du matériau du mur, et C la capacité thermique de mes pièces (qu'on suppose équivalente), delta T la différence de température, et delta J la différence de joules de mes systèmes, correspondant à la variation d'énergie.
Dans ma pièce la plus froide, la température serait alors \(\frac{T_{0}+T2_{0}}{2}-\frac{\Delta T (t)}{2} = \frac{T_{0}+T2_{0}}{2}-\frac{\Delta J (t)}{2C} = T_{0} + \frac{\Delta J (0)}{2C}\ - \frac{\Delta J (t)}{2C}\), sachant que \((\frac{\Delta J (0)}{2}\ - \frac{\Delta J (t)}{2})'\) doit être égale à mon flux thermique (je sais, ça ne s'écrit pas normalement... mais je sais maîtrise très mal la notation physicienne des dérivées). Je n'ai pas encore vu les équations différentielles, mais, il me semble, qu'à partir de là, la seule solution pour \(\Delta J(t)\) est
Ca vous paraît cohérent ? Je suis actuellement en terminale, donc on est pas encore censé avoir vu les équations différentielles. Ma prof en avait brièvement parlé, donc j'ai essayé de me dépatouiller avec ce que j'ai retenu, mais je ne saurais pas réellement "justifié" la valeur que j'ai trouvé pour l'écart d'énergie.
EDIT 2 : C'est bon, les réponses sont ouvertes :D EDIT 3 : Erreur dans mes formules, j'avais écris que \(\Delta T(t) = \Delta J(t) * C\), au lieu de \(\Delta T(t) = \frac{\Delta J(t)}{C}\).
Ca change pas mal de choses, au niveau de la solution que je trouve au final.
- Edité par gasasaa 8 février 2016 à 22:24:44
Vous n'auriez pas un ptit calcul à me montrer ? :D
cvanaret, j'ai bien lu ce qui était dans ton document wikipédia, et il s'avère que mon résultat n'est donc pas de la bonne forme. Cependant, je ne comprends pas en quoi ma méthode est fausse, car elle respecte les conditions de la fonction que je recherche.
Vous n'auriez pas un ptit calcul à me montrer ? :D
avant d'être un petit problème mathématique de résolution d'une équation différentielle de ce type, je pense qu'au départ ton problème relève d'avantage du Forum physique pour une mise en équation correcte.
La solution de l'équation du transfert de chaleur ( loi de Fourier ) à travers le mur dépend fortement des conditions aux limites. Dans le cas général , avec des notations un peu différentes ( qui me paraisse plus explicite) , tu peux avoir à l'intant \(t=0\) une pièce chaude à la température initiale \(T_{Ci}\) et une pièce froide \(T_{Fi}\) et un mur à la température \(T_{Mi}\). L'équilibre thermique est atteint par un transfert où le régime ne sera pas permanent etla résolution générale est difficile...même à BAC + 2 si on ne néglige rien.
Pour simplifier on va supposer, ce que tu fais implicitement, que le transfert se fait par une suite de régime quasi-permanent établi dés l'instant 0, ce qui revient à supposer que le flux à travers le mur est, à chaque instant, celui qui serait calculé avec une température constante imposée sur les faces du mur .
Dans ces conditions, le flux \(J(t)\) à chaque instant \(t\) est donné par \(J=\lambda S\frac{T_C-T_F}{e}\), la variation de température à travers le mur étant linéaire.
Toujours en régime permanent, la conservation de l'énergie permet d'écrire que entre \(t\) et \(t+dt\) la variation d’énergie dans chaque pièce vaut \( Cd(T_C)\) et \(C d(T_F\) respectivement . On écrit alors le bilan entre la puissance thermique transféré égale au flux en supposant le régime quasi - permanent, donc ce qui sort de la pièce chaude égale ce qui entre dans la froide . (ce qui n'est qu'une approximation car en régime non permanent une partie de l’énergie transférée est accumulée dans le mur et il faudrait tenir compte du fait que \(J\) dépend de \(x\) dans l'épaisseur du mur.
On peut donc supposer dans ces conditions que \(C\frac{ d(T_C)}{dt}+\lambda S\frac{\Delta T}{e} =0\) et \(C\frac{T_F}{dt}-\lambda S\frac{\Delta T}{e} =0\)..
On obtient alors par différence une équation différentielle en \(\Delta T=T_C-T_F\) de la forme \(C\frac{\Delta T}{dt}+2 \lambda S\frac{\Delta T}{e} =0\).
La variation de l'écart de température sera alors avec la condition initiale \(\Delta T=(T_{Ci}-T_{Fi})\exp( -\frac{2 \lambda S t}{eC})\) ...à vérifier parce que j'ai écrit un peu en vitesse mais le résultat me parait pas illogique avec une constante de temps \(\tau=\frac{eC}{2 \lambda }\) proportionnelle à l'épaisseur du mur et inversement proportionnelle à la conductivité thermique.
En remontant alors aux deux équations de départ, on obtiendrait :
qui nous donne bien a l'instant initial \(T_C=T_{Ci}, T_F=T_{Fi}\) et à l'équilibre final, au bout d'un temps théoriquement infini, une température d'équilibre \(\frac{T_{Ci}+T_{Fi}}{2}\), résultat attendu puisque on a supposé une capacité thermique identique pour chaque pièce.
Cela ressemble à ce que tu as trouvé...mais pas tout à fait. Un des points qui est incorrect en particulier est la condition sur le flux à l'instant 0. Le flux en régime permanent à l'instant 0, c'est \(J(0)=\lambda S \frac{T_{Ci}-T_{Fi}}{e}\) et non quelque chose de proportionnel à la différence d'énergie stockée dans les pièces au départ. Par ailleurs la mise en équation telle que je la propose conduit alors à une équation différentielle en \(T\) usuelle dans les applications de la loi de Fourier.
- Edité par Sennacherib 7 février 2016 à 12:34:18
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Première chose à dire, je me suis bien trompé de section en postant, je voulais le mettre dans la section physique, et je me suis planté. Si un modo passe par là...
Mise à part ça, il y a plusieurs choses que je ne comprends pas dans la manière dont tu résout le problème, et en particulier le paragraphe de mise en équation.
Sennacherib a écrit:
Toujours en régime permanent, la conservation de l'énergie permet d'écrire que entre \(t\) et \(t+dt\) la variation d’énergie dans chaque pièce vaut \( Cd(T_C)\) et \(C d(T_F\) respectivement . On écrit alors le bilan entre la puissance thermique transféré égale au flux en supposant le régime quasi - permanent, donc ce qui sort de la pièce chaude égale ce qui entre dans la froide . (ce qui n'est qu'une approximation car en régime non permanent une partie de l’énergie transférée est accumulée dans le mur et il faudrait tenir compte du fait que \(J\) dépend de \(x\) dans l'épaisseur du mur.
On peut donc supposer dans ces conditions que \(C\frac{ d(T_C)}{dt}+\lambda S\frac{\Delta T}{e} =0\) et \(C\frac{T_F}{dt}-\lambda S\frac{\Delta T}{e} =0\)..
Qu'entends-tu par flux "quasi-permanent" ? Comment tires-tu tes deux premières formules, pour avoir la variation d'énergie entre t et dt ? Sur une équation différentielle de la forme f(x) = kf'(x), pourquoi le résultat ne serait-il pas \(ae^{kx+b}\) (tu ne considères pas la constante b). De plus, j'aimerais comprendre en quoi ce que j'ai fait est faux, tu dis que :
Sennacherib a écrit:
Cela ressemble à ce que tu as trouvé...mais pas tout à fait. Un des points qui est incorrect en particulier est la condition sur le flux à l'instant 0. Le flux en régime permanent à l'instant 0, c'est \(J(0)=\lambda S \frac{T_{Ci}-T_{Fi}}{e}\) et non quelque chose de proportionnel à la différence d'énergie stockée dans les pièces au départ. Par ailleurs la mise en équation telle que je la propose conduit alors à une équation différentielle en \(T\) usuelle dans les applications de la loi de Fourier.
En quoi ce flux est-il faux ? La différence de température à l'état initial et la différence d'énergie stockée à l'état initial sont censées être proportionnelles l'une à l'autre, de facteur C, non ?
Vous n'auriez pas un ptit calcul à me montrer ? :D
regarde à nouveau le lien de cvanaret. la constante \(b\) dans l'exponentielle ne sert à rien ;la solution s'écrit bien \(y=Ce^{kx}\) . Ce que tu écris revient à \(C=ae^b\) et pourrait laisser croire que le problème dépend de deux constantes , donc deux conditions initiales ce qui n'est pas le cas. La solution d'une telle équation différentielle ne dépend que d'une condition initiale.
2- condition sur le flux
elle est fausse parce que le flux dépend à tout instant de l'écart de température et des caractéristiques du mur, selon la relation que j'ai indiquée, y compris à l'instant initial . Ton expression ne fait pas intervenir le mur...pourtant s'il était , à la limite, parfaitement isolant \( \lambda =0\), ton flux serait nul quelle que soit l'énergie stockée dans tes pièces, ce que ne traduit pas ta relation. En fait \(C\) n'intervient pas dans le flux mais , via l'équation différentielle, dans la constante du temps du problème \( \tau\) . Plus la capacité thermique est élevée, plus la quantité d'énergie à transférer sera importante, et donc toute chose égale par ailleurs, plus l'équilibre sera long à atteindre.
3 régime permanent / quasi-permanent,
comme déjà signalé , la résolution sans approximation de ce problème passe par l'étude d'un régime qui n'est pas permanent ( transitoire). Sans entrer dans les détails,je t'indique la véritable équation du transfert à travers le mur ( Fourier) qui se traduit par une équation pour la température de la forme \(\frac{\partial^2T}{\partial x^2}=a \frac{\partial T}{\partial t}\)( on suppose ici le transfert monodimensionnel, \(x\) étant abscisse dans l'épaisseur du mur). Le régime permanent signifie que \(\frac{\partial T}{\partial t}=0\) et que la température varie alors linéairment à travers le mur. Le flux est alors constant proportionnel à l'écart de température supposé constant entre les faces.
En réalité, dans des conditions initiales quelconques ceci est faux et on a une équation aux dérivées partielles plus compliquées à résoudre qui régit l'évolution . Dans ton problème , le régime n'est pas permanent puisque la température des faces du mur varie constamment mais si cette évolution est assez lente, on peut faire le calcul approché " comme si" à chaque instant le régime d'évolution était permanent.
4 équations physiques
les deux équations ne font que traduire la conservation de l'énergie sur chaque face. \(C\frac{dT}{dt}\) représente la puissance thermique fournie ( pièce chaude) ou reçue ( pièce froide). D'un côté ceci s'égale au flux absorbé, de l'autre au flux restitué qui sont égaux puisque le régime est permanent ( ce qui signifie aussi que le mur n'est qu'une résistance passive de transfert et ne stocke pas d'énergie, contrairement à ce qui passerait en transitoire)
- Edité par Sennacherib 8 février 2016 à 14:29:28
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
J'avais tapé tout un très long message qui a... disparu... Bref, c'est pas grave, au moins je sais ce que je vais écrire Je tiens à préciser que j'ai fait quelques modifications sur le message principal, car j'avais fait une bête erreur sur un produit en croix, qui m'avaient fait écrire pas mal de bêtise. J'ai donc peut-être fait, involontairement, fait de certaines de tes remarques des choses injustifiées désormais, c'était bien involontaire :p
" regarde à nouveau le lien de cvanaret. la constante \(b\) dans l'exponentielle ne sert à rien ;la solution s'écrit bien \(y=Ce^{kx}\) . Ce que tu écris revient à \(C=ae^b\) et pourrait laisser croire que le problème dépend de deux constantes , donc deux conditions initiales ce qui n'est pas le cas. La solution d'une telle équation différentielle ne dépend que d'une condition initiale."
Je comprends la logique, si la situation ne dépend que d'une situation initiale, il ne peut pas y avoir deux variables indéterminées, ou alors le problème n'est pas résolvable (résoluble ? Je sais plus ). Mais pourquoi choisirait-on plus qu'il s'agit de la variable a que de la variable b ?
"elle est fausse parce que le flux dépend à tout instant de l'écart de température et des caractéristiques du mur, selon la relation que j'ai indiquée, y compris à l'instant initial . Ton expression ne fait pas intervenir le mur...pourtant s'il était , à la limite, parfaitement isolant \( \lambda =0\), ton flux serait nul quelle que soit l'énergie stockée dans tes pièces, ce que ne traduit pas ta relation. En fait \(C\) n'intervient pas dans le flux mais , via l'équation différentielle, dans la constante du temps du problème \( \tau\) . Plus la capacité thermique est élevée, plus la quantité d'énergie à transférer sera importante, et donc toute chose égale par ailleurs, plus l'équilibre sera long à atteindre."
Je te suis totalement sur le fait qu'à tout moment, le flux thermique est dépendant des caractéristiques du mur, même à t = 0. Il ne me semble pas, même avant modification, avoir dit le contraire. J'ai l'impression que ce qui te gène est cette ligne : \[\frac{\lambda * S*\Delta T(t)}{e} = \frac{\lambda * S*\Delta J(t)}{C*e}\].
J'ai bien le droit, de remplacer, dans mon équation, \(\Delta T(t)\) par \(\frac{\Delta J(t)}{C}\). Si non, je ne comprends pas pourquoi je n'aurais pas le droit de le faire.
"En réalité, dans des conditions initiales quelconques ceci est faux et on a une équation aux dérivées partielles plus compliquées à résoudre qui régit l'évolution . Dans ton problème , le régime n'est pas permanent puisque la température des faces du mur varie constamment mais si cette évolution est assez lente, on peut faire le calcul approché " comme si" à chaque instant le régime d'évolution était permanent. "
Je suis assez surpris : la température n'est pas linéaire dans le mur ? Comment évolue-t-elle donc en fonction de l'abscisse x ? Ca m'intrigue
"les deux équations ne font que traduire la conservation de l'énergie sur chaque face. \(C\frac{dT}{dt}\) représente la puissance thermique fournie ( pièce chaude) ou reçue ( pièce froide). D'un côté ceci s'égale au flux absorbé, de l'autre au flux restitué qui sont égaux puisque le régime est permanent ( ce qui signifie aussi que le mur n'est qu'une résistance passive de transfert et ne stocke pas d'énergie, contrairement à ce qui passerait en transitoire)"
Ok ok, je suis bien la logique. En effet, c'est posé de manière un peu plus rigoureuse. Mais, même si mon raisonnement est très intuitif, je ne comprends toujours pas pourquoi on arrive à une équation différentielle différente, avant même de parler de la résoudre. Où ai-je fait mon erreur ?
Et comment montres-tu que\(C \frac{d(T_{C})}{dt}-C \frac{d(T_{F})}{dt} =C \frac{ \Delta T}{dt}\)
EDIT : J'ai encore modifié un peu le message principal, je m'étais trompé en considérant que le flux thermique était la dérivée de la variation de température, et non de la variation d'énergie. On arrive donc à une "constante de temps" (Je vois pas trop ce que ça veut dire) identique.
- Edité par gasasaa 8 février 2016 à 22:10:59
Vous n'auriez pas un ptit calcul à me montrer ? :D
comme tu modifies le contenu de ce que tu écris, j'ai eu un peu de mal à suivre certains raisonnements! Et je ne sais pas si une part de l'incompréhension vient de là, mais lorsque je parle de \(J\) je parle du flux alors que lorsque tu parles de \(\Delta J\) tu parles de variation d'énergie . Ai - je lu trop vite au départ ou as- tu modifié ta rédaction entre temps ( ce que laisserait supposer ton dernier edit , tu peux alors comprendre pourquoi certaines de tes affirmations me posaient problème ! )...peu importe, je vais essayer de réexpliquer en ces nouveaux termes . Pour éviter la confusion j'appellerai le flux \(\varphi\) si besoin.
Avant je vais tenter de repréciser des notions qui semblent te poser problème de régime permanent, quasi permanent ou non permanent.
Une étude complète de transfert thermique est hors de ta portée même si ce qu tu fais est intéressant et d'un bon rapport qualité prix en regard de ton niveau scolaire. C'est pourquoi je ramène ton problème à ce que j'appelle un régime quasi-permanent, c'est à dire comme une succession de régimes permanents
Pour tenter de te convaincre de la difficulté de l'étude du transfert à travers un simple mur dés que le régime est transitoire , je poste un lien non pour que tu l'étudies en détail mais pour te faire toucher du doigt les diverse situations possibles et pour comprendre que les conditions aux limites sont aussi importante que l'équation différentielle du problème.
1- la seule situation qui me parait abordable à ton niveau est celle du chapitre 2. Pour ton problème, cela représente grosso modo le calcul d'un flux permanent à travers des faces de mur maintenues à température constante.
2- A l'instant 0, si le régime permanent n'est pas établi , on se retrouve dans la situation plus compliquée du chapitre 4. C'est le cas par exemple ( on peut imaginer d'autres situations) où au départ le mur est à une température très différente d'une ou des deux pièces de ton exemple. Le régime permanent ne va s'établir que progressivement vers le régime permanent précédent , d'autant plus lentement que l'inertie thermique du mur sera grande. Pendant cette phase, la variation de température n'est pas linéaire et son calcul rigoureux devient compliquée comme tu peux le voir. Le profil spatial de la température varie constamment pour tendre vers le profil linéaire du régime permanent.
3- Un cas encore plus compliqué est un régime transitoire où, en plus, les sources de chaleur aux frontières évoluent aussi dans le temps , c'est l'objet du chapitre 5: régime variable. Et c'est le cas dans lequel tu te trouves si on ne fait pas d'approximation ! Les deux sources qui sont tes pièces chaudes et froide ont une température continuement variable.
La simplification proposée pour mon calcul, baptisé régime quasi-permanent, est, en quelque sorte, une utilisation simplifiée de ce qui est baptisé dans ce chapitre 5 "théorème de superposition de Duhamel" . A chaque instant, on suppose que l'évolution des sources est suffisamment lente pour que la température dans le mur évolue selon une succession d'état permanent du type 1- , donc que le profil de température se modifie en restant linéaire ...ce que je fais et toi aussi de façon intuitive revient à se placer ans cette situation.
En restant dans ce cadre restrictif mais suffisant pour une évolution suffisamment lente des températures , on est donc conduit à chaque instant que l flux est permanent à travers le mur lié aux températures à l'instant \(t\) par \(\varphi (t) =\lambda S\frac{T_C(t)-T_F(t)}{e}\). Avec les corrections dans ton post de départ, ton intuition est correcte en régime permanent et revient strictement à ce que je fais à la différence prés que j'écris l'égalité flux / variation d'énergie séparément sur chaque face . Cette façon de faire resterait correcte pour résoudre en régime non permanent car dans ce cas , il y aurait une partie de l'énergie échangée qui se stockerait dans le mur , mais bon restons en au régime permanent et à ce stade nous sommes d'accord. Ton intuition conduit à un équation différentielle en \(\Delta J\) identique à la mienne en température à des coefficients prés .
Ensuite ta condition à t=0 ne me pose plus de problème puisque J est une énergie et non un flux...mais pourquoi traînes tu ce log. Je te rappelle que \(e^{\ln(x)}=x\) donc ton terme dépendant de \(t\) se simplifie alors en \( \frac{T_1-T_0}{2}e^{-2\lambda S t/Ce}\) ...terme qui ressemble étrangement au mien, ...ne trouves-tu pas ?
Donc en fait ta solution corrigée est identique à la mienne , à par ce \(T2_{0}\) dont je ne vois plus trop ce que c'est, et qui devrait être \(T_1\)
Enfin en final , moyennant la correction du log et de ce T2, il faudrait maintenant dire pourquoi tu penses que ton résultat est faux ?
Comme il est quasi identique au mien,j'ai la faiblesse de croire qu'il est juste ! ...péché d'orgueil ?
- Edité par Sennacherib 9 février 2016 à 14:09:33
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Je pense que mon résultat est faux car je suis un profond escroc
J'ai modifié mon post de départ à 80%, et j'ai, je pense, essayé aux moins 3 équations différentielles différentes avant de tomber sur une qui me donnait la même constante de temps que toi. Puis, une fois seulement que j'avais la bonne, j'ai réfléchi à pourquoi ça marchait et pourquoi les autres non. Donc oui, je tombe sur le bon résultat, mais je ne peux pas me permettre de dire que MON résultat est bon, parce que je me suis tout de même fortement inspiré du tien
Ensuite, tu me demandais pourquoi je trainais ce log... C'est une bonne question, j'avais en fait oublié que \(e^{(a+b)} = e^{a}e^{b}\). Ce qui me fait également comprendre pourquoi vous m'aviez dit qu'il n'y avait qu'une seule possibilité de solution pour l'équation différentielle proposée, la constante b étant en fait inutile lorsque je proposais :
"Sur une équation différentielle de la forme f(x) = kf'(x), pourquoi le résultat ne serait-il pas \(ae^{kx+b}\) (tu ne considères pas la constante b)."
Pour l'approximation faite d'un régime quasi-permanent, je vais me pencher sur ce que tu m'as envoyé. Mais, à titre d'indication, la différence est-elle si grande que ça ? Sans faire cette approximation (et en supposant que le mur n'est pas à 300° au début de l'expérience, mais qu'il est compris entre \(T_{F}\) et \(T_{C}\) ), aurais-je une différence significative (plus de 1° de différence) de température à un moment donné ?
Pour le T2, il s'agissait en fait de \(T_{C}\) (et donc T20 était la température de la pièce 2 à l'instant 0). Oui, les notations n'étaient pas forcément très claires, on est d'accord.
Et, une dernière question que je t'avais posé, et à laquelle tu n'avais pas répondu. Comment montres-tu que \(C \frac{d(T_{C})}{dt}-C \frac{d(T_{F})}{dt} =C \frac{ \Delta T}{dt}\) ? C'est surement une simplification un peu bête, mais comme j'ai encore du mal à identifier ce que représente la variable d... J'ai le droit de la considérer comme un \(\Delta\) qui tend vers 0 ? Ou c'est pas exactement ça.
Bref, en tout cas, un grand merci à toi pour toutes tes aides, c'est presqu'un cours particulier que tu m'as donné. Toutes tes réponses sont bien rédigées, et je pense que ça t'a pris pas mal de temps de tout taper, sache que j'en suis à la fois conscient et reconnaissant.
Bonne soirée !
Vous n'auriez pas un ptit calcul à me montrer ? :D
pour ta dernière question, c'est une écriture très usuelle lorsque on a étudié les différentielles et les équations différentielles , pas nécessairement évidente à justifier " proprement" au niveau Lycée ( il faudrait parler de différentielles) : d est une notation pas une variable, qui caractérise la variation infinitésimale \(dT\) associée à une variation infinitésimale \(dt\) de la variable \(t\). . Mais je conçois que , si tu n'as pas vraiment encore manipulé les "infiniment petits", cette écriture ne te paraisse pas naturelle mais il faut bien voir que la définition du nombre dérivée en \(t_0\) est la limite de \(\frac{T(t)-T(t_0)}{t-t_0}\) donc je dirais que la notation symbolise l'existence d'une limite au rapport de deux grandeurs infiniment petites \((T(t) -T(t_0))\) et \( (t-t_0)\) lorsque \(t \rightarrow 0\), égale au nombre dérivée en ce point. Ce que j'ai écrit ne revient pas alors à autre chose que de dire que la dérivée d'une différence est égale à la différence des dérivées
- Edité par Sennacherib 12 février 2016 à 18:54:03
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Transfert thermique entre deux pièces
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