Bonjour,

J'ai un problème de compréhension sur certains aspects de la transformé de Fourier. Pour illustré mon problème je vais donner une exemple.

On imagine qu'on place un accéléromètre sur le buste d'une personne dans le but de mesurer son activité (même de façon grossière) au cours de la journée. Le signal obtenue variera en fréquence puisque si la personne fait du sport, le signal changera d'avantage que s'il est assis à table.

Ainsi, on peut dire les fréquences contenues dans le signal varient dans le temps. Si la personne fait 1h de sport à 17h, le signal contiendra des "hautes" fréquences entre 17h et 18h. Si a 19h il mange, le signal contiendra uniquement des "basses" fréquences le temps du diner.

De ce fait, comment un tel signal (sachant que beaucoup de signaux sont comme ça) peut admettre un transformé de Fourier ? la transformé de Fourier agit comme si le signal était périodique de période infinie. OK, je comprends l'idée. Mais comment peut on retrouver le signal d'origine en sommant des sinusoïde sur tout le signal alors que certaine ne doivent être présente qu'entre 17h et 18h ?

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Edité par adrien050356 11 septembre 2017 à 10:43:54

La transformée de Fourier aux sens des fonctions n'existe  pas nécessairement. Il faut que \(F(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) e^{-ikt} dt \) soit convergente ce qui impose des conditions sur \(f\). Pour une fonction périodique sur tout \(\mathbb{R}\), la transformée n'existe pas.

Mais au sens des distributions, la transformée  d'un sinus ou d'un cosinus est un Dirac. Donc plus généralemnt la transformée de Fourier d'un signal périodique décomposable en série de Fourier donnera un spectre de raies.

Pour un signal réel de durée nécessairement fini s(t),   il transporte une énergie finie ce qui revient à dire qu'il est de carré sommable et \(F(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}s(t) e^{-ikt} dt \) existe toujours ainsi que la transformée inverse. La transformée inverse est un spectre continue qui contient toute l'information qui permet de retrouver le signal temporel.

Si le signal est une succession de fonctions distinctes  \(s_1(t),s_2(t), ....\) pendant des intervalles successifs\(t_1,t_2,...\)  la transformée se calcule en décomposant l'intégrale dans chaque intervalle \(F(k)=....+ \int_{t_1}^{t_2} s_1(t) e^{-ikt} dt +\int_{t_2}^{t_3}s_2(t) e^{-ikt} dt +....\)

 Donc dans ton exemple, si \(s_1(t)\) est une sinusoïde entre 17 et 18 h et une autre sinusoïde \(s_2(t)\) entre 18 et 19 , on ne sommes pas chaque sinusoïde sur tout le signal comme tu as l'air de dire,

mais uniquement sur chaque intervalle de temps où elle existe. La transformée de Fourier contiendra bien ainsi l'information spectrale de signaux sinusoïdaux    sur une durée finie qui seront retrouvés par inversion.

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Edité par Sennacherib 11 septembre 2017 à 19:08:53

je comprends l'idée qu'un signal doit avoir une energie finis pour permettre une transformer de Fourier, et qu'il est necessaire de décomposer le signal en partit distincte si le signal d'origine comporte deux sinoïde à des temps différents.

Mais pour reprendre ton explication. Si la sinusoïde présente entre 17h et 18h continue jusque 19h, et que s'ajoute entre 18h et 19h la second sinusoïde, on peut, j'imagine, faire le même découpage. Mais si le signal est bien plus complexe. le découpage doit être extrement fin pour que ca marche non ??

De plus, lorsqu'on utilise des logiciel de traitement du signal par exemple, lorsque l'on caclul la transformer de Fourier d'un signal riche en fréquence et dont les fréquences varie dans le temps donc, la transformer obtenue et continue et je ne comprends pas comment on peut retrouver le signal d'origine si on ne sait pas où le découpage à été fait. Est-ce que ce sont des chose qui sont faites automatiquement pas les logiciel de calcul et qui ne nous sont pas specifié ?? comment savoir qu'elle sinusoïde appartient à quel(s) morceau(x) du signal d'origine ?

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Edité par adrien050356 11 septembre 2017 à 21:08:57

Bonjour,

je n'avais pas bien compris ton interrogation du premier post.

  En fait, cela revient plus ou moins à se demander ce que  la transformée de Fourier d'un signal non-stationnaire avec des fréquences qui varient rapidement au cours du temps donne comme information.

Dans ce cas, le spectre obtenu par la TF du signal sur toute la durée d'observation contiendra toutes les fréquences sans que on puisse les corréler aux instants où elles sont émises. Si on joue une succession de notes de musique , le spectre obtenu ne permettra pas de dire dans quel ordre elles ont été jouées. On a ainsi une information maximale sur les fréquences et nulle sur la position temporelle.

Pour répondre à la question de la relation temps-fréquence , il faut utiliser a minima des méthodes de transformées de Fourier à fenêtre glissante ce qui était (mal) esquissé dans mon premier post en parlant de  calcul par intervalle temporel. 

On fait les analyses successives du signal tronqué par une fenêtre , ce qui revient à faire sur le spectre une convolution entre la TF du signal et de la fenêtre . L'idée la plus naturelle est une fenêtre rectangulaire dont la TF et un sinus cardinal mais elle n'est pas recommandée avec en particulier des effets de bords importants. On utilise en pratique des fenêtres plus lisse (Gauss, Hamming, Hann,Blackman etc...cf sur le Net où tu peux trouver facilement leur définition  ). Le choix de la fenêtre et de sa largeur dépend en particulier de la résolution fréquentielle que l'on cherche.

Il faut noter que on est toujours limité dans la localisation temporelle / fréquentielle par un principe d'incertitude : les incertitudes sur la fréquence et sur le temps sont liées, il existe une relation du type \(\Delta t .\Delta f >C\) . Pour la TF "ordinaire", \(\Delta f \sim 0\) d'où  \(\Delta t \rightarrow \infty  \) . Toute méthode de TF à fenêtre glissante est un compromis contraint par ce principe d'incertitude.

(remarque: La TF à fenêtre glissante présente elle-même des limitations en dessous d'une certaine échelle fonction de la fenêtre. Un nouvelle amélioration est apportée par la théorie des transformées en ondelettes: le français Yves Meyer a reçu le prix ABEL 2017 ( + haute distinction maths avec la médaille Fields) pour son rôle dans le développement de la théorie  )

 Pour en savoir plus  , cherche sur le Net pour commencer  la méthode de Gabor , un des précurseurs en la matière ( Prix Nobel 1971 pour l'holographie!) ou  un cours un peu avancé sur le traitement du signal où cette méthode sera surement exposée.  ( une indication de livre initiant au sujet: Mathématique pour le traitement du signal M. Bergougnioux chez Dunod)  

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Edité par Sennacherib 12 septembre 2017 à 12:22:49