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Trigonométrie

    5 juillet 2019 à 21:16:19

    Bonjour à tous,

    En gros, j'aimerais avoir les coordonnées d'un point, intersection entre un cercle et une droite, qui passe par le centre du cercle. Je connais les coordonnées du centre du cercle, le rayon, l'angle entre la droite et l'axe des abscisses. 

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      6 juillet 2019 à 0:03:04

      Tu connais le mot  'trigonométrie'. C'est bien. Mais ça s'arrête là ! Lis un cours de trigonométrie, la réponse à ta question devrait être dans la 1ère ligne de n'importe quel cours, ou peut-être dans la 2ème ligne.

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        6 juillet 2019 à 1:52:40

        Si le centre est (x, y) et le rayon est r et l'angle en radiants est a, on devrait avoir:

        x' = x + r * cos(a)

        y' = y + r * sin(a)

        Ma trigo est loin ...

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        Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

          6 juillet 2019 à 21:55:33

          une droite passant par le centre coupe un cercle en deux points ...:p
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          tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
            7 juillet 2019 à 1:03:40

            On n'a qu'à ajouter ou soustraire 180° ou PI radiants à l'angle et on a les deux intersections. :)
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            Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

              7 juillet 2019 à 14:36:12

              En troisième, la première chose que mon professeur a dit était : CASSE TOI !
              Ou plutôt CAH SOH TOA, un moyen mnémotechnique qui m'a beaucoup aidé ;)

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                7 juillet 2019 à 15:08:57

                Et pourquoi pas CASSEAU TWA :) Il m'arrive d'avoir mal aux sinus mais pas aux cosinus.

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                Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

                  9 juillet 2019 à 23:07:40

                  Soit O(x;y) le centre de ton cercle, A(x';y') le point de ton cercle, R le rayon de ton cercle et a l'angle entre l'axe des abscisses et ta droite dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre).

                  Alors x'-x = R*cos(a) et y'-y = R*sin(a)

                  on a donc x' = x+R*cos(a) et y' = y+R*sin(a)

                  et ton point A a pour coordonnées (x+R*cos(a) ; y+R*sin(a)).

                  Attention à utiliser la bonne unité d'angle sur ta calculatrice si tu en utilises une

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                    10 juillet 2019 à 0:25:25

                    Tu donnes une perspective différente de la mienne en donnant les distances en abscisse et ordonnée.

                    Il est vrai qu'on enseigne la trigonométrie avec des angles exprimés en degrés et on nous dit ensuite qu'il faut travailler en radians.

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                    Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

                      10 juillet 2019 à 11:40:07

                      On nous dit pas qu'il faut travailler en radians, c'est juste une convention des maths qui n'est appliquée qu'en maths (parfois en mécanique pour calculer des vitesses tangentielles, mais c'est tout).
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                        10 juillet 2019 à 13:10:24

                        J'ai appris la trigo à l'âge des cavernes. :)

                        Je n'ai entendu parler de radians que dans les cours de géométrie analytique.

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                        Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

                          10 juillet 2019 à 13:53:03

                          Le radian n'est pas qu'une unité conventionnelle, c'est d'abord l'unité naturelle des angles. C'est dans cette unité, par exemple, que s'expriment les conditions de Gauss en optique (pour remplacer les sin(θ) et les tan(θ) par θ et ainsi linéariser les calculs lorsque les angles sont petits). En mécanique newtonienne, le calcul de la position des planètes nécessite la résolution de l'équation de Kepler, dans laquelle les angles appelés « anomalie moyenne » et « anomalie excentrique » doivent être exprimés en radians. On pourrait aussi parler de la trigonométrie sphérique (utile par exemple pour calculer des coordonnées de planètes, tiens), qui mélange angles et arcs : les radians sont donc indispensables.

                          -
                          Edité par robun 10 juillet 2019 à 14:02:01

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                            Tu peux toujours convertir les radians en degrés en multipliant la mesure en radians par 180/pi et ainsi obtenir des degrés, cela ne change rien aux calculs à part que tu utilises des degrés au lieu des radians.
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                              10 juillet 2019 à 19:09:59

                              Il y a une différence entre un charpentier qui calcule les angles de sa toiture et l'astronome qui, justement, mesure souvent des angles très petits.

                              Il me semble qu'il y a un rapport entre x et sin(x) quand x tend vers zéro.

                              P.S. Je n'ai rien contre les charpentiers.

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                              Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

                                10 juillet 2019 à 21:08:51

                                Quand x tend vers 0, sin(x) tend vers 0 car sin(0) = 0.

                                Et il n'est pas rare qu'un astronome mesure des angles relativement grands (de l'ordre de 90°, soit pi/2 radians si tu préfères).

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                                  11 juillet 2019 à 5:54:58

                                  Je faisais allusion à la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0, cette limite est 1, contre toute attente.
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                                  Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

                                    11 juillet 2019 à 11:47:59

                                    Tout à fait ! Quand x tend vers 0, sin(x) tend vers x. (et tan(x) tend aussi vers x) − à condition que x s'exprime en radians. C'est utile par exemple en optique géométrique, comme je le disais plus haut (approximation de Gauss). 

                                    Et effectivement l'astronomie peut utiliser des angles de toute taille. Par exemple l'équation de Kepler fait intervenir deux angles qui peuvent avoir n'importe quelle valeur (on ne peut donc pas remplacer les sin(x) par des x, du coup cette équation est impossible à résoudre à la main).

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                                      11 juillet 2019 à 11:54:16

                                      Ça n'a pas trop de sens de dire que sin(x) tend vers x, on dira plutôt que sin(x) est équivalent à x.

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                                        11 juillet 2019 à 13:53:48

                                        robun a écrit:

                                        Tout à fait ! Quand x tend vers 0, sin(x) tend vers x. (et tan(x) tend aussi vers x) − à condition que x s'exprime en radians.

                                        Que x soit en radians ou en degrés, on obtient la même limite car on a le même angle : le sinus n'a donc aucune raison de changer et la limite de sin(x)/x n'a aucune raison non plus de changer car à ma connaissance, 0 degrés = 0 radians.
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                                          11 juillet 2019 à 14:08:49

                                          Non si x est en degrés, on a sin(x) équivalent à 180x/pi. On le voit bien ainsi (en notant sind la fonction sin sur les degrés et sinr celles sur les radians), sind(x) = sinr(180x/pi) équivalent en 0 à 180x/pi. L'équivalent, c'est quand x tend vers 0 (pas quand x égal 0). Notons que cela marche bien car quand x tend vers 0, 180x/pi tend vers 0.

                                          -
                                          Edité par yo@n97one 11 juillet 2019 à 14:10:16

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                                            11 juillet 2019 à 16:38:33

                                            yo@n97one a écrit:

                                            sind(x) = sinr(180x/pi)

                                            Le problème, c'est que pour passer des degrés aux radians, on multiplie par pi/180 et non pas par 180/pi.

                                            Le fait de multiplier par pi/180 (soit environ 0,017) fait qu'un angle de x degrés est plus petit qu'un angle de x radians.

                                            Donc sind(x) < sinr(x) donc quand x est proche de 0 (sans y être égal), sind(x) est plus proche de 0 que sinr(x).

                                            On remarque donc qu'exprimer x en degrés est en quelque sorte plus précis que de l'exprimer en radians.

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                                              11 juillet 2019 à 16:51:26

                                              Oui, pi/180 partout au lieu de 180/pi (où donc avais-je la tête). Sinon, je ne comprends pas trop le but du reste de ton message. sind(x)/x tend vers x*pi/180 quand x tend vers 0 et sinr(x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0. Dire qu'on est plus précis avec les degrés ça sonne plutôt mal, vu qu'on peut représenter n'importe quel angle en degrés comme en radians. Surtout que pour calculer un sinus on passe souvent par des calculs à l'aide de séries entières et autres outils du genre avec l'angle attendu en radians (en fait, on pourrait presque dire que la « vraie » fonction sinus prend en paramètre un angle en radians).

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                                                11 juillet 2019 à 17:20:06

                                                yo@n97one a écrit:

                                                sind(x)/x tend vers x*pi/180


                                                mais sind(x) = sinr(x*pi/180)

                                                or x*pi/180 tend vers 0 lorsque x tend vers zéro. Donc sinr(x*pi/180) tend vers zéro lorsque x tend vers zéro donc sind(x) tend également vers zéro.

                                                Et lorsque x tend vers zéro, bah x tend vers zéro (logique).

                                                Donc sind(x)/x tend vers 0/0, soit 1 lorsque x tend vers zéro.

                                                Je n'arrive pas à comprendre comment tu arrives au résultat que tu as écrit.

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                                                  11 juillet 2019 à 17:36:39

                                                  C'est pas comme ça qu'on fait du calcul de limite. Avec ce que tu me dis, 2x/x tend vers 0 quand 1 quand x tend vers 0 (ce qui est faux).

                                                  En fait, sinr(x) est équivalent à x en 0, c'est-à-dire que sin(x) = x + o(x) (o(x) est une fonction telle que o(x)/x tend vers 0 quand x tend vers 0). Ainsi, sinr(x)/x = 1 + o(x)/x et puisque o(x)/x tend vers 0 quand x tend vers 0, on a que la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 est 1.

                                                  Et puisque sind(x) = sinr(x*pi/180) = x*pi/180 + o(x*pi/180), on a sind(x)/x = pi/180 + o(x*pi/180)/x, avec o(x*pi/180)/x qui tend vers 0 quand x tend vers 0 et donc la limite de sind(x)/x quand x tend vers 0 est pi/180 (j'ai laissé quelques « détails » non précisés).

                                                  EDIT : on peut également passer par la démonstration classique de la limite de sin(x)/x en passant par un taux d'accroissement. Je préfère l'écrire sur un document externe en utilisant LaTeX.

                                                  -
                                                  Edité par yo@n97one 11 juillet 2019 à 17:53:44

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                                                    11 juillet 2019 à 18:25:48

                                                    Autant pour moi, là ça commence à sortir de mon niveau, je n'ai pas encore appris à faire du calcul de limites.

                                                    En revanche je comprend parfaitement la démonstration avec le taux d'accroissement (il me semble avoir vu une faute de frappe à la dernière ligne ou tu as marque cos(1) au lieu de cos(0)).

                                                    Mais cela ne nous oblige toujours pas à exprimer x en radians car on peut dire à ce moment là que lorsque x est très petit, sin(x) est environ égal à x*pi/180 en se passant des radians.

                                                    Effectivement, on complique légèrement les calculs, mais je trouve que ce n'est pas une raison valable pour dire que x doit être en radians dans ce genre de formule ou que le radian est la mesure naturelle d'un angle. Surtout qu'en physique, on n'utilise pas de radians et les calculs fonctionnent très bien.

                                                    -
                                                    Edité par toniobourriquot 11 juillet 2019 à 18:27:41

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                                                      11 juillet 2019 à 18:37:19

                                                      Non, il n'y a aucune obligation, tout comme il n'y a aucune obligation à travailler avec des mètres quand on fait de la physique. Mais la définition du sinus (si on prend sa définition avec la série entière) se fait avec des radians et j'imagine que c'est en cela que je ne sais plus qui parlait plus haut d'unité « naturelle ». Bien sûr, on utilise l'outil adapté à ce qu'on fait ; on utilise parfois (souvent) des radians en physique. Il faut juste faire attention à ce qu'on fait, ne pas oublier ce qu'on fait, etc.

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                                                        11 juillet 2019 à 18:39:14

                                                        Merci pour la démonstration, je ne me rappelais pas comment faire.

                                                        En astronomie, on peut mesurer des grands angles, je suppose que c'est quand on mesure les orbites des planètes du système solaire.

                                                        C'est autre chose pour les quasars se trouvant à 10 milliards d'années lumières.

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                                                        Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

                                                          11 juillet 2019 à 19:07:59

                                                          toniobourriquot a écrit:

                                                          Donc sind(x)/x tend vers 0/0, soit 1 lorsque x tend vers zéro.


                                                          Horreur !!!!!

                                                          Tu devrais essayer avec une calculatrice. Règle-la pour donner les angles en degrés et calcule par exemple sin(0,0001) / 0,0001. Tu verras que ça ne tend pas vers 1 mais vers 0,017453...

                                                          > je trouve que ce n'est pas une raison valable pour dire que x doit être en radians dans ce genre de formule ou que le radian est la mesure naturelle d'un angle. Surtout qu'en physique, on n'utilise pas de radians et les calculs fonctionnent très bien.

                                                          Ceci n'est peut-être pas une raison pour dire que le radian est la mesure naturelle d'un angle, n'empêche que le radian est l'unité de mesure naturelle d'un angle (pour une autre raison, disons).

                                                          Et, je le répète, on utilise le radian en physique. J'ai donné l'exemple de l'optique géométrique, c'est de la physique.

                                                          En astronomie, si on veut calculer la position d'une planète on doit résoudre l'équation de Kepler (qui sert en gros à passer d'un cercle à une ellipse) : \( u - e \, \sin u = M \). Cette équation n'est vraie que si \( u \) et \( M \) sont exprimés en radians. Si on les exprime en degrés, il faut multiplier \( e \) par \( \pi / 180 \) (ou le contraire, peu importe). Or \( e \) est l'excentricité. Ce serait particulièrement tordu d'exprimer l'excentricité en degrés !

                                                          Toujours en astronomie, on a besoin de calculer des coordonnées, par exemple pour faire des changements de repère. Si on étudie des quasars lointains, on passer des coordonnées équatoriales (liées à la Terre) aux coordonnées supergalactiques (liées au superamas local). Ces changements se font en coordonnées sphériques dont les formules de base mélangent angles et arcs, donc nécessitent des angles en radians (en pratique, on peut effectuer les calculs en degrés, c'est juste le démonstration des formules qui nécessite des radians).

                                                          -
                                                          Edité par robun 11 juillet 2019 à 19:27:48

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                                                            11 juillet 2019 à 19:23:53

                                                            robun a écrit:

                                                            toniobourriquot a écrit:

                                                            Donc sind(x)/x tend vers 0/0, soit 1 lorsque x tend vers zéro.


                                                            Horreur !!!!!

                                                            Tu devrais essayer avec une calculatrice. Règle-la pour donner les angles en radians et calcule par exemple sin(0,0001) / 0,0001. Tu verras que ça ne tend pas vers 1 mais vers 0,017453...


                                                            Désolé, je faisais du calcul foireux de limites, mais c'est avec le réglage en degrés que j'obtiens 0,017453 alors que si je la règle en radians, j'obtient 1 (ce qui est plus cohérent avec ce qui a été démontré en haut).

                                                            -
                                                            Edité par toniobourriquot 11 juillet 2019 à 19:26:35

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                                                              11 juillet 2019 à 19:28:33

                                                              Oui, oui, c'est bien sûr des degrés, j'ai corrigé entre temps (laisse-moi le temps de me relire... :) )
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