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Trigonométrie

    11 juillet 2019 à 19:34:28

    robun a écrit:

    Ce serait particulièrement tordu d'exprimer l'excentricité en degrés !


    Pourquoi pas ?
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      11 juillet 2019 à 21:38:14

      Parce que l'excentricité n'est pas un angle.
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        11 juillet 2019 à 21:47:03

        Alors pourquoi l'exprimer en radians alors ?
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          12 juillet 2019 à 1:20:05

          Qui a dit que les angles sont plus précis en degrés qu'en radians? Cela dépend de ton instrument de mesure.

          Un angle exprimé en radians ayant 100 décimales est-il assez précis?

          Rendu là, ce n'est qu'un calcul de PI/180 ou 180/PI.

          Ce n'est qu'un facteur de 57.2957795131 (dixit Google).

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          Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.

            12 juillet 2019 à 10:36:49

            Je suis votre conversation depuis un moment.

            La question n'est pas de savoir si \(x\) est exprimé en degrés ou en radians. \(x\) est un nombre, un point c'est tout.

            La vraie question est de savoir si la fonction \(sin\) interprète \(x\) comme une mesure en degrés ou en radians. Parce que par exemple, \(sin(360°)=0\), tandis que \(sin(360  rad)\) ça vaut complètement autre chose (peu importe quoi d'ailleurs, mais en tout cas pas zéro). D'où la distinction de yo@n97one entre sinr et sind, qui est intéressante.

            En mathématiques c'est très clair : la fonction \(sin\) est toujours exprimée en radians.
            Il n'y a que les calculatrices pour exprimer un sinus à partir d'un angle en degrés, pour des raisons pratiques parce que dans un travail de géométrie à la main on travaille plus naturellement en degrés.
            Quand on fait de l'analyse c'est le contraire : on ne mesure jamais d'angles à la main et on travaille en radians.

            Conclusion

            En réalité, la fonction \(sin\) (que ce soit en degrés ou en radians) est équivalente à la longueur de l'arc de cercle de rayon 1 lorsque l'angle tend vers 0.
            Or ça tombe bien, la longueur de l'arc de cercle de rayon 1, c'est par définition la mesure de l'angle en radians, et \(sin(x)\) est par convention le sinus de l'angle exprimé en radians (\(sinr\), si vous préférez).
            C'est pour ça qu'on peut écrire sans sourciller :\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x}=1\).

            Si vous faites le calcul avec votre calculatrice réglée en degrés, évidemment vous trouverez \(\frac{\pi}{180}\) parce que la longueur de l'arc de cercle de rayon, elle, est égale à \(\frac{\pi}{180}x°\).

            -
            Edité par Zachee54 12 juillet 2019 à 10:42:34

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              12 juillet 2019 à 12:36:19

              toniobourriquot a écrit:

              Alors pourquoi l'exprimer en radians alors ?

              OK, je précise un peu mieux :

              Dans l'équation de Kepler, l'excentricité est un nombre entre 0 et 1 sans unité. Dans l'équation de Kepler, sous-entendu : avec les deux angles u et M exprimés en radians.

              Maintenant, si on souhaite exprimer les deux angles u et M en degrés, on est obligé de multiplier l'excentricité par π/180 (ou par 180/π, je ne sais jamais) pour que l'égalité reste vraie. C'est un peu comme si on voulait exprimer l'excentricité en degrés, alors que ce n'est pas un angle : ce serait tordu !

              Zachee54 a écrit:

              En réalité, la fonction \(sin\) (que ce soit en degrés ou en radians) est équivalente à la longueur de l'arc de cercle de rayon 1 lorsque l'angle tend vers 0.

              Or ça tombe bien, la longueur de l'arc de cercle de rayon 1, c'est par définition la mesure de l'angle en radians, et \(sin(x)\) est par convention le sinus de l'angle exprimé en radians (\(sinr\), si vous préférez).
              C'est pour ça qu'on peut écrire sans sourciller :\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x}=1\).

              Si vous faites le calcul avec votre calculatrice réglée en degrés, évidemment vous trouverez \(\frac{\pi}{180}\) parce que la longueur de l'arc de cercle de rayon, elle, est égale à \(\frac{\pi}{180}x°\).

               Ah oui, j'aime bien cette explication !



              -
              Edité par robun 12 juillet 2019 à 12:38:39

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                12 juillet 2019 à 13:20:50

                On est en train d'arriver à des questions de définitions des fonctions trigonométriques. On peut commencer par définir l'exponentielle complexe par sa série. On a convergence absolue sur le plan complexe et uniforme convergence sur tout sous-ensemble borné du plan complexe. Avec ça on obtient sa continuité et le produit de Cauchy donne que exp(a)exp(b) = exp(a + b).

                On définit alors cos(t) et sin(t) comme les partie réelle et imaginaire de e^{it}. Ce sont donc les projections de e^{it} sur l'axes des abscisses et des ordonnées.

                Mais on peut montrer que l'exponentielle t -> e^it est une surjection de R sur le cercle unité (et donc cosinus et sinus sont des projections du cercle unité sur l'axe ses abscisses/ordonnées) et que l'exponentielle est périodique de période 2i pi (et là, on retrouve que faire le tour du cercle c'est « faire 2pi »).

                C'est beau comme ça marche bien. Le calcul de la dérivé de e^{it} permet d'obtenir les dérivées de cos et de sin, on obtient également facilement les DSE de cos et de sin (qui permettent d'avoir immédiatement leurs équivalents en 0.

                PS : en fait, dans le Rudin par exemple il définit même pi à partir de l'exponentielle en posant c le plus petit nombre strictement positif tel que cos(c) = 0, puis en posant pi = 2c, ce qui permet entre autre d'obtenir e^{i \pi/ 2} = i et la démonstration que l'exponentielle est périodique de période 2i pi.

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