bonjour tout le monde 

soit f(x) un polynôme de degré 5

Tel que f(1)=0 et f(3)=1 et f(9)=2 et f(27)=3 et f(81)=4 et f(243)=5

trouver le coefficient de x du polynôme f(x) 

merci d'avance

On a un polynome P de degré 5 : P(x)= ax^5 + bx^4+cx^3+dx^2+ex+f  il y a donc 6 coefficients à déterminer.

On connait 6 valeurs : P(1) ... P(243).

Ca nous donne donc 6 équations.

On a un système avec 6 équations et 6 inconnues... ça se résout 'facilement'.

Quand je dis facilement, ça veut dire qu'il n'y a besoin d'aucune connaissance théorique particulière. Mais les calculs peuvent être longs ! En tout cas trop longs pour que ça m'amuse.

Mais un elève de collège bien débrouillard et très appliqué doit pouvoir y arriver.

Ici, les nombres 1 3 9 27 81 et 243 ne sont pas quelconques... ce sont les premières puissances de 3 ; du coup, il y a peut-être une petite astuce qui va permettre de trouver la solution très vite, mais je ne la vois pas.

Sinon, avec les polynômes de Lagrange, on a directement la solution, non ?  

wolfram alpha donne une expression assez moche du polynôme :  https://www.wolframalpha.com/input/?i=interpolating+polynomial+calculator&assumption=%7B%22F%22%2C+%22InterpolatingPolynomialCalculator%22%2C+%22data2%22%7D+-%3E%22%7B%7B1%2C0%7D%2C%7B3%2C1%7D%2C%7B9%2C2%7D%2C%7B27%2C3%7D%2C%7B81%2C4%7D%2C%7B247%2C5%7D%7D%22 

je doute que cela se simplifie 

EDIT : je viens de faire un déterrage (oups)

Peut-être une astuce :

si f(1) = 0 , alors on peut poser \(f(x) = (x-1)(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)\)

ça permet de travailler sur un polynome de degré moindre. Il faudra développer à la fin pour obtenir les coefficients.

Pour les puissance de 3... je ne vois rien à faire.

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Edité par neuneutrinos 7 février 2020 à 11:29:19