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[Tuto][Olympiades] Inégalités

    12 décembre 2010 à 23:12:48

    Bonjour à tous.

    Comme promis, un petit post sur les inégalités (sociales) qui règnent entre les quatre familles les plus émergentes des Moyennes. :p
    Et plus généralement, un petit recueil de résultats d'inégalités. Je vous proposerai aussi ça et là quelques exercices qui se rapportent à la matière proposée.

    Le contenu de ce post (qui deviendra peut-être un tutoriel à terme) est issu de mes notes d'un cours donné par Pierre-Emmanuel Caprace dans le cadre de la formation belge aux Olympiades internationales.




    1. Moyennes de deux nombres



    1.1. Quelques définitions


    Soient deux réels <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> strictement positifs. Par définition:
    • leur moyenne arithmétique est le réel <math>\(m = \frac{a+b}{2}\)</math>

    • leur moyenne géométrique est le réel <math>\(g = \sqrt{ab}\)</math>

    • leur moyenne harmonique est le réel <math>\(h = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)</math>

    • leur moyenne quadratique est le réel <math>\(q = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)</math>


    1.2. Un petit lemme élémentaire


    Lemme 1.1: Pour tout réels <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math>, on a <math>\(x^2+y^2 \geq 2xy\)</math>. De plus, l'égalité à lieu si et seulement si <math>\(x = y\)</math>.

    Preuve du lemme 1.1:
    Le carré de tout nombre réel est positif, ainsi nous pouvons écrire successivement:
    <math>\((x-y)^2 \geq 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 2xy + y^2 \geq 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 + y^2 \geq 2xy\)</math>


    1.3. Théorème d'inégalité des moyennes


    Théorème 1.2: Les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique <math>\(m,g,h,q\)</math> de deux réels strictement positifs <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> vérifient les inégalités suivantes:
    <math>\(\min(a,b) \leq h \leq g \leq m \leq q \leq \max(a,b)\)</math>
    De plus, les égalités ont lieu si et seulement si <math>\(a = b\)</math>.


    Preuve de l'inégalité <math>\(h \leq g\)</math> :
    L'inégalité des moyennes harmonique et géométrique s'exprime <math>\(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}\)</math>.
    Cette inégalité est une conséquence directe du lemme 1.1 appliqué aux valeurs <math>\(x = \frac{1}{\sqrt{a}}\)</math> et <math>\(y = \frac{1}{\sqrt{b}}\)</math>. En effet, nous avons <math>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{ab}}\)</math>, ou encore <math>\(\sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)</math>.

    Preuve de l'inégalité <math>\(g \leq m\)</math> :
    L'inégalité des moyennes géométrique et arithmétique s'exprime <math>\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\)</math>.
    Cette inégalité est une conséquence directe du lemme 1.1 appliqué aux valeurs <math>\(x = \sqrt{a}\)</math> et <math>\(y = \sqrt{b}\)</math>. En effet, nous avons alors <math>\(a + b \geq 2 \sqrt{ab}\)</math>, ou encore <math>\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\)</math>.

    preuve de l'inégalité <math>\(m \leq q\)</math> :
    L'inégalité des moyennes arithmétique et quadratique s'exprime <math>\(\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)</math>.
    Nous pouvons déduire du lemme 1.1 que <math>\((x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \leq 2 (x^2 + y^2)\)</math>. Ainsi, avec <math>\(x = \frac{a}{2}\)</math> et <math>\(y = \frac{b}{2}\)</math>, nous avons:
    <math>\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)^2 \leq 2\left(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}\right) = \frac{a^2+b^2}{2}\)</math>
    <math>\(\Rightarrow\quad \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)</math>

    Preuve de l'inégalité avec le minimum :
    Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que <math>\(a \leq b\)</math> et donc que <math>\(\min(a,b) = a\)</math>. Nous avons dès lors <math>\(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\)</math>. Ainsi <math>\(\frac{1}{a} \geq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}\)</math>, ou encore <math>\(a \leq \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)</math>.

    Preuve de l'inégalité avec le maximum :
    Supposons toujours que <math>\(a \leq b\)</math> et donc que <math>\(\max(a,b) = b\)</math>. Nous avons alors <math>\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq \sqrt{\frac{2b^2}{2}} = b\)</math>.

    1.4 Exercices



    Exercice 1.01
    Montrer que pour tous réels <math>\(a,b\)</math> strictement positifs nous avons <math>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2\)</math>.

    Exercice 1.02
    Montrer que pour tous réels strictement positifs <math>\(a,b,c\)</math> nous avons <math>\((a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc\)</math>.

    Exercice 1.03
    Montrer que pour tous réels strictement positifs <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math> tels que <math>\(a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 1\)</math>, nous avons <math>\((1+a_1)(1+a_2) \dots (1+a_n) \geq 2^n\)</math>.


    2. Moyennes de plusieurs nombres



    2.1. Définitions


    Considérons <math>\(n\)</math> nombres réels <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math> tous strictement positifs. Par définition:
    • leur moyenne arithmétique est le réel <math>\(m = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i\)</math>

    • leur moyenne géométrique est le réel <math>\(g = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}\)</math>

    • leur moyenne harmonique est le réel <math>\(h = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}\)</math>

    • leur moyenne quadratique est le réel <math>\(q = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\)</math>


    2.2. Théorème d'inégalité des moyennes


    Théorème 2.1: Les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique <math>\(m,g,h,q\)</math> des réels strictement positifs <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math> vérifient les inégalités suivantes:
    <math>\(\min\{a_i\} \leq h \leq g \leq m \leq q \leq \max\{a_i\}\)</math>
    De plus, les égalités ont lieu si et seulement si <math>\(a = b\)</math>.


    Preuve de l'inégalité <math>\(g \leq m\)</math> :
    Nous démontrons cette inégalité par récurrence.
    L'inégalité est vraie pour <math>\(n = 2\)</math> (Théorème 1.2).

    Montrons que si l'inégalité est vraie pour <math>\(n\)</math>, alors elle reste vraie pour <math>\(2n\)</math>.
    Considérons pour cela les nombres réels strictement positifs <math>\(a_1,a_2,\dots,a_{2n}\)</math>. Par hypothèse de récurrence, nous avons:
    <math>\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}\)</math> et <math>\(\frac{1}{n} \sum_{i=n+1}^{2n}a_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n}a_i}\)</math>.
    En additionnant ces deux inégalités, nous obtenons:
    <math>\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{2n}a_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i} + \sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n}a_i}\)</math>
    On applique le théorème 1.2 à la somme des racines pour obtenir:
    <math>\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{2n}a_i \geq 2 \sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i} \cdot \sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n}a_i}}\)</math>
    On en déduit:
    <math>\(\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}a_i \geq \sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n}a_i}}\)</math>

    Montrons que si l'inégalité est vérifiée pour <math>\(n \geq 2\)</math>, alors elle reste vraie pour <math>\(n-1\)</math>.
    Considérons pour cela les nombres réels strictement positifs <math>\(a_1,a_2,\dots,a_{n-1}\)</math>. Nous ajoutons à ceux-ci leur moyenne arithmétique <math>\(a_n = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i\)</math>.
    Par hypothèse de récurrence, nous avons <math>\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}\)</math>.
    En tenant compte de la définition de <math>\(a_n\)</math>, nous déduisons:
    <math>\(\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1}a_i + \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right) \geq \sqrt[n]{\left(\prod_{i=1}^{n-1}a_i\right)\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)}\)</math>
    Comme <math>\(\frac{1}{n}\left(1 + \frac{1}{n-1}\right) = \frac{1}{n-1}\)</math>, nous récrivons:
    <math>\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n-1}a_i} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i}\)</math>
    Ou encore, en mettant à la puissance <math>\(n\)</math>:
    <math>\(\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)^n \geq \left(\prod_{i=1}^{n-1}a_i\right) \cdot \left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)\)</math>
    En simplifiant le facteur commun, nous trouvons:
    <math>\(\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i\right)^{n-1} \geq \prod_{i=1}^{n-1}a_i\)</math>
    Ou encore:
    <math>\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_i \geq \sqrt[n-1]{\prod_{i=1}^{n-1}a_i}\)</math>

    Des deux premières étapes de cette démonstration, nous pouvons déduire que l'inégalité est vraie lorsque <math>\(n\)</math> est une puissance de deux. Par le troisième point, nous pouvons conclure que cette égalité est vraie pour tout naturel <math>\(n > 1\)</math> car celui-ci est forcément inférieur à une puissance de deux.


    Preuve de l'inégalité <math>\(h \leq g\)</math> :
    La démonstration de cette inégalité repose sur le résultat que nous venons de démontrer entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique. Considérons une collections de nombres réels tous strictement positifs <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math>. Si nous invoquons l'inégalité existant entre les moyennes géométrique et arithmétique des nombres <math>\(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\dots,\frac{1}{a_n}\)</math>, nous obtenons:
    <math>\(\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}} \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\)</math>
    On en déduit directement en passant à l'inverse que:
    <math>\(\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}} = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}} \leq \frac{1}{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}a_i}\)</math>


    Preuve de l'inégalité <math>\(m \leq q\)</math> :
    Grâce à l'inégalité des moyennes géométriques et quadratiques de deux nombres, nous avons:
    <math>\(\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2 = \sum_{i=1}^{n}a_i \cdot \sum_{j=1}^{n}a_j = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_i a_j \leq \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{a_i^2+a_j^2}{2} = n \sum_{i=1}^{n}a_i^2\)</math>
    On en déduit:
    <math>\(\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2 \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_i^2\)</math>
    Ou encore:
    <math>\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i \leq \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_i^2}\)</math>


    La preuve pour des inégalités avec le minimum et le maximum sont très similaires à celles proposées dans le cas <math>\(n = 2\)</math>.

    2.3 Exercices



    Exercice 2.1
    Montrer que pour tous réels <math>\(a,b,c,d\)</math> strictement positifs, nous avons l'inégalité <math>\(\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2} \geq 2 \sqrt[3]{\frac{abc + abd +acd + bcd}{4}}\)</math>.

    Exercice 2.1
    Si <math>\(a,b,c\)</math> sont trois réels strictement positifs tels que <math>\(a+b+c = 1\)</math>, quelle est la valeur maximale de l'expression <math>\(a^2b^3c\)</math> ?



    3. Inégalité de Cauchy-Schwarz



    3.1. Le théorème


    Théorème 3.1 Pour tous réels <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math> et <math>\(b_1,b_2,\dots,b_n\)</math>, on a <math>\(\left| \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}\)</math>.

    Preuve
    Considérons le polynôme en <math>\(x\)</math> du second degré <math>\(P(x) = \sum_{i=1}^{n}(a_i x + b_i)^2\)</math>.
    Ce polynôme peut se récrire
    <math>\(\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) x^2 + 2 \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\)</math>
    Il est évident que pour tout <math>\(x\)</math>, <math>\(P(x) \geq 0\)</math>, ainsi le discriminant de ce polynôme doit être négatif ou nul. Nous traduisons cela par
    <math>\(4 \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 - 4 \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) \leq 0\)</math>
    Ou encore
    <math>\(\left| \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}\)</math>


    3.2. Exercices



    Exercice 3.01
    Déterminer (sans utiliser les dérivées) la valeur maximum de la fonction <math>\(f(x) = 3 \sin(x) + 4 \cos(x)\)</math>.

    Exercice 3.02
    Démontrer l'inégalité triangulaire:
    Pour tous nombres réels <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math> et <math>\(b_1,b_2,\dots,b_n\)</math>, nous avons:
    <math>\(\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2}\)</math>





    Dernière mise à jour: 16/12/2010 - 15:47
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      13 décembre 2010 à 17:53:18

      Ah tiens, un ancien participant aux stages OMI. :) J'y participe depuis cette année (je suis en 4ème).

      C'est un tuto très intéressant et très clair, même si je l'aurai sans doute appris en temps voulu. :p
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        13 décembre 2010 à 22:06:26

        oulla c'est du lourd, ça c'est du tuto !!!
        Dommage je suis un peu grand pour ça :( :s;
        vivement jensen,cauchy-schwartz,tchybetchev et nesbitt.

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          13 décembre 2010 à 23:52:32

          Nickel Caduchon, c'est du propre! :D


          <hs>
          C'est un véritable rendez-vous de wespinnois sur le SdZ j'ai l'impression. :p J'y étais aussi il y a qques années! Victor on se verra normalement dans qques mois à l'occasion du groupe Z... =)
          </hs>
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            14 décembre 2010 à 18:19:22

            Faudrait peut-être commencer par la définition d'une moyenne :p .
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              14 décembre 2010 à 19:41:10

              Citation : tit_toinou

              Faudrait peut-être commencer par la définition d'une moyenne :p .



              Mes quatre définitions sont parfaitement claires...
              D'ailleurs une moyenne "tout court" n'a pas de sens.

              On peut par contre définir la moyenne généralisée d'une collection de nombres <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math> de paramètre <math>\(r\)</math> par la grandeur suivante:
              <math>\(M_r = \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^r\right)^\frac{1}{r}\)</math>

              On peut alors constater que l'on a la moyenne quadratique pour <math>\(r=2\)</math>, la moyenne arithmétique pour <math>\(r=1\)</math>, la moyenne géométrique pour <math>\(r \rightarrow 0\)</math> et la moyenne harmonique pour <math>\(r = -1\)</math>.
              On peut également démontrer le résultat suivant (mais je ne le ferai pas ici, le but est de rester dans des math discrètes de niveau simple):

              Si <math>\(r,s\)</math> sont deux réels non nuls tels que <math>\(r < s\)</math>, alors pour tout collection nombres strictement positifs <math>\(a_1,a_2,\dots,a_n\)</math>, nous avons l'inégalité <math>\(M_r(a_1,a_2,\dots,a_n) \leq M_s(a_1,a_2,\dots,a_n)\)</math>.
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                16 décembre 2010 à 1:02:31

                Citation : Caduchon

                Dites, il y a un post sur le sujet maintenant :p

                La preuve pour n nombres y est faite avec des outils qui ne sont pas compliqués du tout (bien que ça soit astucieux).



                C'est vrai que les outils sont élémentaires mais la méthode est quand même compliquée. Perso, je trouve que la méthode la plus abordable est celle qui utilise que <math>\(e^x\geq 1+x\)</math> même si elle suppose de connaître la fonction exponentielle, celle-là est vraiment faisable au niveau terminale.
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                  16 décembre 2010 à 15:48:31

                  Mise à jour:
                  - Inégalité de Cauchy-Schwarz
                  - Divers exercices relatifs aux sections
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                    16 décembre 2010 à 18:03:48

                    Citation : Caduchon

                    Mise à jour:
                    Cauchy-Schwartz


                    Oh ! comment oses-tu ? ;) -> Cauchy-Schwarz
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                      16 décembre 2010 à 18:18:07

                      Si on peut définir une moyenne dans le cas général, c'est juste assez flou.
                      Tu peux parler par exemple d'une fonction avec autant de variables que l'on veut, symétrique, continue, qui retourne un nombre qui a une signification particulière selon la moyenne en question et qui permet l'analyse de données.
                      Puis donner des exemples concrets.

                      Enfin je dis surtout ça dans l'optique d'un tutoriel.
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                        16 décembre 2010 à 18:51:14

                        Citation : tit_toinou

                        Si on peut définir une moyenne dans le cas général, c'est juste assez flou.
                        Tu peux parler par exemple d'une fonction avec autant de variables que l'on veut, symétrique, continue, qui retourne un nombre qui a une signification particulière selon la moyenne en question et qui permet l'analyse de données.



                        Et tu te bases sur quoi pour définir ainsi une notion de moyenne ? Il faut bien que la moyenne représente quand même une valeur "moyenne" de nos données. Toutes les moyennes qu'on a définies ci-dessus sont des conjuguées de la moyenne arithmétique a, conjugué au sens de la théorie des groupes ie de la forme

                        <math>\(u^{-1}\circ a\circ u\)</math>


                        Par exemple, la moyenne géométrique correspond à <math>\(u=\ln\)</math>

                        On peut aussi définir des moyennes avec des sommes continues au lieu de sommes discrètes (une intégrale) mais c'est une autre question.
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                          16 décembre 2010 à 19:14:51

                          Génial en introduction du tutoriel on va parler de la théorie des groupes. Ou comment faire fuir les gens.

                          Ma définition n'était pas rigoureuse, oui.
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                            16 décembre 2010 à 19:19:29

                            Non non, je ne vais pas parler de théorie des groupes, ni présenter un semblant de définition floue d'une moyenne.
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                              16 décembre 2010 à 19:24:12

                              Tu commence ton tutoriel par quoi alors ?
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                                16 décembre 2010 à 19:39:02

                                Citation : tit_toinou

                                Génial en introduction du tutoriel on va parler de la théorie des groupes.



                                Non, sauf que ce que j'ai dit montre qu'une moyenne dans un sens raisonnable n'est pas arbitraire, une moyenne doit calculer une quantité "équilibrée", d'ailleurs, il existe peut-être une théorie axiomatique de la moyenne. Par ailleurs, la conjugaison est une notion très concrète, on la pratique x fois par jour dans nos activités quotidiennes.
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                                  21 avril 2011 à 19:51:27

                                  Super tuto.
                                  N'étant qu'en 1ère S, je connais la signification de sigma, mais pas de ce grand Pi. Quelqu'un peut me dire ?

                                  Merci.
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                                    21 avril 2011 à 20:21:48

                                    Grand Pi marche exactement comme sigma, mais avec la multiplication à la place de la somme ;)
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                                      30 juin 2019 à 23:10:34

                                      • x²+y²+1>xracine(y²+1)+yracine(x²+1)
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                                        1 juillet 2019 à 12:29:07

                                        tiens, un déterrage qui fait réapparaître quelques anciens piliers du forum maths ( à une époque révolue de son activité !).

                                        Mais là, on est dans de l'olympiade  pour  Bisounours !   

                                        sachant que \((x-\sqrt{(y^2+1)})^2 +(y-\sqrt{(x^2+1)})^2 >0\) est toujours vraie, je développe et en réordonnant et simplifiant par 2, je tombe sur l'inégalité cherchée .:p

                                        -
                                        Edité par Sennacherib 1 juillet 2019 à 12:29:35

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                                        tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable

                                        [Tuto][Olympiades] Inégalités

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