Quel est le statut de l'axiome ? Il me semble qu'il est par nature indémontrable, mais est-ce pour autant une croyance, ou s'appuie-t-il sur des fondements rationnels ?
Bonjour ! Il me semble qu'un axiome n'est pas une croyance, et que les mathématiciens utilisent tel ou tel axiome non pas parce qu'ils y croient mais parce qu'il fait partie du cadre théorique dans lequel s'inscrivent leurs travaux.
Exemple fameux : l'axiome d'Euclide. Soit on intègre cet axiome et on construit la géométrie euclidienne, soit on ne l'intègre pas et on construit les géométries non-euclidiennes. Je ne crois pas que les mathématiciens qui font de la géométrie non-euclidienne ont choisi ces géométries parce qu'ils refusent de croire en l'axiome d'Euclide. En tout cas, ceux qui les ont inventées ne se sont pas dit « hé, on n'a jamais démontré Euclide, donc à mon avis c'est faux » mais plutôt « hé, la propriété d'Euclide n'est pas obligatoire, du coup il y a une nouvelle géométrie à découvrir si on ne la prend pas comme axiome ».
La logique du truc, c'est que le but d'un axiome n'est pas d'y croire ou non, mais de mettre en évidence le fait qu'une propriété a priori évidente mais non démontrée s'est révélée nécessaire. Et puisqu'elle n'est pas démontrée (et doit ainsi avoir le statut d'axiome), on peut donc ne pas l'intégrer et voir ce que ça va donner.
En fait, il me semble que croire ou ne pas croire en un axiome serait se demander s'il est vrai ou faux. Or un axiome ne peut pas être vrai ou faux dans l'absolu puisqu'on a besoin de décider, arbitrairement, s'il est vrai ou faux. Par exemple à la question « sans langue de bois, existe-t-il vraiment une unique droite parallèle à D qui passe par M ? », je suis désolé mais la réponse est « ça dépend ». C'est oui dans le cadre de la géométrie euclidienne, donc si on suppose que c'est oui, et c'est non dans le cadre des géométries non-euclidiennes, donc si on suppose que c'est non.
(Je ne crois pas que les gens qui croient en Dieu, par exemple, disent : je crois que Dieu existe parce que je suppose qu'il existe. S'ils croient, ils ne supposent pas...)
En fait, il me semble que croire ou ne pas croire en un axiome serait se demander s'il est vrai ou faux.
- Edité par robun il y a environ 1 heure
C'est là où j'ai du mal. Pour moi la croyance se déploie dès lors que la raison cesse d'être effective. Ainsi, se demander s'il est vrai ou faux, c'est toujours suivre une démarche rationnel. Or par nature, comme tu le précises justement, l'axiome n'est ni vrai ni faux jusqu'à preuve du contraire. Ainsi, l'utiliser comme un pis-aller ferait de lui une "hypothèse forte", totalement fécond pour la compréhension du réel ou la composition du modèle, mais n'en la soustrairait (bon dieux que c'est moche !) pas moins du registre de la croyance.
Le coeur de ma question, c'est de savoir si l'axiome en lui-même est rationnel. Je ne conteste pas sa fécondité ni-même la rationalité qu'il y a à avoir dans le fait même de le postuler et d'y construire un système de pensé, mais sa nature elle-même.
Faut abandonner l'idée que les mathématiques sont là pour représenter la réalité physique.
Les mathématiques, c'est l'activité du mathématicien. Et le mathématicien il se pose des questions sur les "objets mathématiques" qu'il étudie. Et quand il y a une propriété de ces objets qui lui semble vraie, il essaie de la démontrer.
Mais démontrer quelque chose proprement, c'est partir de propriétés qui sont connues pour être vraies, et appuyer un raisonnement dessus. Mais si on prend ça dans l'autre sens, ça veut dire que tout l'édifice repose sur quelques propriétés de départ, qu'il faut bien flécher au depart comme servant de base à ce dont on parle. Des axiomes qu'on POSE pour définir des relations entre des MOTS arbitraires.
Donc réponse à la question : c'est tout à fait rationnel de poser des axiomes, c'est le seul moyen d'établir ensuite des raisonnement qui s'appuient sur quelque chose.
Un axiome ne peut pas être faux. Tout au plus peut il entrer en contradiction avec d'autres axiomes.
Par contre il peut ne pas coller avec le vocabulaire employé dans son sens normal. Si je dis "soit un point P et une droite D, il passe par P une seule droite qui soit DE LA MÊME COULEUR que D", on est largués parce que j'ai appelé une certaine relation entre deux droites "être de la même couleur" au lieu de "être parallèle". Mais c'est juste le nom "arbitraire" de la relation d'équivalence qui change.
- Edité par michelbillaud 28 avril 2020 à 23:16:14
Définition du dictionnaire: Proposition considérée comme évidente, admise sans démonstration.
Mon point de vue est qu'un axiôme est une hypothèse de base. Si l'axiôme est vrai, alors ... qu'est-ce qu'on peut déduire?
«Si la terre est plate ...» (on peut encore y croire en 2020)
Comment se fait-il que l'eau ne s'écoule pas sur les bords? C'est parce qu'il y a quelque chose sur les bords pour l'empêcher de tomber.
Ou c'est parce que les océans sont au centre et les continents sont autour. Donc, si je marche assez longtemps, je vais trouver le bord de la terre.
Ou bien, la terre est de dimension infinie (notion difficile à saisir dans l'antiquité), et ça me prendra un temps infini pour arriver au bord
Ou bien ça prendra un temps infini pour que les océans se vident ...
En programmation, mettre une variable à 23 au déburt est un axiôme. Si je la met à 47, le programme pourrait avoir un comportement totalement différent.
En programmation orientée objet, on peut appeler «axiôme» une classe.
Si je change les attributs ou les méthodes de la classe, le comportement du programme pourra ici encore devenir totalement différent.
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
> Pour moi la croyance se déploie dès lors que la raison cesse d'être effective. Ainsi, se demander s'il est vrai ou faux, c'est toujours suivre une démarche rationnel.
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Tu parles d'axiomes dans un forum intitulé "Mathématiques", donc tu parles de maths, n'est-ce pas ? Eh bien les maths sont une démarche rationnelle pour savoir si une proposition est vraie ou fausse. Une autre démarche peut exister, mais elle ne s'appelle pas les maths (et n'utilise donc pas d'axiomes mathématiques).
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> comme tu le précises justement, l'axiome n'est ni vrai ni faux jusqu'à preuve du contraire.
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Là tu n'as pas compris ce qu'est un axiome. Un axiome n'est ni vrai ni faux tout court. Surtout pas, mais alors surtout pas « jusqu'à preuve du contraire ». Attention, ce qu'on appelle un axiome est une propriété pour laquelle il a été démontré qu'on pouvait en faire un axiome. On a démontré que la propriété d'Euclide pouvait être vrai ou fausse sans que ça influence le reste. En fait, il y a eu deux étapes :
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1) Jusqu'à la fin du 18è siècle, on espérait démontrer que la propriété d'Euclide était vraie (ou éventuellement fausse). Là on est bien dans un cas « jusqu'à preuve du contraire » mais justement : du coup on n'a pas le droit d'appeler ça un axiome (c'est une conjecture, disons).
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2) Fin 18è siècle, on démontre que la proprriété d'Euclide n'est pas démontrable à partir des autres axiomes. Du coup on en fait un axiome. Elle n'est ni vraie ni fausse : c'est à nous de choisir. Du coup, ça n'a pas de sens de dire « jusqu'à preuve du contraire » (ou de vouloir y croire ou non). C'est un axiome : on le prend où on ne le prend pas.
Ah d'accord, je ne savais pas qu'on avait démontré qu'une proposition est un axiome, j'ai toujours pensé que c'était une proposition admise comme axiome. Bah du coup c'est bon, j'ai compris, je ne pourrais pas argumenter à mon prof de philo qu'un axiome pourrait être du registre de la croyance :/
En philo on distingue axiome et postulat. Un axiome est alors un truc dont tout le monde s'accorde à dire qu'il est vrai "dans la réalité".
En maths, un axiome c'est une proposition logique. On prend un paquet d'axiomes qu'on pose au départ, et toutes les propositions qu'on peut en déduire, c'est ce qu'on appelle la _théorie_ (engendré par les axiomes)
Une même théorie peut être générée par des paquets d'axiomes différents. Si on regarde par exemple la notion de groupe commutatif, on peut poser au départ les propriétés de l'addition (associative, commutative, élément neutre), de l'opposé, et définir la soustraction comme a - b = a + (-b)
.A partir de là on a une théorie avec les propriétés de la soustraction (on y trouvera x - x = 0, par exemple).
Mais on peut aussi partir de 0 et de la soustraction avec un certain nombre de propriétés. L'addition s'obtient par a + b = a - ((b - b) -b). C'est une autre _base_ pour la théorie en question.
Il y aussi une notion d'indépendance des axiomes. Si un axiome est une conséquence des autres, on peut le retirer.
A part ça, en physique, on peut avoir la croyance qu'on a définitivement modélisé, par une théorie mathématique, une réalité physique. C'est très XIXe siècle comme idée.
(Mon message est un peu redondant, mais j'aime bien discuter de ces choses là et je voulais le faire avec mots...)
Kyrtu a écrit:
Ah d'accord, je ne savais pas qu'on avait démontré qu'une proposition est un axiome, j'ai toujours pensé que c'était une proposition admise comme axiome. Bah du coup c'est bon, j'ai compris, je ne pourrais pas argumenter à mon prof de philo qu'un axiome pourrait être du registre de la croyance :/
En maths, on ne choisit par à sa guise les axiomes. Quand on construit une théorie, il est nécessaire que les axiomes ne se contredisent pas, et on cherche à les minimiser. Si un axiome peut se démontrer à partir des autres, il devient une propriété.
Un exemple qui me vient à l'esprit, c'est l'axiome de la borne inférieure (en fait je ne suis pas sûr que c'est son nom) : tout ensemble non vide de nombres entiers naturels admet un plus petit élément. Cet axiome permet de démontrer le principe de récurrence, et autrefois (dans les années 70) on démontrait le principe de récurrence aux lycéens en utilisant cet axiome. Mais, si j'ai bien compris, dans la théorie des nombres la plus commune, on fait le contraire : on part de l'axiome de récurrence, et grâce à lui on démontre que tout ensemble non vide de nombres entiers naturels admet un plus petit élément. Quand j'était à la fac, c'est ce qu'on nous a présenté.
Mais alors, quel axiome est vrai ? Eh bien peu importe. On peut construire les entiers naturels en partant de l'axiome de la borne inférieure, et alors on devra l'utiliser pour démontrer le principe de récurrence, ou bien en partant de l'axiome de récurrence, et alors on pourra démontrer que toute partie non vide etc. Au final ça revient au même. (En cherchant le nom de cette propriété, je suis tombé sur cette discussion qui dit bien que les deux points de vue sont équivalents : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,829706 ) Ce qui est important, c'est de comprendre qu'on a besoin d'un des deux axiomes, et d'un seul des deux. On a le choix des axiomes, mais pas n'importe comment ! Ce n'est pas la croyance qui guide le mathématicien, c'est le raisonnement.
Le choix des axiomes est arbitraire. C'est comme choisir un repère. Simplement tes axiomes doivent obéir à certaines règles, comme l'a expliqué @robun.
Tu choisis tes axiomes comme tu choisis tes hypothèses pour traiter un problème : ça te donne un cadre de départ.
Tu peux jeter un oeil sur le théorème d'incomplétude pour comprendre que de toutes façons l'axiomatisation des maths est un peu compliquée que de trouver quelques règles de base :
Ce n'est pas la croyance qui guide le mathématicien, c'est le raisonnement.
Enfin, ça dépend à quel niveau.
Au niveau "officiel", un papier de maths, c'est un raisonnement solide qui part de définitions et d'axiomes, et montre un résultat jugé significatif. Mais ça c'est ce qu'on montre à la fin.
Au niveau "cuisine", le matheux il a une idée d'un truc dont il a l'impression que ça devrait être vrai (et intéressant), et il essaie de construire des concepts dont il pense que ça va l'aider à progresser dans cette voie. En général, les concepts qu'on introduit sont plus intéressants que le résultat qu'on montre avec, parce qu'ils sont pertinents pour montrer d'autres choses.
Par exemple, on peut imaginer que pour résoudre la conjecture de Syracuse (*), c'est intéressant de regarder le nombre de bits à 1 dans la représentation binaire des entiers. Mais pour travailler dessus (parfois des décennies) sans se démotiver, il faut croire que ça a des chances de marcher.
(*) on part d'un entier. Si il est pair on le divise par 2, sinon on le multiplie par 3 et on ajoute 1. Conjecture : si on part de n'importe quel entier > 1 et qu'on répète l'opération, on finit par retomber sur 1. Bon courage.
Belle question, simple, mais loin d'être simpliste. Merci !
Pour toute construction il faut des bases, des matériaux. Les sciences, dont les maths, sont des constructions, il leur faut donc des bases. Effectivement, les axiomes sont les bases, à partir desquelles on va établir, démontrer, avérer. Et eux, on ne peut les démonter, puisqu'il n'y a rien d'acquis avant. On est donc obligés d'y croire.
Mais il y a une grosse nuance entre axiome et croyance. "La vierge Marie a été fécondée par l'opération du Saint Esprit" est une croyance. En aucun cas il ne peut s'agir d'un axiome, car un axiome est vraisemblable. On est certes obligé d'y croire, mais ce n'est pas énorme. Le postulat d'Euclide, il paraît vrai. Et il l'est dans une énorme mesure qui permet en gros toute la technique humaine. il n'y a qu'en entrant dans les mystères de l'espace-temps, c'est-à-dire en sortant de notre environnement subjectif, qu'il devient faux.
Les maths sont la science qui est construite sur le nombre le plus petit d'axiomes. À l'inverse, les sciences dites humaines ont une partie axiomatique, je veux dire par là non prouvée, gigantesque. L'économie postule qu'il faut produire et consommer le plus possible. La politique... n'en parlons même pas. La psychologie, l'histoire, ne sont que des sommes de théories qui se combattent et se contredisent.
Rien de tout ça en maths. Si deux mathématiciens ne sont pas d'accords, c'est que l'un se trompe, ou les deux, et on finira par trancher.
- Edité par zakod 9 mai 2020 à 12:58:47
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
> Rien de tout ça en maths. Si deux mathématiciens ne sont pas d'accords, c'est que l'un se trompe, ou les deux, et on finira par trancher.
S'ils ne sont pas d'accord sur la véracité d'un énoncé indécidable, ça risque de poser problème (même si on peut considérer que c'est dans le cas « les deux se trompent »)..
Effectivement, les axiomes sont les bases, à partir desquelles on va établir, démontrer, avérer. Et eux, on ne peut les démonter, puisqu'il n'y a rien d'acquis avant. On est donc obligés d'y croire.
Je trouve que c'est trompeur de présenter les choses ainsi. Si un mathématicien « croit » en l'axiome d'Euclide, c'est qu'il n'a rien compris (il faut lui retirer ses diplômes !). Ou alors tu emploies le verbe « croire » dans un sens que je ne comprends pas.
Imaginons un mathématicien qui affirme que l'axiome d'Euclide est vrai. Il est de son devoir d'essayer de le démontrer. C'est là où je dis qu'il faut lui retirer ses diplômes : ça fait plus de deux siècles qu'on sait que c'est impossible (l'impossibilité a été démontrée !).
Imaginons un mathématicien qui affirme que l'axiome de récurrence est vrai. Là encore, il est impossible de le démontrer avec les autres axiomes. Ou alors on change le choix des axiomes : si on prend comme axiome la propriété que tout ensemble non vide d'entiers naturels admets un plus petit élément, alors on peut démontrer le principe de récurrence. Mais pour démontrer la propriété de tout ensemble non vide, il faut admettre comme axiome le principe de récurrence. Ce n'est pas une question de croyance, c'est une question de nécessité : on peut démontrer que certaines propriétés doivent être admises, et on doit démontrer qu'elles sont cohérentes (ne se contredisent pas).
L'un des axiomes les plus connus est celui de l'existence de l'ensemble vide. Il me semble qu'aucun mathématicien (à qui on n'a pas retiré son diplôme... ) ne croit que l'ensemble vide existe. On a besoin de cet axiome, c'est la base de la théorie des ensembles, qui est à la base de l'arithmétique, qui est à la base de plein de choses. De toute façon il s'agit de maths, pas de physique. Ça n'aurait pas de sens de se dire : « mais au fond, l'ensemble vide existe réellement ? ». Ça n'aurait pas de sens parce qu'on a supposé son existence, dès lors il existe.
C'est tout à fait différent du postulat de l'univers homogène en cosmologie (on suppose que l'univers a les mêmes propriétés partout à très grande échelle) : ce postulant est nécessaire pour avancer, mais il est peut être faux. C'est différent parce que la physique étudie des objets concrets qui nous entourent et qui étaient là avant nous, tandis qu'en maths on invente les objets qu'on étudie (on les construit). Les ensembles ne sont pas comme les galaxies, qu'on observe et qu'on essaie d'expliquer avec la théorie. Il serait absurde, en maths, de se dire « je veux découvrir un ensemble vide afin de prouver son existence ». (Cette phrase est absurde parce qu'en cherchant un ensemble particulier, on se place dans la théorie des ensembles − qui suppose que l'ensemble vide existe.)
Il me semble que croire signifie avoir la conviction que c'est vrai.
Tu dis qu'on est obligé de croire aux axiomes. Prenons l'axiome d'existence de l'ensemble vide. On est obligé d'avoir la conviction que l'ensemble vide existe ? Une telle croyance me semble absurde puisqu'on pose son existence comme axiome.
Ou alors tu veux dire qu'on est obligé de poser tel ou tel axiome ? Oui, mais pas par croyance : par nécessité logique.
Il me semble que croire signifie avoir la conviction que c'est vrai.
Tu dis qu'on est obligé de croire aux axiomes. Prenons l'axiome d'existence de l'ensemble vide. On est obligé d'avoir la conviction que l'ensemble vide existe ? Une telle croyance me semble absurde puisqu'on pose son existence comme axiome.
Ou alors tu veux dire qu'on est obligé de poser tel ou tel axiome ? Oui, mais pas par croyance : par nécessité logique.
Je crois qu'en mathématiques, on n'est obligé à rien sauf à un raisonnement logique nous amenant d'une affirmation qu'on appelle 'axiome' vers une conclusion qui en découle.
L'ensemble vide et même la valeur zéro n'étaient pas concevables pour les mathématiciens de l'antiquité.
C'est nous qui avons créé ces concepts pour l'avancement des mathématiques et tenter d'expliquer de nouvelles réalités (inventées ou découvertes).
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
En fait, quand je disais qu'on est obligé par nécessité logique, c'était dans ce type d'exemple : je veux faire de la géométrie comme à l'école, je suis obligé d'admettre l'axiome d'Euclide. Pas par croyance, mais parce qu'il a été démontré que cet axiome est nécessaire (pour faire de la géométrie comme à l'école). C'est le « pas par croyance » qui était important.
Mais je suis bien d'accord que, dans l'absolu, on est obligé à rien (si je veux, je peux suivre une autre géométrie).
L'ensemble vide, les nombres, les points, les droites, etc. ça n'existe pas dans la nature. Ce sont des concepts, à qui on prête une certaine existence quand ils apparaissent utiles.
Le concept de nombres, il apparait quand on introduit de l'abstraction, qui consiste à se dire que 3 vaches + 2 vaches, ça fait 5 vaches comme 4 vaches + 1 vache. Et que c'est pareil pour des chèvres. Mais il faut aussi considérer les vaches de façon abstraite, parce que dans la réalité mes deux vaches noires qui sont là, elles sont pas du tout pareil que tes vaches marron mal foutues, je vais pas les échanger non mais oh l'arnaque.
A témoin le concept de zéro, qui ne servait à rien quand dans la réalité on n'avait aucun besoin d'additionner des troupeaux où il n'y avait pas de bêtes.
Oui, mais l'invention du zéro a permis l'avènement de la numération de position par les Indiens. C'est en fait pour répondre au problème posé par l'absence de signe (ils mettaient un espace pour représenter l'absence de tel ou tel paquet, ce qui créait des problèmes), que le pas a été franchi : la notion de zéro a commencé d'exister quand il a fallu considérer l'absence de centaine par exemple, ou de millier (je ne sais pas s'ils avaient un système décimal, alors je dis "centaine" ou "millier" au hasard).
Ça arrive souvent dans l'univers des sciences dites exactes : invention fortuite d'un concept qui se révèle ensuite encore plus riche.
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
- parler de zero, est-ce que ça veut dire qu'on croit qu'il existe ?
C'est à dire, finalement, de savoir de quelle notion d'existence on parle.
Comme les chipotages pour savoir si on invente ou si on découvre un théorème. Sur un plan logique, à partir du moment où on a des lettres, on peut écrire toute théorie (c'est un tecte de longueur finie), et avec chaque théorie viennent tous les théorèmes (qui sont les propositions vraies dans la théorie). Donc si on va par là, on n'invente jamais rien. Mais ça nous fait une belle jambe d'aller par là.
Non, il ne faut pas réduire la question d'axiome à celle du zéro. Le zéro est un exemple, rien de plus, même si c'est un bel exemple. Le "chipotage" sur le fait d'inventer ou de découvrir ne se limite pas aux théorèmes. C'est une question bien plus vaste, qui dépasse les maths, et qui dépasse les sciences et les techniques. Depuis que cette belle question a été posée, en fait, on est ailleurs : en philosophie. Science qui se préoccupe, entre autres choses, de la notion d'existence, et de non-existence. Pour une bonne et abordable synthèse sur l'épistémologie, voir Malicorne, de Hubert Reeves.
Hier, j'ai entendu évoquer sur France Musique l'idée que Beethoven a découvert sa neuvième symphonie. Comparée à cette autre : la télévision n'a pas été inventée, mais découverte. Elle existait avant qu'on ne l'invente.
Pour en revenir plus précisément aux maths, le grand Descartes lui-même faisait erreur épistémologique en supposant qu'il les découvrait à l'intérieur de lui-même. C'est une théorie du moyen-âge, qui concerne les langues aussi, par exemple. La connaissance est en soi, mais enfouie. Il y a beaucoup d'anthropocentrisme là-dedans : l'être humain contient la connaissance de toute chose. De nos jours, on sait bien que c'est l'observation du réel, avec toute l'erreur que cela implique (monde sensible et monde réel), et l'analyse que l'on en tire, qui fait la connaissance.
J'ai tapé "argument ontologique", et rien qu'avec Wiki, y a de quoi faire, méditer, grimacer et sourire, rire et pleurer.
- Edité par zakod 11 mai 2020 à 12:20:26
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
Connaissance tout à fait imparfaite d'ailleurs (sauf en maths qui ne se préoccupent pas de la réalité physique), et toujours en construction.
Une fois qu'on a ramené la matière à des molécules, les molécules à des atomes (censés être indivisibles), les atomes à des particules élémentaires, vous croyez que ça va s'arrêter là ? Qu'on ne se demandera pas à quoi ces particules élémentaires doivent leurs propriétés ?
En effet. D'ailleurs, on ne s'est pas arrêté là. À l'heure actuelle, le domaine hypothétique, c'est la théorie des cordes (inextricables). Voir à ce sujet L'univers élégant de Brian Greene. Comme Hubert Reeves, il est vraiment abordable par tous.
S'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème.
Les axiomes sont les postulats de départ sur lesquelles tu bases ta théorie mathématique. Le domaine de la croyance n'intervient pas ici. Tes axiomes peuvent être « faux » (enfin, il faudrai définir “faux” parce que ça n'as pas beaucoup de sens dans le cas d'un axiome), ça ne pose pas de problème logique. Simplement la démonstration qui est bâtie dessus sera « fausse » elle aussi, et toute les déductions faite grâce à cette démonstration seront non-démontrée (elle peuvent tout de même être juste). Une théorie mathématique est démontrée dans une axiomatique donnée.
Ensuite si tu as besoin d'une théorie mathématique pour résoudre un problème concret, il te faudra choisir une axiomatique qui te semble pertinente dans le cas étudié. À ce stade tu n'es plus en train de faire des mathématique fondamentales, mais tu commence déjà à modéliser le monde, c'est à dire créer un modèle qui corresponds aux observations passées et qui te permette de faire des prédictions sur les observations à venir, avec toute les problématiques d'interprétation et de précision que cela comporte. Ce n'est plus un travail de mathématicien, mais de physicien ou d'ingénieur.
Edit :
> Proposition considérée comme évidente, admise sans démonstration.
Pour moi cette proposition est à moitié fausse. Un axiome n'est certainement pas évident. Évident, ça veux dire que la démonstration est tellement bidon qu'on prends pas la peine de la faire.
> il est nécessaire que les axiomes ne se contredisent pas,
D'un point de vu strictement logique, on peut tout à fait bâtir une théorie sur une axiomatique incohérente. Simplement ça voudra dire qu'avoir prouvé qu'une proposition est vraie n'empêche pas d'être capable de prouver que la même proposition est fausse. Ça va être difficile de trouver des application intéressantes. Mais pourquoi pas.
> En aucun cas il ne peut s'agir d'un axiome, car un axiome est vraisemblable.
Pourquoi faudrait-il qu'il soit vraisemblable ? Il n'as même pas besoin d'être « vrai ». Est-ce que i^2=-1 est vraisemblable ? Même si ce n'est pas à proprement parlé un axiome, le problème est le même.
>Les maths sont la science qui est construite sur le nombre le plus petit d'axiomes. À l'inverse, les sciences dites humaines ont une partie axiomatique, je veux dire par là non prouvée, gigantesque. L'économie postule qu'il faut produire et consommer le plus possible. La politique... n'en parlons même pas. La psychologie, l'histoire, ne sont que des sommes de théories qui se combattent et se contredisent.
Pour moi rien à voire. Ce ne sont pas des science abstraite. On est déjà dans des problématique de modélisation du réel, et de choix du résultat voulu. Dire qu'il faut produire et consommer le plus possible est bien un choix idéologique, mais certainement pas un axiome. Pour faire le parallèle avec les math, c'est comme si tu avais écrits « les mathématicien postulent qu'il faut utiliser tels axiomes ». Non. Ils disent « si on utilise tel axiome, alors, il se passe cela ».
> je veux faire de la géométrie comme à l'école, je suis obligé d'admettre l'axiome d'Euclide.
Pas forcément. Juste il faut comprendre que toutes les démonstration que tu fais ne sont valable que dans le cadre de cette axiomatique. Ensuite tu peux constater que si tu as un problème de géométrie dans le monde réel, cette axiomatique marche pas trop mal (et de toute manière, pré-bac c'est à peu près la seule que tu connais). Simplement il faut avoir conscience que c'est un choix utilitaire. D'ailleurs, l'espace-temps et pas particulièrement euclidiens dans les théorie post-Einstein.
D'ailleurs, l'espace-temps et pas particulièrement euclidiens dans les théorie post-Einstein.
Tu peux enlever « post » : l'espace-temps n'est pas euclidien dans la théorie de la relativité générale.
Un axiome est-il une croyance ?
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