Salut,

J'ai une petite question à propos d'une proposition sur les intégrales impropres.
Genre on prend une brave fonction f définie continue sur <math>\([0;+\infty[\)</math>.
Après on l'intègre, et c'est là que vient la proposition : Si <math>\(\int_0^{+\infty} f(x) dx\)</math> converge, alors <math>\(lim_{x \to +\infty} f (x) = 0\)</math>.
Sous réserve que la proposition soit correcte, sa démonstration doit sans doute faire 2 lignes, mais j'ai pas vraiment d'idée.
Quelqu'un peut m'aider ?

Merci d'avance.

le problème c'est qu'elle est totalement fausse

il suffit de faire un dessin pour s'en rendre compte

si tu fais des dents de scie régulièrement espacé mais dont la base rétréci tout en ayant une hauteur constante tu peux te débrouiller pour avoir l'aire de la n-ième dent de scie en 1/n^2

et tu peux même faire en sorte que ton intégrale converge sans que ton f(x) soit bornée

je suis pas sur de bien avoir compris ta question mais si f tend vers un réel non-nul a l'infini alors elle est équivalente à l/x^0 donc impossible.

EDIT: Effectivement akhenathon si f a une limite c'est 0 mais elle peut convergé sans que f ait une limite.

Citation : kaderouman

je suis pas sur de bien avoir compris ta question mais si f tend vers un réel non-nul a l'infini alors elle est équivalente à l/x^0 donc impossible.

ce que tu as essayer de faire, c'est une sorte de réciproque donc qui n'est pas l'objet de la question

Soit dit en passant, la négation de f(x) -> 0 ce n'est pas f(x) -> l avec l!=0

Edit : kaderouman désolé j'avais mal compris
dans ce cas c'est trivial si tu suppose que f a une limite

Edit 2 : par contre une proposition juste est de dire que pour f continue, si l'intégrale converge et que f est décroissante alors f(x) -> 0 ( pas trés dur à montrer )

Ouais en fait j'avais réussi à prouver un bout de la contraposée : si f converge vers un réel non nul, l'intégrale diverge, en utilisant une majoration ou une minoration, et j'ai zappé de le marquer. C'est ce que kaderouman a fait avec un équivalent. C'est vachement mieux parce que ça marche avec f à valeurs vectorielles aussi.

Par contre cette contraposée est fausse si on suppose que f diverge, apparamment. C'est peut-être pour ça que j'avais un peu de mal à la démontrer.

Merci les gars !

La proposition contraire de "à une limite nulle en + l'infini" n'est pas "à une limite non nulle en + l'infini"
En utilisant des quantificateurs :
<math>\(\exists \epsilon > 0\ \forall A > 0 \ \exists\ x > A\ tel\ que\ |f(x)|>\epsilon\)</math>

Il me semble que ta proposition est vraie seulement si f admet une limite en l'infini.
(c'est mieux que f décroissante comme le suggère akhenathon)