Soit f une application surjective de E dans E. Alors f est nécessairement injective.
Comme je n'arrive pas à trouver de contre exemple, je me dis que ça doit bien être vrai, mais je n'arrive pas à la démontrer proprement. Pouvez-vous m'aider ?
Si ça n'est pas vrai pour tout ensemble E, l'est ce au moins quand E est dénombrable ?
Effectivement, ce n'est pas parce qu'une fonction est surjective qu'elle est forcément injective… et vice versa. D'ailleurs, lorsqu'une fonction est à la fois surjective et injective, on dit qu'elle est bijective. Qu'il y ait un terme particulier pour ça aurait dû te suggérer que l'un n'implique pas l'autre…
EDIT: Je n'avais pas vu le dernier message. Je rajoutais une couche au contre-exemple donné par tbc92.
Oui, oui, je me suis embrouillé parce que je restais scotché à mon idée de E = [[0,n]]... Merci beaucoup !
D'ailleurs, j'imagine que dans ce cas, ça se montre par récurrence, j'ai commencé, mais j'arrive pas vraiment à conclure :
Pour tout n appartenant à N*, notons P(n) : « Soit E = [[0,n]]. Toute application surjective de E vers E est également injective ».
P(1) : Soit E = {x}. Soit f une application surjective de E dans E. Il existe a appartenant à E tel que f(a)=x. a appartient à E, donc a = x. Donc f est injective.
P(n) => P(n+1) : C'est là que je ne sais plus trop comment rédiger...
Tu cherches à démontrer l'impossible. Il est en effet faux d'écrire que « Toute application surjective de E vers E est également injective ». Le seul cas où c'est vrai est lorsque E est un nombre unique E = {x}. Dans tous les autres cas, on peut toujours trouver un contre-exemple d'application surjective de E dans E qui n'est pas injective. C'est simplement parce que c'est impossible que tu n'arrives pas à faire P(n) → P(n+1)…
Si on prends n=3, posons E=[[0,n-1]]={0,1,2}. f qui va de E vers E est surjective. Donc un 0, 1, 2 ont tous au moins un antécédent par f. Supposons par l'absurde que l'un d'entre eux en a plusieurs (admettons que f(0) = 0 et f(1) = 0) alors forcément un des éléments n'aura pas d'antécédents (ici, soit f(2) = 1 et 2 n'a pas d'antécedent ou bien f(2)=2 et dans ce cas 1 n'a pas d'antécédent).
Tu cherches à démontrer l'impossible. Il est en effet faux d'écrire que « Toute application surjective de E vers E est également injective ». Le seul cas où c'est vrai est lorsque E est un nombre unique E = {x}.
- Edité par Me Capello il y a 44 minutes
non si \(E\) est un ensemble fini, alors injection , surjection et bijection sont des propriétés équivalentes. (remarque: Un autre cas particulier où cette équivalence est vraie : si \(E\) est un espace vectoriel et \(f\) une application linéaire sur \(E\)).
edit je viens de voir le dernier post de X260 ....
- Edité par Sennacherib 25 octobre 2016 à 11:18:27
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
si \(f\) est surjective, alors \(Card(f(E)) =Card(E)\). Si alors \(f\) n'est pas injective, comme on considère un ensemble fini,il y au moins un élément qui n'est pas image donc on aurait \(Card(f(E)) < Card(E)\), d'où contradiction.
Réciproquement, que l'injection implique la surjection est tout aussi évident.
Remarque: dans ton exemple , que ceci soit vrai pour tout \(E_n=(0,...,n)\) pour tout \(n\) fixé ne permet évidemment pas d'en conclure faussement que cela resterait vrai si \(E=\mathbb{N}\)
- Edité par Sennacherib 25 octobre 2016 à 11:34:16
tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable
Remarque: dans ton exemple , que ceci soit vrai pour tout \(E_n=(0,...,n)\) pour tout \(n\) fixé ne permet évidemment pas d'en conclure faussement que cela resterait vrai si \(E=\mathbb{N}\)
Oui, je garde en tête qu'il faut que \(E\) soit dénombrable et fini pour avoir ces équivalences ! Merci beaucoup !
non si \(E\) est un ensemble fini, alors injection , surjection et bijection sont des propriétés équivalentes.
Oui, en effet. Au temps pour moi. Je pensais en fait aux ensembles continus, notamment à tous les ensembles du type \([a,b]\) avec \(a,b\in \mathbb R\). Je ne connaissais en fait pas la notation \([[0,n]]=\{0,1,\ldots,n\}\). Je croyais que X260 parlait de l'intervalle \([0,n]\)…
- Edité par Me Capello 25 octobre 2016 à 23:38:03
Une surjection de E dans E est-elle bijective ?
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