J'ai réussi la question 1, mais je n'ai vraiment pas d'idée pour les questions 2 et 3, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci.

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Edité par Benjamin Letelier 21 mai 2018 à 22:54:18

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Edité par Why not ? 21 mai 2018 à 23:00:12

Oui, on a :

Est-ce correct ? Mais après, que faire ?

MERCI.

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Edité par Benjamin Letelier 21 mai 2018 à 23:28:24

ton dénominateur est faux. Il manque déjà un terme en \(X\) et sans lui tu vas avoir du mal à trouver les asymptotes demandées en 3.

Le dénominateur c'est \((1+X^2) \arctan X\) et le DL de l’arc tangente c'est \(X +O(X^2)\) à l'ordre 2 puisque le terme suivant est en \(X^3)\).

Refais donc le calcul correct à l'ordre 2 du dénominateur

Ensuite que faire aprés...?  et bien calculer le DL de l'inverse (   c'est un cas particulier du DL d'une fraction rationnelle).

 Si on te donnes cet exo , tu dois normalement avoir vu le   calcul du DL inverse ou plus généralement d'un quotient. 

Pour te guider et contrôler ton résultat final, je te donne les  équations des asymptotes à trouver sur ce tracé  géogebra 

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Edité par Sennacherib 22 mai 2018 à 12:07:08

Voici donc ce que j'ai trouvé pour g(X) :

Est-ce correct ?

Comment effectuer les DL ensuite ? Je n'arrive toujours pas à composer les DL et à savoir à quel ordre effectuer les DL...

Pourriez-vous m'expliquer s'il vous plaît ?

Merci encore pour l'aide.

A quel ordre il faut effectuer les DL ?   Il n'y a pas de réponses toute faite à cette question. Une des options, c'est de calculer le DL à l'ordre 1, pour chacun des éléments. ça va vite, mais le risque c'est d'arriver à un truc indéterminé.

Par exemple sin(x) à l'ordre 1, ça donne x, tan (x) à l'ordre 1, ça sonne x aussi , et donc sin(x)-tan(x) ... on ne sait pas du tout à quoi ça ressemble si on a choisi de faire des DL à l'ordre 1. 

Du coup, on recommence, et on fait des DL à l'ordre 3 ( ici, mes fonctions sont impaires, donc des DL à l'ordre 2, ça n'apporterait rien). Et on regarde si on arrive à une forme exploitable.

L'autre scénario, c'est de viser haut. C'est de prendre des DL très poussés, à l'ordre 5 par exemple. On va passer un peu plus de temps à faire tous les calculs, mais on est quasiment sûr de ne pas arriver à un truc inexploitable ( x-x dans l'exemple ci-dessus).

C'est du tâtonnement. Même pour des matheux très doués, il n'y a pas une technique qui assure de faire le calcul au bon niveau.

Ce qu'il faut bien comprendre, c'est qu'il n'y a pas qu'une bonne réponse dans un exercice sur les DL. 

Si tu fais ton DL avec pas assez de termes, tu risques d'arriver à une forme indéterminée (x-x). Si tu le fais au niveau idéal, bonne pioche. Si tu le fais avec trop de termes, le résultat sera juste, tu auras juste dépensé un peu trop d'énergie à calculer des termes inutiles.  

Merci pour votre réponse.

Mon expression de g(X) est-elle donc juste ?

Il faut ensuite effectuer un DL de l'expression de g(X) ?

Je ne comprends pas...

Merci d'avance pour l'explication.

Voici donc mes réponses pour la question 2 :

L'expression de g(X) est-elle correct ? Et les DL ?

Et surtout, comment faire la question 3 ? Là, je n'ai vraiment aucune idée, je reste bloqué après plusieurs heures de recherche...

Pourriez-vous me dire comment faire s'il vous plaît ? Je pense que c'est OK pour trouver la position, mais pas pour trouver les équations des asymptotes, or j'ai besoin de ces équations pour trouver la position...

Pourriez-vous donc me dire comment je peux trouver ces équations d'asymptote svp ? Je ne vois vraiment pas...

Merci d'avance pour l'aide.

c'est peut-être une erreur de frappe, mais c'est un signe - et non * devant l'arctangente soit \((1+X^2)(signe(x)\frac{\pi}{2}-\arctan(X)) \)

Donc en se limitant au premier terme du développement de  \(\arctan(X) \sim X\) le développement du dénominateur limité à l'ordre 2 est donc  \(signe(x)\frac{\pi}{2}-X +signe(x)\frac{\pi}{2} X^2 +o(X2)\)\)

Pour avoir le DL de g(X) , je ne sais pas comment tu calcules l'inverse mais le résultat est faux Déjà le coefficient de \(X\) est \(\frac{2}{\pi}\) et non \(\frac{4}{\pi^2}\). Je n'ai pas vérifié le terme en \(X^2\), mais il ne sert à rien pour répondre à 3) , un développement au premier ordre suffit.

Pour l'asymptote, c'est quand même assez évident.

Si tu trouves un développement de la forme \(g(X)=a+bX+o(X)\) en \(X=0\) et sachant que \(g(X)\) c'est \(f(x)/x\) et \(X=\frac{1}{x}\), tu ne vois pas qu'elle est l'équation de l'asymptote quand \(x\) tend vers l'infini ??
Je te rappelle que la réponse est sur le graphe que j'ai posté.

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Edité par Sennacherib 25 mai 2018 à 8:44:04