Bonjour,

Je m'intéresse au calcul de la variance d'une probabilité aléatoire mais je ne vois pas vraiment à quoi cel peut être utile. Pour l'espérance j'ai recherché sur internet et l'application m'a parut assez concrète:

Citation : Wikipédia

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en probabilité de la moyenne d'une série statistique en statistiques. Exemple de calcul pour la roulette française : en jouant un numéro plein, le joueur a 1 chance sur 37 (les numéros vont de 0 à 36) de repartir avec 35 fois sa mise initialenote 1. Son espérance de gain est donc :

Ce résultat indique qu'en moyenne, il perd 2,7 % de sa mise à chaque partie au profit du casino.

Pour l'espérance je ne vois rien qui me permettrai de comprendre son utilité.
Il en va de même pour l'écart type.
Auriez vous des exemples?

Merci.

La variance à pleins d'utilités (comme tu peux t'en douter).
Je peux citer l'utilisation de la covariance pour les régressions linéaires, mais aussi l'utilisation de l'écart type (racine de la variance) pour centrer et réduire une loi normale et ainsi pouvoir se référer à une table de la loi de répartition.

Sachant que la loi normale est à peu près la loi de statistique et de probabilité la plus utilisée quand on parle de densité, l'utilité de la variance et écart type est plutôt grande. D'autant qu'un des arguments de la loi normale est justement l'écart type au carré.

Après, une autre utilisation, serait dans les théorèmes de convergence, et notamment l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui te permet, sans aucune indication sur ta loi, d'avoir une approximation (assez grossière cependant, tout comme celle de Markov) sur l'éloignement par rapport à une valeur :

Tu es à quel niveau scolaire ?

Je laisse le soin aux autres de d'éclairement sur la signification plus général de la variance et de l'écart type. Je ne t'ai donné ici que des exemples concrets d'utilisation.

Voila cependant ce que Wikipedia dit, et je trouve ça plutôt bien dit :

Citation

En statistique et probabilité, la variance est une mesure arbitraire servant à caractériser la dispersion d'une distribution ou d'un échantillon.

Citation

En mathématiques, plus précisément en statistiques et probabilités, l'écart type mesure la dispersion d'une série de valeurs autour de leur moyenne.

EDIT : cela me fait penser à un truc. En gestion de la qualité, une des méthodes les plus utilisées dans le monde de l'entreprise est la méthode 6sigma qui justement se base sur l'écart type pour juger de la qualité d'un produit.
Wikipedia : six sigma
Loi normale pour la loi 6 sigmas
Tu t'aperçois bien qu'avec 6sigmas (-3 et +3) tu as pratiquement 100% des valeurs dans ton intervalle. Voila encore une utilité.

En version plus vulgarisée :), la variance (et l'écart-type) caractérise la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur éloignée de sa moyenne. Tu peux voir une étude sur l'influence de la variance de la beauté d'une femme sur le nombre de messages qu'elle reçoit sur un site de rencontre si tu veux un exemple "concret".

Je vous dit un grand merci pour vos réponses et l'étude que je vais m'empresser de lire

Je profite de ce sujet pour poser deux dernières petites questions, à propos de l'espérance et l'écart type. J'ai pu lire que c'était le résultat moyen d'une expérience aléatoire.
Imaginons que j'ai un dé: {1...6}, nous allons dire que nous sommes dans un cas d'équiprobabilité donc <math>\(P(X = k) = \frac{1}{6}\)</math> et mon espérance est de:
<math>\(E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5\)</math>
Cela signifie t-il qu'en moyenne je tombe sur un résultat entre 3 et 4? (bien qu'il n'y est pas de face 3.5 sur le dé mais c'est une moyenne).

L'écart type mesure la dispersion d'une série de valeurs autour de la moyenne mais je ne trouve nul part l'explication de la dispersion. Je connais la définition, la formule grâce a la variance mais je ne comprend toujours pas ce qu'elle mesure. Je dois t'avouer que même avec "caractérise la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur éloignée de sa moyenne.", je ne vois toujours pas.

Merci

C'est bien ça. On moyenne, sur un grand nombre de lancers, tu peux espérer avoir 3.5 en moyenne.

Concernant la variance, voila un exemple qui pourra te renseigner :

Tu as 2 VA, X et Y, avec <math>\(X(\Omega ) = \left \{ -1000,1004 \right \}\; Y(\Omega ) = \left \{0,2,3 \right \}\)</math>

Je te donne la loi de ces deux VA :
P(X=-1000) = 1/2
P(X=1004) = 1/2

P(Y=0) = 1/4
P(Y=2) = 1/4
P(X=3) = 1/2

(Tu peux remarquer que <math>\(\sum P(X=x_{i})=1\;\)</math>
<math>\(\sum P(Y=y_{i})=1\)</math>
Ce sont donc bien des probabilités)

Leur espérance est donc tous les deux E(X) = E(Y) = 2.
Pourtant ces deux lois présente deux écarts types très différent :
<math>\(\sigma\left ( X \right )=1002\;\)</math>
<math>\(\sigma\left ( Y \right )=1.2\)</math>

En gros, tu as beau avoir la même espérance, c'est à dire, attendre en moyenne le même résultat, tes résultats seront plus éloignés de cette espérance pour la loi de X, et plus proche pour la loi de Y. En moyenne, les résultats s'écartent de 1002 de l'espérance, contre 1.2 pour la loi Y.

Is that clear so far ?

Merci pour ta réponse

L'écart type permet donc de savoir si en général, les résultats sont plus ou moins éloigné de la moyenne c'est bien cela?
C'est à dire que si l'écart type est grand, on dira qu'en moyenne on attend la valeur k mais qu'en général, les résultats s'en éloignent? (si j'ai bien compris)

Tu peux voir ça comme ça.
En fait, il existe plusieurs type de moyenne en mathématique si ça t'intéresse. L'espérance n'en est qu'une parmi d'autre (elle peut correspondre à la moyenne arithmétique dans un problème équiprobable ou si ta VA suit une loi uniforme d'ailleurs en fonction de l'univers image).

Voila un lien intéressant (je n'ai pas vérifié l'exactitude de toutes ces définitions mais je suppose qu'elles sont vraies ;p)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne