Bonjour 

j'ai  récemment fait un sujet pour m’entraîner, et quand je regarde la correction , je n'arrive pas a comprendre  le raisonnement . 

énoncer : 

On d´efinit l’application f de R3 dans R3 par 
f(x,y,z) = (x + 2y + 2z,x + 3y−2z,3x + 7y + 2z). 

`Question 1) A quelle condition un vecteur v = (a,b,c) appartient-il `a Im(f)? Donner une base de Im(f). 

j'ai  donc résout le système :

 x +2y +2z = a 
     y −4z = b−a 
     y −4z = c−3a 

je trouve ça ensuite le problème c'est : 

Ce syst`eme admet au moins une solution lorsque b − a = c − 3a soit encore c = 2a + b. Donc Im(f) = {(a,b,c) ∈R3 : c = 2a + b} = {a(1,0,2) + b(0,1,1) (a,b) ∈R2}. 

pourquoi  a(1,0,2) + b(0,.....  ?? je ne comprend pas 

Im(f) = {(a,b,c) ∈R3 : c = 2a + b} = {a(1,0,2) + b(0,1,1) (a,b) ∈R2}. 

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Edité par PradaSmith 1 décembre 2019 à 17:41:32

Bonjour ! L'ensemble des (a, b, c) tels que c = 2a + b est un plan de l'espace, il faut donc trouver deux vecteurs de base. La méthode usuelle consiste à les chercher sous la forme (1, 0, truc) et (0, 1, machin) (quand c'est possible (*)) car alors ils sont forcément non-colinéaires. Pour le premier, si a = 1 et b = 0, forcément c = 2 (vu que c = 2a + b). Pour le second, ça donne c = 1. Donc les deux vecteurs de base sont (1, 0, 2) et (0, 1, 1). Et tout vecteur de ce plan est de la forme λ(1, 0, 2) + μ(0, 1, 1).

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(*) sinon on essaie (truc, 1, 0) et (machin, 0, 1), ou encore (1, truc, 0) et (0, machin, 1). Forcément l'une de ces écritures est possible.

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Edité par robun 1 décembre 2019 à 20:00:37

Oui , mais pourquoi avoir mis : a(1,0,2) + b(0,1,1) 

comment ils sont arriver a là ? parceque j'ai tout essayer pour trouver juste le premier : a(1,0,2) mais rien 

si on part sur ce que tu vient me dire l'hypothèse es donc valable pour d'autre nombre car ça marche aussi 

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends, j'ai détaillé l'explication ! Peux-tu citer dans mon explication le passage que tu ne comprends pas ?

Ah, ou alors tu ne comprends pas pourquoi la correction dit a(1, 0, 2) + b(0, 1, 1) là où j'ai écrit λ(1, 0, 2) + μ(0, 1, 1) ? C'est pareil.

Ou alors tu comprends que c'est pareil, mais tu ne comprends pas pourquoi, si la base est composée des vecteurs (1, 0, 2) et (0, 1, 1), l'image est l'ensemble des vecteurs de la forme λ(1, 0, 2) + μ(0, 1, 1) ? (C'est pour ainsi dire la définition d'une base.)

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Edité par robun 1 décembre 2019 à 21:16:36

robun a écrit:

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends, j'ai détaillé l'explication ! Peux-tu citer dans mon explication le passage que tu ne comprends pas ?

Ah, ou alors tu ne comprends pas pourquoi la correction dit a(1, 0, 2) + b(0, 1, 1) là où j'ai écrit λ(1, 0, 2) + μ(0, 1, 1) ? C'est pareil.

Ou alors tu comprends que c'est pareil, mais tu ne comprends pas pourquoi, si la base est composée des vecteurs (1, 0, 2) et (0, 1, 1), l'image est l'ensemble des vecteurs de la forme λ(1, 0, 2) + μ(0, 1, 1) ? (C'est pour ainsi dire la définition d'une base.)

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Edité par robun il y a environ 9 heures

Pourquoi la méthode consiste t-elle à la chercher sous forme ( 0,1,...) ou (1,0...) etc ... ? 

et c'est ça la définition d'une base aurait tu un cours ou un site qui montre cette définition ? λ(1, 0, 2) + μ(0, 1, 1)  si c'est le cas lambda et micro c'est quoi c'est  " a" et "b" d'après la correction ?  et c'est tout le temps pareils ? 

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Edité par PradaSmith 2 décembre 2019 à 19:13:11

??

Est-ce que tu as compris ce passage de mon explication :

« L'ensemble des (a, b, c) tels que c = 2a + b est un plan de l'espace, il faut donc trouver deux vecteurs de base. »

On cherche deux vecteurs (a, b, c) qui vérifient c = 2a + b. On peut les chercher au hasard. Par exemple je prends a = 0 (c'est ce qu'il y a de plus simple). Du coup b = 3 et c = 3 conviennent : 3 = 2x0 + 3. Voilà, j'ai un premier vecteur : (0, 3, 3). Mais une technique très courante consiste à chercher ces deux vecteurs sous la forme (0, 1, quelque chose) et (1, 0, une autre chose). Pourquoi cette technique ? 1° parce que ça donne des vecteurs simples, 2° parce qu'on est sûr qu'ils sont non colinéaires (et donc forment une base du plan). On en est sûr parce que, sous cette forme, il est impossible que les coordonnées soient proportionnelles entre elles.

C'est avec cette technique que j'ai trouvé (1, 0, 2) et (0, 1, 1).

Maintenant, tu sais probablement qui si une droite (d'un espace vectoriel) a pour vecteur directeur u, alors la droite est l'ensemble des vecteurs de la forme ku, où k est un nombre quelconque. Peu importe son nom : k, ß ou je ne sais quoi. De même, si un plan (d'un espace vectoriel) a pour base (u, v), alors tout vecteur de ce plan s'écrit sous la forme pu + qv où p et q sont des nombres quelconques. Là encore, peu importent leurs noms.

Ici, u et v sont les vecteurs (1, 0, 2) et (0, 1, 1), donc l'image est l'ensemble des vecteurs de la forme G(1, 0, 2) + H(0, 1, 1) où G et H sont des nombres quelconques (je fais exprès d'utiliser d'autres noms pour insister sur le fait que nommer ces deux nombres n'a pas d'importance).

(Si tu as des difficultés à saisir mes explications, peut-être devrais-tu réviser certaines notions de base.)

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Edité par robun 5 décembre 2019 à 13:10:30

Non t’inquiète, j'ai tout a fait compris se que je ne comprenais pas c'est pourquoi choisir (1.0...) ou 0,1,...  du coup si j'ai bien compris 

choisir n'importe qu'elle Valeur pour A et B , de façon que ça soit solution de C . donc c'est Correct comme (0,3,3) ... 

du coup si j'ai bien compris ils y'a plusieurs bases et celui écrit sur la correction et une solution

Mercii pour tes explications Précieux 

Tout à fait : il y a plusieurs bases possibles. Il faut juste s'assurer que les deux vecteurs sont linéairement indépendants (non colinéaires).