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Vecteurs de Killing

RG

Sujet résolu
    18 mai 2011 à 0:46:33

    Bonjour, :)

    Un point m'échappe dans mon cours de RG, je ne comprends pas pourquoi le long d'une géodésique de la métrique de Schwarzschild, la quantité <math>\(\vec{\xi}.\vec{u}\)</math> se conserve (<math>\(\vec{\xi}\)</math> étant un vecteur de Killing et <math>\(\vec{u}\)</math> la quadri-vitesse d'un corps matériel). Je dois avoir mal digéré la définition d'un vecteur de Killing :-° .

    Merci de m'éclairer :)
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      18 mai 2011 à 1:36:08

      Bonjour ^^

      Facile : c'est la définition du vecteur de Killing, nan ? En terme de transport parallèle, je veux dire... :) quelle est ta référence de cours ? Ou mieux : la définition du vecteur de Killing de ton cours :) (doit y avoir un farfelu encore qui définit ses vecteurs de Killing autrement ? :p )
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        18 mai 2011 à 1:45:16

        Dans mon cours, un vecteur de Killing est un générateur de symétrie de (<math>\(\epsilon\)</math>,g). (<math>\(\epsilon\)</math> : variété, g : métrique). C'est pas super simple à comprendre dis comme ça. :-°

        C'est quoi la définition rigoureuse d'après toi ?
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          18 mai 2011 à 1:56:30

          Pour moi une bonne définition - à la limite - serait de dire que c'est un 1-champ Lie-transporté qui "kill" la métrique : <math>\(\mathcal L_{\xi}g_{\mu\nu}=0\)</math>. Vu la définition de la dérivée de Lie : <math>\(\nabla_{\mu}\xi_{\nu}+\nabla_{\nu}\xi_{\mu}\equiv\nabla_{(\mu}\xi_{\nu)}=0\)</math>

          Alors la preuve de ton théorème devient so easy :)

          Si <math>\(u^{\mu}\)</math> est le vecteur tangent de la géodésique <math>\(\gamma\)</math>, alors clairement : <math>\(u^{\mu}\nabla_{\mu}u^{\nu}=0\)</math> (définition). Mais alors :

          <math>\(u^{\mu}\nabla_{\mu}\left(\xi_{\nu}u^{\nu}\right)=u^{\mu}u^{\nu}\nabla_{\mu}\xi_{\nu}+\xi_{\nu}u^{\mu}\nabla_{\mu}u^{\nu}\)</math>

          Le premier terme est clairement nul de par la conséquence immédiate de la définition du vecteur de Killing (EDIT : plus évidemment la commutation de <math>\(u^{\mu}\)</math> et <math>\(u^{\nu}\)</math>), et le deuxième terme est nul par définition de <math>\(u^{\mu}\)</math> (tangent à une géodésique).

          :) ça t'aide ?

          EDIT (PS) : c'est pour étudier ensuite le décalage vers le rouge à partir d'une source gravitationnelle ? ;)

          EDIT2 :p j'ai l'impression de faire du zèle avec ton post corsé par rapport au post sur les photons, lumière et cie :D
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            18 mai 2011 à 2:04:01

            Effectivement, si on voit les choses comme ça, ça marche. ^^

            Merci :)

            C'est pour le décalage vers le rouge, et pour établir l'équation d'une orbite autour d'un corps massif (je l'avais admis pour continuer les calculs :-° ).
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              18 mai 2011 à 2:04:52

              ^^ un petit "résolu" ? :) j'y tiens :lol:

              =) les gens qui liront ce post demain vont avoir peuuuur ^^
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                18 mai 2011 à 2:09:06

                Citation : heizmann

                =) les gens qui liront ce post demain vont avoir peuuuur ^^



                c'est possible :p
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                Vecteurs de Killing

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