Bonjour,

Un point m'échappe dans mon cours de RG, je ne comprends pas pourquoi le long d'une géodésique de la métrique de Schwarzschild, la quantité <math>\(\vec{\xi}.\vec{u}\)</math> se conserve (<math>\(\vec{\xi}\)</math> étant un vecteur de Killing et <math>\(\vec{u}\)</math> la quadri-vitesse d'un corps matériel). Je dois avoir mal digéré la définition d'un vecteur de Killing .

Merci de m'éclairer

Bonjour

Facile : c'est la définition du vecteur de Killing, nan ? En terme de transport parallèle, je veux dire... quelle est ta référence de cours ? Ou mieux : la définition du vecteur de Killing de ton cours (doit y avoir un farfelu encore qui définit ses vecteurs de Killing autrement ? )

Dans mon cours, un vecteur de Killing est un générateur de symétrie de (<math>\(\epsilon\)</math>,g). (<math>\(\epsilon\)</math> : variété, g : métrique). C'est pas super simple à comprendre dis comme ça.

C'est quoi la définition rigoureuse d'après toi ?

Pour moi une bonne définition - à la limite - serait de dire que c'est un 1-champ Lie-transporté qui "kill" la métrique : <math>\(\mathcal L_{\xi}g_{\mu\nu}=0\)</math>. Vu la définition de la dérivée de Lie : <math>\(\nabla_{\mu}\xi_{\nu}+\nabla_{\nu}\xi_{\mu}\equiv\nabla_{(\mu}\xi_{\nu)}=0\)</math>

Alors la preuve de ton théorème devient so easy

Si <math>\(u^{\mu}\)</math> est le vecteur tangent de la géodésique <math>\(\gamma\)</math>, alors clairement : <math>\(u^{\mu}\nabla_{\mu}u^{\nu}=0\)</math> (définition). Mais alors :

<math>\(u^{\mu}\nabla_{\mu}\left(\xi_{\nu}u^{\nu}\right)=u^{\mu}u^{\nu}\nabla_{\mu}\xi_{\nu}+\xi_{\nu}u^{\mu}\nabla_{\mu}u^{\nu}\)</math>

Le premier terme est clairement nul de par la conséquence immédiate de la définition du vecteur de Killing (EDIT : plus évidemment la commutation de <math>\(u^{\mu}\)</math> et <math>\(u^{\nu}\)</math>), et le deuxième terme est nul par définition de <math>\(u^{\mu}\)</math> (tangent à une géodésique).

ça t'aide ?

EDIT (PS) : c'est pour étudier ensuite le décalage vers le rouge à partir d'une source gravitationnelle ?

EDIT2 j'ai l'impression de faire du zèle avec ton post corsé par rapport au post sur les photons, lumière et cie

Effectivement, si on voit les choses comme ça, ça marche.

Merci

C'est pour le décalage vers le rouge, et pour établir l'équation d'une orbite autour d'un corps massif (je l'avais admis pour continuer les calculs ).

un petit "résolu" ? j'y tiens

=) les gens qui liront ce post demain vont avoir peuuuur

Citation : heizmann

=) les gens qui liront ce post demain vont avoir peuuuur

c'est possible