Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour faire un exercice de mathématiques.

Je dois construire des figures avec des vecteurs.

Je n'ai jamais vu les vecteurs, c'est donc pou cela que je ne comprends pas.

Si vous pouviez m'aider en me donnant des explications et un exemple détaillé, je vous en serais très reconnaissant.

Merci beaucoup

Cordialement

Thibault

Prenons le 1er exercice. Tu as tes 2 points A et B qui sont dessinés sur une feuille. Tu places un point M sur ta feuille. Tu traces une fleche de M vers A. Et tu prolonges cette fleche, la longueur totale doit être 5 fois la longueur MA.

Et tu fais la même chose avec B : Tu traces une flêche de M vers B, puis tu la prolonges pour que la flêche totale soit 3 fois la fleche MB. Et le but, c'est de trouver le bon emplacement pour que les 2 grandes flèches soient 'opposées'. 

Du coup, on voit bien que M doit être quelque part entre A et B.

Pour le 2ème exercice, c'est un peu plus compliqué.   

Sur le 1er exercice, je pense que l'explication est suffisante. Mais la difficulté commence. Trouver comment placer le point M avec une règle (non graduée) et un compas, c'est un exercice pas évident du tout !

 Developwebpro dit ne pas connaitre les vecteurs , a quel niveau est posé cette exercice?  Et  un niveau où on ne connait pas les vecteurs, c'est sans doute un niveau où , comme dit tbc92, la construction purement géométrique à la règle non graduée et au compas n'a rien d'évident même pour 2 points ( bon, même si cela ne mérite pas la médaille Fields ,ni même une d'or aux olympiades, soyons honnéte ! )

Je pense qu'il y a  une construction possible qui va utiliser Thales pour partager AB selon le rapport attendu 

Principe: on trace une droite quelconque (D1) issue de A ( distincte de AB !)  , la parallèle (D2) à cette droite issue de B, 

On porte au compas 5 longueurs égales sur (D1) à partir de A donnant P et trois longueurs identiques issues de B d'orientation opposée donnant Q.

PQ coupe alors AB en M. 

Notons que le point M est le barycentre pondéré de A,B et N celui de A,B,C . Si on ne connait pas les vecteurs, je doute que on connaisse le barycentre pondéré , mais le terme est utile à connaitre pour faire une éventuelle recherche sur le NET.   

Pour 3 points, si on sait construire pour 2, on sait faire pour trois en utilisant la propriété du barycentre partiel. En effet si M est le barycentre de (A,a),(B,b) alors N sera le barycentre de (M,a+b),(C,c).  Donc c'est plus long mais pas plus compliqué à mon avis. ( à moins qu'il y ait une construction directe plus subtile sans passer par le barycentre partiel, ...je n'y ai pas réfléchi)

edit en fait avec les coefficients de pondération (2,-1,3) , la construction est assez simple.

Avec \(2\overrightarrow{NA}-\overrightarrow{NB}\), le barycentre partiel P pondéré par 2-1=1 de A,B est évidemment  le symétrique de B par rapport à A.

N est alors le barycentre de \( \overrightarrow{NP}+3\overrightarrow{NC}\).Il suffit donc de partager en 4 le segment PC pour trouver N ce qui se fait sans problème à la règle et au compas ( deux médiatrices successives à tracer ....) 

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Edité par Sennacherib 3 août 2019 à 9:04:35

Bonjour,

Tout d'abord MERCI à vous deux qui m'avez donné des indices pour avancer.

J'ai essayé vos 2 techniques et voici ce que j'ai obtenu :

Avec l'aide de tbc92 :

J'ai commencé quelque chose mais je bloque, voici ce que j'ai fait :

Je ne sais pas du tout si je suis sur la bonne piste ou pas 

Avec l'aide de Sennacherib :

Idem que pour tbc92, j'ai commencé quelque chose mais je bloque, voici ce que j'ai fait :

J'espère que je suis sur la bonne piste pour l'un des deux, sinon il faudra que je cherche encore pendant des jours et des jours.

PS : Pour info, je suis un élève qui va passer en 1ere mais en classe de 2nde ma prof de maths ne nous a pas expliqué la partie sur les vecteurs ce qui me bloque donc aujourd'hui.

Merci encore pour votre aide

Cordialement

Thibault

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Edité par (o-o) 3 août 2019 à 12:02:29

Reprenons l'exercice 1. Je disais de placer les 3 points A B et C. Puis de placer un point M 'au hasard', puis de dessiner 2 flêches suivant certaines règles. Tu as fait tout ça très bien. Ok. Ce dessin, il faut le faire au brouillon, il n'a rien à faire sur la copie finale. Ensuite, il faut tâtonner. Refais un autre essai, avec les mêmes points A B C , mais en plaçant M autre part. L'objectif, c'est de placer M à un endroit bien choisi, pour que les 2 flêches obtenues soient opposées (même longueur, même direction, mais sens opposé).

Ceci dit, la démarche que je te propose est très artisanale. Elle marche pour quelqu'un qui n'a aucune connaissance sur les vecteurs, mais elle n'est pas terrible. La bonne démarche, c'est d'apprendre les bases sur les vecteurs. Et la propriété essentielle, c'est la relation de Chasles ; Les quelques calcules ci-dessous, c'est l'application de la relations de Chasles :

5 MA + 3 MB = 0

5 MA +3 (MA+AB) = 0

8 MA + 3 AB = 0

8 AM = 3 AB

AM  = 3/8 AB

Rigoureusement, il faut écrire des vecteurs à la place de ce que j'ai écrit. C'est important...

La dernière ligne permet de positionner le point M : Le 'trajet' AM, c'est le même que le 'trajet' AB, mais plus court ; M est un peu avant le milieu de AB.

Si on a une règle graduée, c'est facile de placer le point M à partir de ce résultat. Si on n'a pas de règle graduée, mais une rèle et un compas, il faut quelques connaissances 'autres' pour placer le point M.

Avec une règle et un compas, on sait placer le point I, milieu de AB (AI=AB/2) . Puis le point J, milieu de AI (AJ=AI/2=AB/4). Puis enfin, si on place le milieu de IJ, c'est le point qui nous est demandé.

tbc92, je ne comprends pas bien ces "complications". Ce qu'à fait Developro  est exact et suffisant à ceci prés  qu'il manque une graduation pour placer P alors l'intersection PQ et AB c'est bien M. ( théoreme de Thales \(\frac{MA}{MB}=\frac{AQ}{BP}=-3/5\), algébriquement.

Ci-après la construction: c'est finalement trivial une fois que on a vu ce qu'il faut faire. Je l'ai fait sur un quadrillage pour que ce soit clair mais évidemment cela se faire à la règle et au compas sur une feuille blanche. On peut prendre deux droites quelconques pourvu qu'elles soient parallèles et on y reporte au compas 5 et 3 mesures quelconques identiques   donnant P et Q Tout segment PQ coupe AB en M  . On voit bien sur le quadrillage que \(5\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=0\)  écrit vectoriellement. Il n'y a pas à "tâtonner" pour trouver M

pour N la construction règle -compas conforme à mon edit 

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Edité par Sennacherib 4 août 2019 à 8:50:49

Grâce à vous tbc92, j'ai réussi à tracer le point M. Voici ce que j'ai obtenu :

Quelle méthode dois-je utiliser pour la 1ere question ? Car avec la méthode de tbc92 c'est simple car les calculs disent ce qu'il faut (et pas plus) et avec la méthode de Sennacherib, il faut utiliser le théorème de Thalès.

J'ai compris les deux méthodes mais laquelle dois-je mettre sur ma copie ?

Et pour la question n°2, je n'ai pas tout compris à ce que vous avez fait Sennacherib 

Merci

1-en quoi Thales n'est pas "simple" ?.... la  construction de M avec Thales me semble immédiate et prend deux lignes d'explication . Après c'est toi qui voit en fonction de ce que ton prof semble attendre et de ce que tu as vu ou pas en cours ( je trouve cet exo étrange si on n'a aucune notion sur les vecteurs, a fortiori la question 2)

2- pour 2, j'ai refait la figure car j'avais fait une erreur en inversant les rôles de A et B. Mais je ne suis pas sûr que ce soit plus clair pour toi sans connaitre les vecteurs.

Il te suffit dans un premier temps, sans entrer dans une justification théorique  de connaitre "mécaniquement" la relation de Chasles  pour additionner les vecteurs soit \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\).

On peut ajouter la notion de vecteurs colinéaires : si \(\overrightarrow{AB}= \alpha \overrightarrow{AC}\), cela signifie que les deux vecteurs ont même droite support et donc que A,B,C sont alignés..

On a aussi \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\) qui découle de la relation de Chasles en faisant A=C. 

Pour construire N selon la figure proposée, on décompose \(2\overrightarrow{NA}-\overrightarrow{NB}+3\overrightarrow{NC}=0\). en deux étapes. 

On construit d'abord H qui vérifie  \(2\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}=0\). Je pense que tu dois voir facilement que H est le symétrique de B par rapport à A.

Le point N cherché vérifie alors la relation \( \overrightarrow{NH}+3\overrightarrow{NC}=0\) ce qui montre qu'il est au quart du segment CH donc obtenu en construisant deux médiatrices , celle de HC puis celle de DC.

Il faut vérifier que c'est bien le bon N que on obtient ainsi, c'est là que la relation de Chasles intervient:

Partons de \(2\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}=0\) .  

On a  par Chasles \( \overrightarrow{HA}=\overrightarrow{HN}+\overrightarrow{NA}\)

               \(\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{NB}\)

On substitue dans la relation de départ, d'où:

\(  +2\overrightarrow{NA}-\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{HN}=0\)

et donc pour retrouver la relation de l'énoncé il faut que \( \overrightarrow{NH}+3\overrightarrow{NC}=0\) ( avec \( \overrightarrow{NH}=-\overrightarrow{HN}\) ).

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Edité par Sennacherib 4 août 2019 à 9:53:03

Bonjour,

Je vous remercie pour votre aide. Cependant je me demandais comment résoudre ces vecteurs : 

2NA−→−−NB−→−+3NC−→−=0

Je me demandais s'il était nécessaire de simplifier cette somme de vecteurs. Pour ma part j'ai fais cela de mon côté (G étant le barycentre des points A, B et C) :

Dites-moi ce cela était nécessaire ?

Et aussi comment avez-vous réalisé la figure plus haute. J'ai compris tout les calculs mais je souhaiterais savoir comment vous l'avez faite pour pouvoir réexpliquer si on me demande.

Merci beaucoup

Cordialement

Thibault

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Edité par (o-o) 5 août 2019 à 15:24:28

Non, ce que tu écris n'est pas bon.

Sur la base de quoi tu écris 2GA - GB + 3GC = 0 ??? Parce que G est le barycentre de (A,B,C) ?  Rappelle nous la définition de barycentre,   ou peut-être d'iso-barycentre ?

Bonjour,

Effectivement j'ai fais une erreur en disant que G était le barycentre (et je m'en excuse ). En fait je cherchais à faire comme ce que vous aviez fait plus haut (pour 5MA + 3MB = 0). Je pense que c'est "simplifier la somme vectorielle" mais je suis pas sûr.

tbc92 a écrit:

5 MA + 3 MB = 0

5 MA +3 (MA+AB) = 0

8 MA + 3 AB = 0

8 AM = 3 AB

AM  = 3/8 AB

Pourriez-vous me dire le terme exacte de cela pour que je puisse le faire moi même de mon côté et vérifier si ce que j'ai fais est correct. Sinon est-ce possible d'utiliser la relation de Chasles pour la deuxième somme vectorielle ?

Merci beaucoup

Thibault

Il me semble que ce qu'il faut faire a été indiqué dans mon troisième post, ou alors je ne comprends pas ce que vous voulez faire.

Mais vous ne pouvez pas espérer ramener le calcul pour trois points au seul calcul de colinéarité  pour 2 comme indiqué par tbc92, 

Il faut d'abord trouver le barycentre pondéré  de A,B ( que j'ai appelé H) et ensuite trouver le barycentre pondéré  de H et C qui sera N. Cette démarche en deux temps repose sur la propriété d’associativité du calcul barycentrique que j'ai indiqué et que je rappelle:

Si H est le barycentre de (A,a) et (B,b) alors le barycentre N de (A,a), (B,b), (C,c) est égal au barycentre de (H,a+b),(C,c). On itère donc le calcul barycentrique indiqué pour 2 points par tbc92 avec un coefficient de pondération du point intermédiaire  obtenu par addition (algébriquement).

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Edité par Sennacherib 6 août 2019 à 15:01:28

Merci pour votre réponse. Je me suis re-concentré sur votre message et j'ai fait des calculs.

Pourriez-vous me dire si cela est correct bien que cela me paraisse convenable.

Voici ce que j'ai fais :

et

Merci beaucoup pour votre aide

Thibault

En 1ère ligne , tu as 2HA -HB=0

Et en 2ème ligne, ça devient : 2(HB-BA)-HB=0

Non. C'est faux. HA n'est pas égal à HB-BA mais à .... 

Je n'ai pas regardé la suite. ... sauf le dessin. Et là encore, il y a une erreur. Dans ton calcul, tu arrives à NH=3/4 HC  Les vecteurs, c'est des flèches ; Si NH = 3/4 HC, la flèche NH doit être dans le même sens que la flèche HC. Et ce n'est pas le cas dans ton dessin.

NH=3/4HC , ce n'est pas facile à visualiser, parce que le point recherché est le point N. C'est donc plus pratique d'écrire HN = ... quelque chose. Ca donne donc : HN = -3/4 HC

Donc pour le dessin : on a nos 2 vecteurs HN et HC. L'origine de nos 2 vecteurs (la lettre de gauche), c'est la même , c'est le point H. Ca aussi, ça aide bien pour ne pas se tromper. La flêche HN a donc pour longueur 3/4 HC.  Mais attention, la fleche HN est dans la direction opposée à la flêche HC. Autrement dit, N est un point en dehors de la feuille de papier, sur la gauche du dessin.

C'est donc plus ou moins 2 fois la même erreur , une erreur sur les signes. Attention.

Bonjour,

Suite a votre message, j’ai continué mon exercice et je pense que maintenant c’est correct.

Voici ce que j’ai fait, dites-moi si c'est bon :

Cependant pour l’autre partie je n’ai pas réussi à résoudre le problème. 

Merci beaucoup

Thibault

Relis ce que tu as fait.

En 4ème ligne, tu retombes sur ce qu'il y avait en 1ère ligne... C'est ce qu'on appelle tourner en rond.  Tu supprimes les lignes 2 3 et 4 , et ça ira mieux.

Bonjour,

Effectivement j’ai eu un moment d’inattention .

J’ai corrigé et j’ai trouvé l’autre calcul.

Je vous met les 2 calculs pour que vous puissiez me dire si c’est correct.

Merci beaucoup pour tout

Thibault

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Edité par (o-o) 11 août 2019 à 16:42:16