Non mais l'addition est commutative. La soustraction n'existe pas.
1 - 2 = 1 + (-2)
On en déduit que x - y + z = x + (-y) + z != x + (-y) + (-z) = x - (y + z), sauf si z = 0.
Faut-il absolument en déduire que la soustraction n'existe pas ?
On peut rendre l'opération <math>\(x-y-z\)</math> commutative :
Si (G,+) est un groupe additif, alors, on peut définir la soustraction suivante :
<math>\(x-y=x+(-y).\)</math>
Donc, en effet, <math>\(x-y\)</math> revient a faire <math>\(x+(-y)\)</math>
Mais la soustraction existe bel et bien et elle demeure anticommutative en elle-même.
Pour que la soustraction existe, il faut définir ce qu'est -x. Dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>, -x est défini comme étant le nombre qui, additionné à x donne l'élément neutre de l'addition.
Il faut donc que ton groupe contienne une définition d'élément neutre et qu'il contienne les opposés de chacun des nombres de l'ensemble.
Il faut donc que ton groupe contienne une définition d'élément neutre et qu'il contienne les opposés de chacun des nombres de l'ensemble.
Sinon, ce ne serait pas un groupe.
R est magique : en l'associant avec les LCI + et x usuelles, avec la LCE . usuelle, ça peut devenir un groupe abélien, un anneau commutatif, un corps commutatif, un R-espace vectoriel de dimension finie égale à 1, une R-algèbre commutative associative de dimension 1, ... Le top !
Mais quand même, il a des limites
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