Bonjour, je suis en seconde et passionné de maths depuis longtemps. Dernièrement je repensais à un problème de probabilités qui m'avait été donné en cinquième. Le problème consistait à trouver la probabilité qu'un kit de survie atterrisse sur une des deux zones A et B en considérant que chaque probabilité était proportionnelle à la surface de zone. Le problème en soi ne me pose plus de problème depuis plusieurs années mais sa réponse me laisse un peu perplexe. En effet on considère que le paquet ne peut atterrir que totalement dans A ou totalement dans B. Mais dans les faits, même si cette probabilité est très faible, si on résume le paquet à un point il est possible qu'il atterrisse pile à l'interface de A et B. Je me demandais par pure curiosité s'il était possible d'avoir une idée de cette probabilité avec une limite par exemple (pas encore tout à fait de mon niveau). J'ai essayé d'approcher la solution en remplaçant l'interface dont je réduirait la surface de plus en plus pour approcher la valeur de la probabilité si c'était une ligne mais se pose alors le problème de l'interface de cette zone avec les deux premières zones a et b...

Bonjour ! Qu'est-ce que tu appelles l'interface ? Les deux zones sont adjacentes et ont une frontière commune, c'est ça ? Dans ce cas, si le paquet est réduit à un point, la probabilité qu'il tombe sur la frontière est nulle (car l'aire de la frontière, c'est-à-dire d'une courbe (ou d'un segment), est nulle).

Bonjour,
Le  problème auquel tu t'intéresses est un aspect élémentaire  qui ouvre la "boîte de Pandore"  d'un problème général à la croisée entre géométrie et probabilité et qui, dans toute sa généralité, est un domaine fort complexe des mathématiques , celui de la géométrie stochastique où la recherche est devenue fort active avec des applications multiples sur des sujets "à la mode", par exemple traitement d'image, réseaux de télécom.,internet,  robotique, science des matériaux, biomédecine !  etc... 

Comme l'indique robun, si tu réduis ton objet à un point, la probabilité cherchée est nulle. Le problème commence à devenir intéressant mais rapidement plus difficile si cet objet ne se réduit pas à un point.

L'idée de l'interférence entre géométrie et probabilité remonte au XVIII ème avec Buffon que on pourrait considérer comme le père de la géométrie stochastique.

Un problème qu'il se posait ( aujourd'hui, un classique des exercices introductifs  élémentaires sur le sujet) est le calcul de la probabilité qu'une aiguille de longueur L tombant aléatoirement sur un parquet  chevauche  la frontière entre des lames  de largeur a. Sans être insurmontable, ce simple problème n'est déjà pas totalement élémentaire selon que L est inférieur ou supérieur à a en particulier.

Tu peux voir ici la façon d'aborder  ce problème https://fr.wikipedia.org/wiki/Aiguille_de_Buffon 

Un autres type de problème assez facilement abordable est par exemple de celui  de la probabilité d'un disque de rayon r tombant sur un carrelage de côté a soit entièrement contenu dans un carreau.

Intuitivement, on se rend compte qu'une généralisation à un objet quelconque chevauchant une courbe quelconque tracée sur une surface de réception va devenir très complexe. Même si on limite la courbe frontière à une simple droite, la forme de l'objet va intervenir   plus que sa surface . Il est clair que pour une surface fixée d'objet , entre un disque   et un objet très allongé de même surface la probabilité va être totalement différente ( on montre que si l'objet est convexe, le périmètre joue un rôle essentiel)

En généralisant encore ce problème, le comportement d’objets aléatoires dans un milieu aux frontières elles-même aléatoires aboutit au vaste domaine de la géométrie stochastique évoquée en introduction. 

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Edité par Sennacherib 19 mai 2019 à 9:02:00

Il y a un cas où les choses se simplifient bien, c'est quand l'objet largué est un disque (ou une sphère , ou un cylindre.... on ne s'intéresse pas à la dimension verticale, uniquement à la surface de base de l'objet), et quand les surfaces A et B sont pas trop compliquées (des cercles, ou des polygones).

Bonjour,

Juste pour compléter avec une notion contre intuitive, si on observe le problème d'un point de vue théorique et non pratique.

Dire qu'un objet ponctuel à une probabilité nulle de tomber à un endroit ne veut pas dire qu'il ne peut pas tomber à cet endroit.
Si on considère le cas d'un objet ponctuel qui tombe a un emplacement aléatoire (uniforme) dans une surface, chaque point de cette surface à une probabilité nulle que l'objet y tombe, pourtant l'objet tombe bien quelque part (et donc sur un point de probabilité nulle).
Donc oui "il est possible qu'il atterrisse pile à l'interface de A et B" car il y a bien des points qui se trouvent exactement à cette interface (si les surfaces sont définies comme des espaces fermés et non ouverts), mais pour autant la probabilité que cela arrive est nulle car il y a infiniment plus de point qui ne sont pas sur cette jonction entre les deux surfaces que de points dans cette jonction (on a un espace continu de dimension 1 contre un espace continu de dimension 2).

Mais comme évoqué, tout cela est purement théorique, l'objet n'est pas ponctuel, la frontière n'est pas de dimension 1, le tirage n'est pas aléatoire uniforme et on pourrait peut être même remettre en cause la continuité de la surface.

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Edité par macaque 19 mai 2019 à 12:14:05

Merci à tous pour vos lumières, effectivement j'avais déjà entendu parlé du problème de l'aiguille et je n'y avais pas pensé en me posant mon problème. Voilà encore tout un sujet sur lequel je vais pouvoir me pencher!!!