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Mis à jour le 28/12/2017

Les opérations

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Après ce petit rappel sur les nombres que nous venons de faire, je vous propose... un autre rappel ! Eh oui, la sixième c'est beaucoup de rappels, il faudra vous y faire. ;)
Mais rassurez-vous, vous allez quand même découvrir de nouvelles choses au milieu de tous ces rappels !

Sujet de ce chapitre : les opérations. Souvenez-vous, à l'école primaire, vous avez découvert 4 types d'opérations :

  • L'addition

  • La soustraction

  • La multiplication

  • La division

Nous allons faire le point sur ces opérations et découvrir quelques particularités bien pratiques, notamment avec la multiplication et la division. C'est parti !!!

Rappels sur les opérations

Voyons voir rapidement en quoi consistent ces 4 opérations. Pour beaucoup, ce sont des choses que vous savez déjà, mais ces rappels ne pourront pas vous faire de mal ! Lisez-les attentivement, car au milieu il est possible que vous découvriez de nouvelles choses !

L'addition

L'addition est la plus simple des opérations, c'est certainement la première que vous avez découverte. :)

Prenons un cas très simple que j'aime bien : les pommes (j'espère que vous aimez les pommes, parce qu'avec moi vous allez en bouffer ! :pirate: ). Si j'ai 3 pommes à ma gauche et 2 pommes à ma droite, cela signifie que j'ai 5 pommes en tout.

Addition

(C'est super simple mais ne rigolez pas trop, les choses peuvent se compliquer vite et il faut rester vigilant ;) )
Donc comme vous l'avez vu, on ajoute les pommes entre elles pour savoir combien on en a en tout. Cela revient à écrire :

$\(3 + 2 = 5\)$

"3 plus 2 égale 5".

C'est comme ça qu'on écrit l'addition en maths. Ca fait un peu plus sérieux que de travailler avec des pommes quand même. ;)

La soustraction

La soustraction, c'est un peu l'inverse de l'addition : au lieu d'ajouter des pommes, on va en retirer. On dit qu'on fait la différence entre deux nombres.

Ainsi, si j'ai 5 pommes et que j'en enlève 3, il en reste... 2, bravo ! :-°

Soustraction

En maths, on écrira la soustraction comme ceci :

$\(5 - 3 = 2\)$

"5 moins 3 égale 2".

La multiplication

L'addition et la soustraction se ressemblent beaucoup. Par contre, la multiplication est assez différente.

Le principe de la multiplication est de répéter un nombre plusieurs fois, comme si on faisait plusieurs additions. Je reprends mes pommes : si j'ai 2 pommes et que je les multiplie 3 fois, j'obtiens 6 pommes.

Multiplication

$\(2 \times 3 = 6\)$

"2 fois 3 égale 6"

On dit qu'on fait un produit (c'est un synonyme de "multiplication").

Cela revient à additionner les 2 pommes 3 fois :

$\(2 + 2 + 2 = 6\)$

La division

La division est l'inverse de la multiplication.

Division sans reste

Reprenons nos 6 pommes : si je veux les découper en groupes de 3 pommes, je dois créer 2 groupes :

Division entière

On dit qu'on fait la division de 6 par 3.

$\(6 \div 3 = 2\)$

"6 divisé par 3 égale 2". Cela veut dire que, quand on a 6 pommes et qu'on veut en faire des groupes de 3, on doit faire 2 groupes.

Division avec reste

Parfois, il est impossible de découper le nombre en plusieurs parts égales. Par exemple, si on a 7 pommes et qu'on souhaite les découper en groupes de 3, comment fait-on ?

$\(7 \div 3 = \text{?}\)$

On ne peut faire que 2 groupes de 3 pommes, mais il va en rester 1 !

Division avec reste

Avec 7 pommes, on peut faire 2 groupes de 3, mais il en reste 1.

$\(7 \div 3 = 2 \text{ (reste 1)}\)$

Essayez maintenant pour vous entraîner de calculer

$\(10 \div 4\)$

. Vous avez 10 pommes, vous voulez faire des groupes de 4 pommes, combien ça vous fait de groupes et combien il vous reste ?

 

Division avec reste

On peut faire 2 groupes de 4 pommes et il en reste 2.

$\(10 \div 4 = 2 \text{ (reste 2)}\)$

Multiplier et diviser par 10, 100, 1000

L'addition et la soustraction sont assez simples en fait. Par contre, on peut faire beaucoup de choses intéressantes avec la multiplication et la division.

Prenons la multiplication. Les calculs sont peut-être un peu difficiles à faire de tête des fois : vous ne pouvez pas calculer de tête

$\(47 \times 217\)$

en moins d'une seconde !
Ou alors si vous y arrivez chapeau, moi j'peux pas :-°

Par contre, certains calculs sont plus simples que d'autres. Il y a des astuces qu'il faut absolument connaître. Tenez, par exemple, vous saviez que multiplier par 10 était vraiment très facile ?

Multiplier par 10 (et par 100, 1000...)

Il n'y a rien de plus simple que de multiplier par 10 : il suffit d'ajouter un zéro à droite du nombre !

Avec des nombres entiers

Prenons le nombre 42 :

42

Si on le multiplie par 10, il suffit d'ajouter un zéro :

420

Ca fait 420 ! On peut donc écrire :

$\(42 \times 10 = 420\)$

Et multiplier par 100 ou 1000 est tout aussi facile ! Par exemple, pour calculer

$\(42 \times 1000\)$

: il suffit d'ajouter autant de zéros qu'il y en a dans 1000. Il faut donc ajouter trois zéros !

42000

Ca fait 42000 ! :)

Avec des nombres décimaux

Faire une multiplication par 10 sur un nombre décimal est à peine plus compliqué. Prenons le nombre 13,25 :

13,25

Pour le multiplier par 10, il suffit de déplacer la virgule d'un cran vers la droite !

132,5

Ca fait 132,5 ! On peut donc écrire :

$\(13,25 \times 10 = 132,5\)$

Maintenant, arriveriez-vous à calculer 13,25 multiplié par 100 ? Il suffit de décaler la virgule de 2 crans vers la droite (car il y a 2 zéros dans "100"). Ca nous donne :

$\(13,25 \times 100 = 1325\)$

Et 13,25 multiplié par 1000 ? Combien ça fait à votre avis ?

On peut pas ! Il n'y a pas assez de chiffres pour décaler la virgule !
... Non, j'ai dit une bêtise ? :euh:

Eh oui vous avez dit une bêtise. :p
On peut toujours multiplier un nombre.

Je vous ai dit dans le chapitre précédent qu'il y a en fait une infinité de zéros après la virgule. On ne les écrit pas car ils sont inutiles, mais même si on ne les voit pas ils sont bien là. Ainsi, 13,25 peut aussi bien s'écrire :

13,2500

On peut rajouter encore plus de zéros si vous voulez, peu importe c'est toujours le même nombre :

13,2500000

Pourquoi est-ce qu'on n'écrivait pas les zéros jusqu'ici s'ils étaient là ?

On ne les écrit pas car ils sont inutiles. Ils sont toujours là, mais on ne s'embête pas à les faire apparaître (sauf si on en a besoin, comme là).

Maintenant que vous "voyez" tous les zéros qu'il y a après la virgule, vous n'aurez aucune difficulté à faire 13,25 multiplié par 1000 !

13250,0000

Ca fait 13250,0000
... Et comme tous ces zéros après la virgule sont inutiles, on peut écrire tout simplement 13250. :)

$\(13,25 \times 1000 = 13250\)$

Allons plus loin : tout à l'heure, quand nous avons fait

$\(42 \times 10\)$

, je vous avais dit de rajouter un zéro à droite. En fait, 42 pourrait aussi s'écrire 42,00000 (souvenez-vous, tous ces zéros tout à droite de la virgule comptent pour du beurre). 42 et 42,00000 sont équivalents, c'est le même nombre.
Du coup, ça revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite. Il suffit d'imaginer que 42 peut aussi s'écrire avec plein de zéros après la virgule.

Diviser par 10 (et par 100, 1000...)

Essayons maintenant la division par 10, 100, 1000 (et plus si affinités :p ). Vous allez voir, ça va aller très vite et ce sera très simple si vous avez bien compris ce qu'on vient de faire avec la multiplication.

En effet, la division c'est... l'inverse ! Il suffit de décaler la virgule vers la gauche.

Avec un nombre décimal

Prenons le nombre 13,4 :

13,4

Si on le divise par 10, on déplace la virgule d'un cran vers la gauche, ce qui nous fait :

1,34

$\(13,4 \div 10 = 1,34\)$

... Et si on divisait par 100 maintenant ? Pour cela, il faut savoir qu'il y a en fait aussi... plein de zéros invisibles à gauche de tous les nombres. 13,4 pourrait donc aussi s'écrire :

00013,4

Eh oui, 13,4 et 00013,4 c'est exactement pareil, c'est le même nombre ! En général, on n'écrit pas les zéros à gauche (parce que ça sert à rien :-° ) mais ils sont bien toujours là, masqués, tapis dans l'ombre ! :ninja:

On peut donc maintenant facilement faire une division par 100 et décaler la virgule de 2 crans vers la gauche :

000,134

$\(13,4 \div 100 = 0,134\)$

Et par 1000 :

00,0134

$\(13,4 \div 100 = 0,0134\)$

Avec un nombre entier

Reprenons le nombre 42 que nous avons vu tout à l'heure :

42

Si on essayait de le diviser par 10, 100 ou 1000 ?

On peut pas ! Il n'y a pas de virgule à décaler dans 42 ! :o

Rahlala vous commencez à m'embêter à dire que c'est pas possible ! :pirate:

Qu'est-ce que je vous ai dit ? Il y a toujours des zéros à gauche et à droite du nombre. Même la virgule est là, à droite du nombre entier, mais d'habitude on ne l'écrit pas car elle ne sert à rien. 42 pourrait donc aussi s'écrire :

000042,0000

Maintenant que vous voyez la virgule et tous ces zéros, vous n'aurez aucune difficulté à faire ces opérations :

$\(42 \div 10 = 4,2\)$

$\(42 \div 100 = 0,42\)$

$\(42 \div 1000 = 0,042\)$

Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10 !

Il y a un "truc" à savoir : on peut facilement faire une multiplication par 0,1 (et par 0,01 ; 0,001 ; 0,0001...).
En fait, multiplier par 0,1 revient... à faire une division par 10 ! Vous avez seulement besoin de savoir que ces opérations sont équivalentes.

Pourquoi est-ce que c'est la même chose ? Je ne vois pas comment ça se fait : quand on multiplie un nombre par un autre, on obtient toujours un nombre plus grand !

C'est vrai qu'en général, avec la multiplication, vous avez eu l'habitude de faire "grossir" les nombres. Ainsi,

$\(829 \times 21\)$

donne un nombre beaucoup plus grand (17409 pour être précis).

Mais une multiplication par un nombre compris entre 0 et 1 revient à faire réduire le nombre, c'est équivalent à une division. Par exemple, multiplier par 0,5 permet d'obtenir la moitié.

$\(42 \times 0,5 = 21\)$

! C'est exactement comme une division par 2 :

$\(42 \div 2 = 21\)$

Oulahlah c'est compliqué, j'ai besoin de comprendre tout ça moi ? :euh:

Non rassurez-vous, vous aurez le temps de bien comprendre comment tout ça fonctionne plus tard, notamment lorsque vous serez à l'aise avec les fractions. Pour le moment, je vous demande juste de retenir que :

  • Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10

  • Multiplier par 0,01 revient à diviser par 100

  • Multiplier par 0,001 revient à diviser par 1000

  • Multiplier par 0,0001 revient à diviser par 10000

  • etc.

On peut donc facilement faire les calculs suivants :

$\(792 \times 0,1 = 79,2\)$

$\(91 \times 0,001 = 0,091\)$

$\(4,8 \times 0,01 = 0,048\)$

Retenez bien comment fonctionnent ces multiplications, vous en aurez besoin ! Il suffit simplement de faire la division correspondante. :)

Les multiples et diviseurs

Petits rappels sur les multiples

Si je vous dis "multiple", vous vous souvenez ce que c'est ? Vous avez dû apprendre ça plus tôt à l'école. ;)

Par exemple, 12 est un multiple de 4, car on peut multiplier 4 par un nombre pour retrouver 12 ( $\(4 \times 3 = 12\)$ ). Prenons quelques autres exemples :

  • 15 est un multiple de 5 (car  $\(5 \times 3 = 15\)$

  • 18 est un multiple de 3 (car  $\(3 \times 6 = 18\)$

  • 16 est un multiple de 4 (car  $\(4 \times 4 = 16\)$

J'espère que vous connaissez bien vos tables de multiplication car maintenant ça devient indispensable. :p

Bien sûr, il y a plein de cas où ce n'est pas vrai, où le nombre n'est pas un multiple. Par exemple :

  • 14 n'est pas un multiple de 5.

    $\(5 \times 2 = 10\)$ et  $\(5 \times 3 = 15\)$ 

    Mais aucune multiplication de 5 par un autre nombre ne permet de tomber sur 14 !

  • 10 n'est pas un multiple de 3.

    $\(3 \times 3 = 9\)$ et  $\(3 \times 4 = 12\)$ 

    Mais vous pouvez toujours courir pour trouver un autre nombre qui fasse 10 si on le multiplie par 3 !

  • 5 n'est pas un multiple de 2.

    $\(2 \times 2 = 4\)$ et  $\(2 \times 3 = 6\)$ 

    Mais ça ne fait jamais 5.

Les diviseurs

Les diviseurs sont un peu l'inverse des multiples. Un diviseur est un nombre qui peut en diviser un autre.

3 est un diviseur de 6, car on peut découper 6 en parts de 3 (ça fait 2 parts de 3).

$\(6 \div 3 = 2\)$

Essayons avec d'autres nombres :

  • 4 est un diviseur de 20, car

    $\(20 \div 4 = 5\)$

  • 6 est un diviseur de 24, car

    $\(24 \div 6 = 4\)$

  • Par contre, 2 n'est pas diviseur de 5. Vous ne pouvez pas découper 5 en parts de 2, car il y a un reste (il reste 1).

Reconnaître les diviseurs nécessite là aussi de bien connaître ses tables de multiplications. En effet, quand on me demande "Est-ce que 4 est un diviseur de 20 ?", j'essaie de faire les multiplications dans ma tête :

$\(4 \times 3 = 12\)$

$\(4 \times 4 = 16\)$

$\(4 \times 5 = 20\)$

Bingo !

Par contre si on me demande si 2 est un diviseur de 5 :

$\(2 \times 1 = 2\)$

$\(2 \times 2 = 4\)$

$\(2 \times 3 = 6\)$ 

... Ah ben zut, j'ai dépassé 5. Ca veut dire que 2 n'est pas un diviseur de 5.

Il y a plusieurs astuces à connaître pour savoir si un nombre est divisible par un autre. Par exemple, je peux vous annoncer là comme ça sans réfléchir que 133 n'est pas divisible par 5 !

Ouah ! Comment tu fais ? :o

 

Hé hé, vous croyez que je vais vous le dire... :soleil:

... bon d'accord, mais c'est bien parce que c'est vous. :p

Divisibilités "faciles" : par 2, 5 et 10

On peut facilement reconnaître si un nombre est divisible par 2, par 5 ou par 10. Il faut juste connaître quelques "trucs", et ces trucs vous seront vraiment utiles par la suite donc retenez-les bien !

Divisibilité par 2

Il est très facile de savoir si un nombre est divisible par 2 : il faut qu'il soit pair. En effet, quand on fait des multiplications par 2, le nombre qui en ressort est toujours pair.

Allez, je vous fais une petite série de multiplications par 2 pour vous convaincre :

$\(2 \times 1 = 2\)$

$\(2 \times 2 = 4\)$

$\(2 \times 3 = 6\)$

$\(2 \times 4 = 8\)$

$\(2 \times 5 = 10\)$

$\(2 \times 6 = 12\)$

$\(2 \times 7 = 14\)$

Observez les nombres qui ressortent de la multiplication : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14... Ce sont tous des nombres pairs ! Le dernier chiffre, tout à droite, est soit 0, soit 2, soit 4, soit 6, soit 8.

Grâce à ça, vous pouvez facilement dire en une fraction de seconde si n'importe quel nombre est divisible par 2 ! Par exemple, prenez le nombre 2849108 : il est divisible par 2 car il est pair (son dernier chiffre est 8) ! :)

Quelques exemples :

  • 41894 est divisible par 2 (car il est pair, il finit par le chiffre 4)

  • 9923 n'est pas divisible par 2 (il est impair, il finit par le chiffre 3)

  • 90197 n'est pas divisible par 2 (il est impair, il finit par le chiffre 7)

  • 21332 est divisible par 2 (il est pair, il finit par le chiffre 2)

Facile, non ? :)

Divisibilité par 5

La divisibilité par 5 est très facile à reconnaître : le nombre doit se terminer par le chiffre 5 ou le chiffre 0 !

Regardez la table de multiplication de 5 :

$\(5 \times 1 = 5\)$

$\(5 \times 2 = 10\)$

$\(5 \times 3 = 15\)$

$\(5 \times 4 = 20\)$

$\(5 \times 5 = 25\)$

$\(5 \times 6 = 30\)$

$\(5 \times 7 = 35\)$

Comme vous pouvez le voir, ces nombres (5, 10, 15, 20...) qui sont des multiples de 5 se terminent tous par 5 ou 0. Pour savoir si un nombre est divisible par 5, il suffit donc de vérifier si son dernier chiffre est un 5 ou un 0 !

  • 175 est divisible par 5, car son dernier chiffre est un 5

  • 2780 est divisible par 5, car son dernier chiffre est un 0

  • 67 n'est pas divisible par 5, car son dernier chiffre n'est ni 0 ni 5

  • 715 est divisible par 5, car son dernier chiffre est un 5

Divisibilité par 10

Il n'y a rien de plus facile que de savoir si un nombre est divisible par 10 ! Il suffit tout simplement que ce nombre se termine par un 0.

En effet, tous les multiples de 10 finissent par un 0 :

$\(10 \times 1 = 10\)$

$\(10 \times 2 = 20\)$

$\(10 \times 3 = 30\)$

$\(10 \times 4 = 40\)$

$\(10 \times 5 = 50\)$

$\(10 \times 6 = 60\)$

$\(10 \times 7 = 70\)$

Donc le nombre 40 est divisible par 10 car il se termine par un 0.

On peut voir quelques exemples si vous voulez :

  • 270 est divisible par 10 car il se termine par un 0

  • 800 est divisible par 10 car il se termine par un 0

  • 641 n'est pas divisible par 10 car il ne se termine pas par un 0

  • 890 est divisible par 10 car il se termine par un 0

Divisibilité plus complexes : par 3, 4 et 9

Pour savoir si un nombre est divisible par 3, 4 ou 9, il faut un peu plus réfléchir... Mais ce n'est pas très compliqué non plus !

Divisibilité par 3

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Quoi ???

Je m'explique avec un exemple. Prenez le nombre 642. Comme vous le savez, il est composé de trois chiffres : 6, 4 et 2. Faites l'addition de ces chiffres :

$\(6 + 4 + 2 = 12\)$

Est-ce que 12 est divisible par 3 ? Oui ! Car

$\(12 \div 3 = 4\)$

Cette technique est surprenante mais elle marche à tous les coups ! Essayons sur quelques exemples :

  • 3636 est divisible par 3, car la somme de ses chiffres ( $\(3 + 6 + 3 + 6 = 18\)$ ) est divisible par 3. En effet, 18 est divisible par 3.

  • 47 n'est pas divisible par 3, car la somme de ses chiffres ( $\(4 + 7 = 11\)$ ) n'est pas divisible par 3. En effet, 11 n'est pas divisible par 3.

  • 223 n'est pas divisible par 3, car la somme de ses chiffres ( $\(2 + 2 + 3 = 7\)$ ) n'est pas divisible par 3. En effet, 7 n'est pas divisible par 3.

  • 444 est divisible par 3, car la somme de ses chiffres ( $\(4 + 4 + 4 = 12\)$ ) est divisible par 3. En effet, 12 est divisible par 3.

Divisibilité par 4

Pour savoir si un nombre est divisible par 4, il y a une autre astuce. Il faut prendre ses deux derniers chiffres (à droite) et voir si ce nombre est divisible par 4.
Prenons par exemple le nombre 7312 :

7312

Si on analyse ses deux derniers chiffres (en rouge), on voit que ça donne le nombre 12. Est-ce que 12 est divisible par 4 ? Oui, car

$\(12 \div 4 = 3\)$

! Donc 7312 est divisible par 4 !

  • 420 est divisible par 4, car ses deux deniers chiffres (20) forment un nombre divisible par 4. En effet, 20 est divisible par 4, donc 420 est divisible par 4.

  • 4702 n'est pas divisible par 4, car ses deux deniers chiffres (02) forment un nombre qui n'est pas divisible par 4. En effet, 2 n'est pas divisible par 4.

  • 325 n'est pas divisible par 4, car ses deux deniers chiffres (25) forment un nombre qui n'est pas divisible par 4. En effet, 25 n'est pas divisible par 4.

  • 340 est divisible par 4, car ses deux deniers chiffres (40) forment un nombre divisible par 4. En effet, 40 est divisible par 4, donc 340 est divisible par 4.

Divisibilité par 9

Enfin, la divisibilité par 9 fonctionne comme la divisibilité par 3 : il suffit d'additionner tous les chiffres pour vérifier si leur somme est divisible par 9 !

  • 333 est divisible par 9, car la somme de ses chiffres ( $\(3 + 3 + 3 = 9\)$ ) est divisible par 9. En effet, 9 est divisible par 9.

  • 879 n'est pas divisible par 9, car la somme de ses chiffres ( $\(8 + 7 + 9 = 24\)$ ) n'est pas divisible par 9. En effet, 24 n'est pas divisible par 9.

  • 5547 n'est pas divisible par 9, car la somme de ses chiffres ( $\(5 + 5 + 4 + 7 = 21\)$ ) n'est pas divisible par 9. En effet, 21 n'est pas divisible par 9.

  • 1980 est divisible par 9, car la somme de ses chiffres ( $\(1 + 9 + 8 + 0 = 18\)$ ) est divisible par 9. En effet, 18 est divisible par 9.

Pfiou ! Nous avons fait un bon rappel sur les opérations et appris quelques "trucs" pour savoir multiplier et diviser par 10, 100, 1000...
Nous avons aussi découvert comment savoir si un nombre était divisible par un autre. Retenez bien tous ces trucs, ça n'a l'air de servir de rien mais ça vous permettra d'être beaucoup plus efficaces dans vos calculs après ! ;)

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite