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Mis à jour le 28/12/2017

Les fractions (introduction)

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Ah, les fractions ! :D
Si on m'avait dit dès le début à quel point elles étaient importantes pour la suite, j'aurais peut-être été plus attentif lorsqu'on me les a expliquées la première fois en cours. :p

Une fraction ressemble à ceci :

$\(\frac{5}{2}\)$

Deux nombres empilés les uns sur les autres. ;)
Si vous n'avez jamais vu de fraction et que vous ne savez pas ce que c'est, pas de panique : ici, nous allons vraiment découvrir toutes les bases des fractions !

Introduction : fractions et parts de gâteaux

Vous savez peut-être déjà que les fractions représentent des parts de quelque chose. On a tendance à utiliser comme exemple un gâteau (miam !) que l'on découpe en plusieurs parts :

Gâteau

Parce que je ne suis pas très bon en dessin (et c'est rien de le dire :-° ), je vous propose à partir d'ici de représenter le gâteau avec ce schéma :

Gâteau en schéma

La totalité du gâteau correspond au nombre 1. On a donc 1 gâteau sous les yeux.

Découpons le gâteau

Si on découpe le gâteau en 2 :

Gâteau coupé en 2

Chaque part du gâteau représente $\(\frac{1}{2}\)$, c'est-à-dire une moitié. On dit aussi "un demi".

Si je le découpe en 3 :

Gâteau coupé en 3

Chaque part représente $\(\frac{1}{3}\)$ ("un tiers") du gâteau.

Et ainsi de suite. Les fractions nous permettent ainsi de représenter des parts.

Bien entendu, le gâteau peut très bien être carré. :-°

Gâteau coupé en 9

Ici, vous avez un gâteau coupé en 9. La part coloriée représente... $\(\frac{1}{9}\)$ du gâteau, bravo !

Plus de parts, je veux plus de parts !

Si vous prenez toutes les parts du gâteau, qu'est-ce que ça donne ?

Gâteau total

Vous avez $\(\frac{9}{9}\)$ du gâteau ! Cela correspond à la totalité du gâteau.

D'ailleurs $\(\frac{9}{9}\)$ correspond au nombre 1. On peut écrire $\(\frac{9}{9} = 1\)$

Imaginons qu'il y ait un second gâteau à côté. En plus de manger le premier gâteau en entier, vous prenez une petite part ($\(\frac{1}{9}\)$) d'un second gâteau. Combien de parts avez-vous mangé ?

Gâteau total + une autre part

... Vous avez mangé $\(\frac{10}{9}\)$ ("dix neuvièmes") de gâteau ! Vous avez $\(\frac{9}{9}\)$ d'un côté et une petite part ($\(\frac{1}{9}\)$) de l'autre, ce qui fait en tout $\(\frac{10}{9}\)$ !

Allez, assez mangé de gâteau, l'heure du goûter est terminée, passons maintenant aux choses sérieuses. :pirate:
Nous allons décortiquer des fractions et comprendre à quoi elle correspondent vraiment.

Les fractions sont des nombres

Qu'est-ce que c'est, une fraction ? Il y a plein de façons de vous présenter les fractions, car elles sont beaucoup utilisées en maths. Moi, je vous propose tout simplement de commencer par en regarder une :

$\(\frac{5}{2}\)$

Voilà votre première fraction. :)
On peut la lire "5 demis" ou bien "5 sur 2".

Une fraction est un nombre. Oui oui, ce que vous voyez là représente un nombre.

Quoi ? Moi je vois deux nombres : 5 et 2 !

Oui, mais vous avez remarqué qu'ils sont écrits d'une façon un peu bizarre non ? Le 5 est au-dessus du 2, séparé par une barre.

Vocabulaire : numérateur et dénominateur

Pour construire une fraction, on a besoin de deux éléments :

  • Le numérateur, que l'on place au-dessus de la barre

  • Le dénominateur, que l'on place en-dessous de la barre

$\(\frac{\text{numerateur}}{\text{denominateur}}\)$

Dans le cas de $\(\frac{5}{2}\)$ :

  • 5 est le numérateur

  • 2 est le dénominateur

Je vous conseille de bien retenir ces mots de vocabulaire, vous allez en avoir besoin ! N'hésitez pas à relire ce passage au besoin si vous avez oublié lequel est le numérateur et lequel est le dénominateur.

Mais au fait, qu'est-ce qu'elle veut dire, cette barre ?

Une fraction est une division

La barre que vous voyez au milieu est en fait une sorte de signe "divisé par". $\(\frac{5}{2}\)$, c'est en fait "5 divisé par 2". C'est comme si on écrivait $\(5 \div 2\)$.

Alors, une fraction c'est une opération en fait ?

Oui, on peut le voir comme ça. Mais surtout, comme je vous le disais un peu plus tôt : une fraction, c'est un nombre. $\(\frac{5}{2}\)$ représente un nombre.
Ce nombre, c'est le résultat de la division. $\(\frac{5}{2}\)$ est le résultat de 5 divisé par 2.

Donc, si je calcule $\(5 \div 2\)$ à la calculatrice... Attends je calcule... Ca fait 2,5 ! Donc, $\(\frac{5}{2}\)$ c'est en fait le nombre 2,5 non ?

Oui, tout à fait, vous avez compris ! :D
Si vous calculez la fraction (il suffit de faire la division à la calculatrice par exemple), vous obtenez le nombre que la fraction représente.

On peut donc écrire :

$\(\frac{5}{2} = 2,5\)$

Un autre exemple

Essayons avec une autre fraction :

$\(\frac{10}{5}\)$

Cette fraction se lit "10 cinquièmes" ou bien "10 sur 5" (le plus simple en général, c'est de dire "10 sur 5").

Cette fraction représente un nombre elle aussi. Pouvez-vous deviner lequel ?
...
Non, ne sortez pas la calculatrice pour une division aussi simple voyons ! :p Vous devriez savoir que $\(10 \div 5 = 2\)$.

On peut donc écrire :

$\(\frac{10}{5} = 2\)$

Pourquoi les fractions sont utiles : valeur exacte et valeur approchée

A quoi ça sert ? Je ne vois pas l'intérêt des fractions ! Pourquoi s'embêter à écrire $\(\frac{10}{5}\)$ au lieu de 2 tout simplement ?

Dans des cas comme $\(\frac{10}{5}\)$ il est plus simple d'écrire 2, c'est vrai. ;)
En général, quand la fraction correspond à un nombre entier (sans virgule) on ne s'embête pas avec la fraction : on la remplace par le nombre (ici 2).

Par contre, il y a d'autres fractions plus délicates. Tenez, par exemple, $\(\frac{5}{3}\)$. Pourriez-vous me dire quel nombre ça représente ?
Prenez la calculatrice, et allez-y, calculez ! Vous allez voir que c'est un nombre décimal avec beauuuuucoup de chiffres après la virgule. La calculatrice devrait vous donner quelque chose comme $\(1,66666666666666\)$... En fait, elle est obligée de "couper" au bout d'un certain nombre de chiffres après la virgule car ce serait trop long de tous les écrire : il y en a une infinité.

Il existe des nombres qu'on ne peut pas écrire à la main car ils sont trop longs, trop compliqués. C'est le cas justement de $\(\frac{5}{3}\)$, et c'est pour ça qu'on préfère les écrire sous forme de fractions ! Avouez qu'il est plus simple d'écrire $\(\frac{5}{3}\)$ plutôt que $\(1,66666666666666\)$ !

  • $\(\frac{5}{3}\)$ est une valeur exacte : cette fraction représente parfaitement le nombre $\(1,66666666666666\)$ qu'on a vu, sans qu'il soit nécessaire d'écrire une infinité de "6".

  • $\(1,66666666666666\)$, en revanche, est une valeur approchée parce que ce n'est pas exactement le nombre. Pour être exact, il faudrait écrire une infinité de 6 ! On préfère utiliser la fraction qui représente ce nombre de façon plus... courte à écrire. :D

En mathématiques, on utilise le signe $\(\approx\)$ (qui signifie "est approximativement égal à") pour écrire : $\(\frac{5}{3} \approx 1,66666666666666\)$

Placer une fraction sur une droite

Il y a plusieurs façons de situer un nombre sur une droite. J'ai l'habitude de leur donner des noms pour les reconnaître :

  • Le calcul exact de la division

  • Le découpage par le dénominateur :pirate:

  • La séparation des éléments de la fraction

On vous demandera souvent de savoir placer une fraction sur une droite. Je vais donc vous présenter toutes ces techniques à connaître pour savoir placer une fraction ! Elles sont toutes valables, mais certaines seront plus faciles que d'autres à utiliser selon les cas.

Le calcul exact de la division

C'est la technique la plus facile, mais elle ne fonctionne bien que lorsque la division tombe juste. Si la fraction correspond à un nombre avec une infinité de chiffres après la virgules (comme $\(1,66666666666666\)$), il vaudra mieux utiliser une des deux autres techniques que je vous expliquerai plus loin.

Prenons une fraction simple comme $\(\frac{5}{2}\)$. On sait que $\(\frac{5}{2} = 5 \div 2 = 2,5\)$. On peut donc placer la fraction $\(\frac{5}{2}\)$ à l'endroit où se trouve le nombre $\(2,5\)$ :

5/2

Facile, non ? :)

Comme on a calculé la valeur exacte de la fraction, il a été facile de trouver où placer $\(\frac{5}{2}\)$. Le nombre 2,5 se trouve en effet à mi-chemin entre 2 et 3.

Le découpage par le dénominateur

La technique du calcul de la division qu'on vient de voir est probablement la plus facile. Mais parfois, la division ne tombe pas juste et il est préférable d'utiliser une autre technique.

Celle que j'appelle du "découpage" n'est pas bien compliquée. Prenons une fraction qui ne correspond pas à un nombre exact : $\(\frac{4}{3}\)$ (qui correspond en fait au nombre 1,333333333333333 avec une infinité de 3 !). Voici les étapes que je vous propose de suivre pour trouver où placer la fraction :

  1. On repère le nombre du numérateur sur la droite (ici 4).

  2. On le découpe en autant de parties que le dénominateur (ici 3).

  3. On place la fraction au niveau de la première découpe (la plus à gauche sur la fraction).

Essayons d'appliquer cette technique pour placer la fraction $\(\frac{4}{3}\)$. :)

Etape 1 : placer le numérateur
Découpage, étape 1

On place le numérateur de $\(\frac{4}{3}\)$ (c'est 4) sur une droite

Etape 2 : découper en plusieurs parties
Découpage, étape 2

On découpe en autant de parties que le dénominateur de $\(\frac{4}{3}\)$ (ici 3) et on place des marqueurs

Etape 3 : on place la fraction sur la première marque de découpe !
Découpage, étape 3

La fraction $\(\frac{4}{3}\)$ se trouve au niveau du premier marqueur !

La séparation des éléments de la fraction

Il existe une autre technique pour savoir où placer une fraction sur une droite. Reprenons notre fraction $\(\frac{4}{3}\)$ (que l'on peut prononcer "4 tiers") : c'est "4 fois un tiers".

Notre fraction peut donc se découper comme ceci :

$\(\frac{4}{3} = 4 \times \frac{1}{3}\)$

On a deux éléments : une fraction plus simple ($\(\frac{1}{3}\)$) et un facteur multiplicateur (4).

Sachant cela, on peut utiliser cette technique pour placer la fraction sur une droite :

  1. Placer la fraction ($\(\frac{1}{3}\)$) sur la droite

  2. Multiplier par 4 (faire "4 sauts de 1 tiers") pour trouver la position de $\(\frac{4}{3}\)$

Etape 1 : placer la fraction
Séparation, étape 1

On place la fraction "simple" $\(\frac{1}{3}\)$

Etape 2 : multiplier la fraction
Séparation, étape 2

On la multiplie par 4 pour trouver $\(\frac{4}{3}\)$

Fractions et multiplications

On peut faire toutes sortes d'opérations avec les fractions. Ici, nous allons découvrir comment multiplier une fraction avec un autre nombre. :)

Multiplier une fraction avec un nombre

Si on essayait de multiplier une fraction avec un nombre ? Après tout, une fraction est un nombre comme je vous l'ai dit, donc ça revient à multiplier deux nombres entre eux !

Essayons de multiplier $\(\frac{5}{2}\)$ par $\(3\)$ :

$\(\frac{5}{2} \times 3\)$

Comment calculeriez-vous cela ? :)

Ce n'est pas difficile en fait : il faut multiplier avec le numérateur (le nombre en haut de la fraction !). On peut faire "monter" le 3 sur la fraction, comme ceci :

$\(\frac{5 \times 3}{2}\)$

Il est facile ensuite de calculer $\(5 \times 3 = 15\)$ et d'obtenir le résultat. Voici donc les étapes du calcul à retenir :

$\(\frac{5}{2} \times 3 = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2}\)$Pour multiplier la fraction par un nombre, on peut faire "monter" ce nombre sur la fraction et calculer l'opération

Cela fait donc $\(\frac{15}{2}\)$ !

Multiplier une fraction par un nombre égal au dénominateur

C'est un cas un peu particulier. Nous venons de faire le calcul $\(\frac{5}{2} \times 3\)$, mais imaginons qu'au lieu de multiplier par 3 on multiplie par 2... Eh bien je peux écrire sans même réfléchir ni calculer, que :

$\(\frac{5}{2} \times 2 = 5\)$

En effet, si on multiplie une fraction par un nombre égal au dénominateur (le nombre en bas), alors le résultat correspond au numérateur, le nombre en haut de la fraction !

C'est une astuce qui permet de calculer super rapidement la multiplication. Voici d'autres exemples sur le même principe :

$\(\frac{7}{\color{red}3} \times \color{red}3\color{black} = 7\)$

$\(\frac{17}{\color{red}5} \times \color{red}5\color{black} = 17\)$

$\(\frac{3}{\color{red}10} \times \color{red}10\color{black} = 3\)$

Vous voyez, le calcul est super rapide à faire ! Si on multiplie la fraction par le dénominateur, on trouve très vite le résultat !

Et ça marche même si les nombres ont l'air très grands !
$\(\frac{73641}{2378} \times 2378 = 73641\)$
... Et ça vous pouvez le calculer sans avoir besoin de calculatrice grâce à cette astuce. ;)

Bien entendu, cela ne fonctionne pas si c'est un autre nombre. Dans ce cas, il faut effectuer la multiplication comme je vous l'ai montré plus tôt :

$\(\frac{7}{3} \times 8 = \frac{7 \times 8}{3} = \frac{56}{3}\)$

Des fractions "différentes" peuvent être égales !

Regardez bien ces deux fractions :

$\(\frac{6}{4}\)$ et $\(\frac{12}{8}\)$

A priori, tout les oppose, ce ne sont pas les mêmes fractions. En effet, leurs numérateurs et dénominateurs sont différents.

... Et pourtant, si je vous disais que ces fractions correspondent au même nombre ? Que ces fractions sont en fait égales ?

Deux fractions différentes... égales ?

Quoi ? Ces deux fractions sont égales ? On dirait pas !
Prouve-le moi. :o

Ok ok. Comment je pourrais vous prouver que c'est le même nombre... Ah je sais !
Comme je vous l'ai dit, on peut voir les fractions comme des divisions. Si on essayait de calculer le nombre qui se cache derrière ces deux fractions ?

$\(\frac{6}{4} = 6 \div 4 = 1,5\)$

$\(\frac{12}{8} = 12 \div 8 = 1,5\)$

Ces deux fractions valent toutes les deux 1,5 ! Donc ces fractions sont égales, et on peut écrire :

$\(\frac{6}{4} = \frac{12}{8}\)$

D'accord d'accord, c'est le même nombre qui se cache derrière ces deux fractions. Mais comment tu fais pour savoir aussi facilement que les fractions sont égales ? Je ne vais quand même pas calculer la division à chaque fois !

Oh, c'est en fait assez facile à voir, pas besoin de baguette magique. :magicien:

Comparez les numérateurs et les dénominateurs entre eux :

  • 6 et 12

  • 4 et 8

Vous ne voyez rien de spécial ? Eh oui :

  • 12 est un multiple de 6

  • 8 est un multiple de 4

Il suffit de multiplier par 2 !

Fractions égales

Comme les numérateurs et dénominateurs sont tous les deux des multiples, on peut dire que les fractions sont égales !

Retenez donc : si vous multipliez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, vous obtenez une fraction égale !

D'autres exemples

Maintenant, essayons de regarder ensemble quelques autres exemples pour être sûr que vous avez bien compris le principe. :)

  • $\(\frac{8}{3}\)$ et $\(\frac{16}{6}\)$ : oui, ces fractions sont égales. Là encore, c'est facile : vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur par 2 pour retrouver la seconde fraction. $\(8 \times 2 = 16\)$ et $\(3 \times 2 = 6\)$. On a donc $\(\frac{8}{3} = \frac{16}{6}\)$

  • $\(\frac{8}{3}\)$ et $\(\frac{32}{12}\)$ : oui, ces fractions sont égales. Au lieu de multiplier les numérateurs et dénominateurs par 2, il faut cette fois les multiplier par 4 pour retrouver l'autre fraction. $\(8 \times 4 = 32\)$ et $\(3 \times 4 = 12\)$. On a donc $\(\frac{8}{3} = \frac{32}{12}\)$. Comme quoi ça sert de connaître ses tables de multiplication !

  • $\(\frac{7}{5}\)$ et $\(\frac{3}{11}\)$ : non, ces fractions ne sont pas égales. Il est impossible de trouver un même nombre pour multiplier le numérateur et le dénominateur de ces deux fractions. 7 n'est pas un multiple de 3, et 11 n'est pas un multiple de 5. Inutile de chercher plus loin, les fractions ne sont pas égales. $\(\frac{7}{5} \neq \frac{3}{11}\)$

  • $\(\frac{7}{5}\)$ et $\(\frac{21}{10}\)$ : non, ces fractions ne sont pas égales. Pourquoi ? Regardez les numérateurs : 7 et 21. Pour trouver 21 à partir de 7, il faut multiplier par 3 ($\(7 \times 3 = 21\)$). Il y a donc une multiplication par 3 entre les numérateurs... oui mais ce n'est pas suffisant ! Il faut aussi qu'il y ait une multiplication par 3 entre les dénominateurs ! Or, $\(5 \times 3 = 15\)$, et non 10. Comme on ne peut pas multiplier le dénominateur par le même facteur de 3, les fractions ne sont pas égales. $\(\frac{7}{5} \neq \frac{21}{10}\)$

Le dernier exemple était piégeur, ne vous laissez pas avoir ! Il faut pouvoir multiplier par le même nombre (on dit aussi le même facteur) en haut et en bas. Si le facteur est différent, alors les fractions ne sont pas égales. Point barre. ;)

Fractions différentes

Alors, vous commencez à vous faire aux fractions ?
Tant mieux ! Parce que vous avez pas fini d'en voir ! :D

Cette année, nous ne ferons pas beaucoup plus de choses avec les fractions, mais vous apprendrez à les manipuler plus en détail plus tard dans votre scolarité. Vous n'imaginez pas tout ce qu'on peut faire avec des fractions, c'est fou ! :lol:

Exemple de certificat de réussite
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