• Facile

Mis à jour le 28/12/2017

Interro surprise : décimaux, fractions et ordres

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"Rangez les cahiers, sortez les stylos, je ne veux voir que votre trousse sur votre table !"

Ah ah ! La pression monte, coup de stress, l'heure fatidique arrive : c'est l'heure de l'interro surprise ! :diable:

Bon, ici sur le Site du Zéro ce n'est pas vraiment une surprise, il n'y a pas de prof pour vérifier que vous ne trichez pas en relisant les chapitres précédents, et en plus vous avez tout le temps que vous voulez pour réaliser cette interro.
Cerise sur le gâteau, je serai là pour vous guider et vous expliquer pas à pas comment résoudre le devoir que je vais vous donner.

Comme ça, quand vous aurez vraiment une interro en salle, vous serez parés et vous pourrez dire : "Même pas peur d'une petite interro de rien du tout, à nous deux !" :pirate:

Pour cette interro de niveau sixième, nous allons utiliser des connaissances que vous avez découvertes dans les chapitres précédents :

  • Les nombres décimaux

  • Les fractions

  • L'ordre des nombres

Bien sûr, on voit d'autres choses en sixième : les multiples, la géométrie, etc. Je compléterai cette interro par la suite, mais pour le moment ça nous fait déjà du travail ! :)

Transformation en décimal

Avant de voir la correction ensemble, je vous invite bien sûr à essayer de résoudre ces exercices. Ils ne sont pas très difficiles, et même si vous ne parvenez pas tous à les résoudre, ce sera déjà une bonne chose que vous arriviez à en faire quelques-uns ! :)

Je vais vous expliquer comment il faut les lire, comment il faut les comprendre et comment je m'y prends pour trouver la réponse. Suivez-moi ! ^^

Enoncé

Ecrire sous forme d'un nombre décimal :

  1. $7+\frac{4}{10}+\frac{9}{100}$

  2. $\frac{3}{10}+\frac{69}{100}+\frac{28}{1000}$

  3. $17+\frac{4}{100}+\frac{8}{1000}$

Solution

Cet exercice nous demande de transformer une opération en nombre décimal. Comme vous le voyez, il y a des fractions. On va commencer par transformer ces fractions en nombre décimaux, c'est assez simple. Ensuite, on calculera l'addition pour trouver le nombre décimal qu'on nous demande !

Question A

$7+\frac{4}{10}+\frac{9}{100}$

Commençons par la fraction $\frac{4}{10}$ : c'est en fait $4 \div 10$. On a appris a diviser par 10 dans un des chapitres précédents : il faut décaler la virgule vers la gauche !

Oui mais il n'y a pas de virgule dans 4 !?

Si si, rappelez-vous : la virgule est là, invisible, de même que des zéros se cachent à droite et à gauche du nombre.

00004,0000

Pour diviser par 10 on décale d'un cran vers la gauche, ce qui nous donne :

0000,40000

On peut donc écrire $\frac{4}{10} = 0,4$

Faisons de même avec $\frac{9}{100}$. On décale la virgule de 2 crans vers la gauche, ça nous donne 0,09 !

Remplaçons maintenant les fractions dans la question par les nombres décimaux qu'on a trouvés :

$7+\frac{4}{10}+\frac{9}{100} = 7 + 0,4 + 0,09$

Il n'y a plus qu'à calculer l'opération !

$7 + 0,4 + 0,09 = 7,49$

Et voilà le travail ! Le résultat est 7,49 ! :)

Question B

$\frac{3}{10}+\frac{69}{100}+\frac{28}{1000}$

On peut aller plus vite maintenant que vous avez compris le principe. :)
On transforme les fractions en nombres décimaux en effectuant la division qui correspond :

$\frac{3}{10} = 0,3$

$\frac{69}{100} = 0,69$

$\frac{28}{1000} = 0,028$

On remplace les nombres dans l'opération :

$\frac{3}{10}+\frac{69}{100}+\frac{28}{1000} = 0,3 + 0,69 + 0,028 = 1,018$

La réponse est 1,018 ! ;)

Question C

$17+\frac{4}{100}+\frac{8}{1000}$

Même chose, on remplace les fractions par les nombres décimaux :

$\frac{4}{100} = 0,04$

$\frac{8}{1000} = 0,008$

On remplace les fractions par les décimaux qu'on a trouvés :

$17+\frac{4}{100}+\frac{8}{1000} = 17+0,04+0,008 = 17,048$

La bonne réponse est 17,048 !

L'intrus n'est pas égal

Enoncé

Trouver dans la liste le nombre qui n'est pas égal aux autres et dire pourquoi.

  • $1+\frac{17}{100}$

  • $1,3+1,4$

  • $1+\frac{17}{10}$

  • $2,700$

Solution

On nous donne 4 nombres (parfois sous forme d'addition) et l'un d'entre eux n'est pas égal aux autres. Lequel ?

Ce n'est pas facile de le voir comme ça, à cause des fractions et des additions. Ce qu'il faut faire, c'est exactement comme pour la question précédente : transformer ces opérations et fractions en nombres décimaux et les comparer !

Calcul du nombre 1

Commençons par $1+\frac{17}{100}$. Comme on l'a vu à l'exercice précédent, on peut remplacer la fraction par un nombre décimal en décalant la virgule (ici de 2 crans vers la gauche car on divise par 100) :
$1+\frac{17}{100}=1+0,17$

Ensuite, il est facile de calculer la somme : $1+0,17 = 1,17$

Le premier nombre est donc 1,17. Bien, passons au suivant !

Calcul du nombre 2

$1,3+1,4$

Là, c'est très simple, il n'y a pas de fraction. On doit juste calculer la somme :

$1,3+1,4 = 2,7$

Ca nous fait 2,7. Nombre suivant !

Calcul du nombre 3

$1+\frac{17}{10}$

On remplace la fraction par le nombre décimal qui correspond en décalant la virgule, ce qui donne :

$1+\frac{17}{10} = 1+1,7=2,7$

2,7 à nouveau ! Nombre suivant !

Calcul du nombre 4

$2,700$

Ah ! Ce ne sera pas très compliqué pour celui-là. Vous vous souvenez que les zéros à droite d'un nombre décimal ne servent à rien ? Comme je vous l'ai expliqué, on peut les écrire mais ils sont facultatifs. $2,700$ peut donc très bien s'écrire 2,7 !

On récapitule

On a trouvé que ces opérations correspondaient en fait à des nombres très simples. Dans l'ordre :

  • $1+\frac{17}{100} = 1,17$

  • $1,3+1,4 = 2,7$

  • $1+\frac{17}{10} = 2,7$

  • $2,700 = 2,7$

Que nous demande l'énoncé ? "Trouver dans la liste le nombre qui n'est pas égal aux autres et dire pourquoi."
Il ne faut jamais oublier ce que demande l'énoncé pour bien y répondre.

On va donc dire :

Citation

"Le nombre qui n'est pas égal aux autres est $1+\frac{17}{100}$ car il vaut 1,17 alors que tous les autres nombres valent 2,7. Les calculs que l'on vient de faire le démontrent."

Et paf ! On a répondu à l'énoncé ! :D
On a indiqué quel nombre était différent des autres et on a justifié pourquoi : on a fait les calculs pour connaître leurs valeurs.

La droite mystère

Enoncé

Nombres sur une droite

Donner les abscisses respectives des points A ; B ; C et D.
Placer les points E ; F ; G d'abscisses respectives : 6,1 ; 6,55 ; 5,95

Solution

Ah, un exercice avec une droite, ça change un peu des calculs ! :D

Oh, mais cette droite a l'air un peu spéciale, vous ne trouvez pas ? On ne voit que deux nombres : 6 et 7. On ne voit ni le 0 ni les autres nombres ! Cela veut dire qu'on nous a donné une petite portion de la droite (aux alentours de 6 et 7), et on veut vérifier si on arrive à se repérer sur une droite comme celle-là !

Imaginez la droite que vous avez l'habitude de dessiner, et dites-vous que la droite qu'on vous donne est une portion comprise autour de 6 et 7 :

Zoom sur la droite

Sur la droite qu'on nous donne, il y a beaucoup de points. A quoi correspondent-ils ?
Actuellement, on ne voit que les nombres 6 et 7, mais ce serait quand même bien de savoir à quoi correspondent les autres nombres !

Qu'y a-t-il entre 6 et 7... ? Des nombres décimaux !
Si vous regardez bien, il y a 10 "cases" qui séparent le 6 et le 7 sur la droite (si on ne compte pas le "C" qui se situe au milieu d'une case). La droite est donc numérotée de 0,1 en 0,1.

Les 10 points entre 6 et 7 correspondent donc aux nombres décimaux suivants : 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,5 ; 6,6 ; 6,7 ; 6,8 ; 6,9.

On peut donc numéroter la droite de 0,1 en 0,1 pour y voir plus clair :

Numérotation complète de la droite
Trouver les abscisses des points A ; B ; C ; D

Qu'est-ce qu'on nous demande ? Les abscisses des points A ; B ; C et D.
Bon, maintenant qu'on a numéroté plus finement notre droite, ça va être du gâteau ! Il suffit de lire sur la droite :

  • A = 5,8

  • B = 6,3

  • C = ?

  • D = 7,1

... en fait, ça a été du gâteau pour les points A ; B et D, mais pas pour le C. En effet, le point C est situé entre 6,6 et 6,7. Il va falloir réfléchir un peu plus... Qu'est-ce que je vous avais dit à propos des nombres décimaux ? On peut toujours zoomer pour en découvrir de nouveaux ! ;)

Entre 6,6 et 6,7, il y a donc les nombres : 6,61 ; 6,62 ; 6,63 ; 6,64...
Le nombre qui nous intéresse est situé à mi-distance entre 6,6 et 6,7. C'est donc 6,65 !

  • A = 5,8

  • B = 6,3

  • C = 6,65

  • D = 7,1

On a répondu à la première question ! :D

Placer les points E ; F ; G

Seconde question maintenant : "Placer les points E ; F ; G d'abscisses respectives : 6,1 ; 6,55 ; 5,95"

Maintenant que la droite est numérotée, c'est là encore du gâteau. N'oubliez pas que 6,55 est situé à mi-chemin entre 6,5 et 6,6, et que 5,95 est situé à mi-chemin entre 5,9 et 6 !

On peut donc placer les points E ; F ; G :

Placement des points E F G

Mission accomplie mon commandant ! :pirate:

Un peu de rangement !

Enoncé

Ranger par ordre décroissant les nombres suivants :

  • 6,1

  • 6,02

  • 6,15

  • 6,033

  • 6,336

  • 6,003

  • 6,33

Solution

Il faut ranger ces nombres dans l'ordre décroissant, c'est-à-dire du plus grand au plus petit. Ce sont uniquement des nombres décimaux compris entre 6 et 7. Comme vous le savez, il faut être prudent avec les nombres décimaux pour savoir lequel est le plus grand et lequel est le plus petit.

Ici, ce sont tous des nombres décimaux dont la partie entière est 6. Pour trouver l'ordre de ces nombres, il va falloir les analyser chiffre par chiffre, de gauche à droite, à partir de la virgule.

On va donc les différencier en prenant le premier chiffre des décimaux, le chiffre des dixièmes :

  • 6,1

  • 6,02

  • 6,15

  • 6,033

  • 6,336

  • 6,003

  • 6,33

Ah ! Cette fois on peut commencer un peu à ranger les nombres. On va mettre ceux qui ont le plus gros chiffre des dixièmes en premier, et ceux qui ont le plus petit en dernier (rappelez-vous, on doit trier par ordre décroissant !).

  • 6,336

  • 6,33

  • 6,1

  • 6,15

  • 6,02

  • 6,033

  • 6,003

Comment on fait pour départager les nombres ? Il y en a plusieurs qui ont le même chiffre des dixièmes !

Patience, patience, leur heure va venir. Pour l'instant on a rassemblé les nombres les plus gros en premier, mais il faut effectivement aller plus loin pour départager les nombres qui ont les mêmes chiffres des dixièmes (il y a plusieurs 3, plusieurs 1 et plusieurs 0). Analysons le second chiffre après la virgule, le chiffre des centièmes :

  • 6,336

  • 6,33

  • 6,10

  • 6,15

  • 6,02

  • 6,033

  • 6,003

Là encore, on peut trier les nombres. Attention ! Il faut garder ceux qui avaient le plus gros chiffre des dixièmes en premier !

  • 6,336

  • 6,33

  • 6,15

  • 6,10

  • 6,033

  • 6,02

  • 6,003

Et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait pu départager tous les nombres. Là, il y a deux nombres qu'on n'a pas pu départager parce qu'ils ont le même chiffre des centièmes : 0,336 et 0,33. On peut continuer la même manipulation en comparant les chiffres des millièmes, mais vous pouvez aussi le faire de tête ce n'est pas compliqué. $6,336 > 6,33$, car le chiffre des millièmes du premier est 6, et le chiffre des millièmes du second est 0 (oui, encore un 0 caché ;) ). Notre ordre est donc le bon !

On peut répondre en donnant les nombres dans l'ordre décroissant :

$6,336 > 6,33 > 6,15 > 6,1 > 6,033 > 6,02 > 6,003$

Comparaisons

Enoncé

Comparer les nombres suivants en utilisant < ou >, etc.

  • 14,024 et 14,24

  • 139,48 et 139,480

Solution

14,024 et 14,24

Le principe est le même que pour l'exercice précédent (en plus simple en fait ! :D ). Commençons par comparer 14,024 et 14,24. Ces nombres sont tous des décimaux supérieurs à 14. On doit donc les comparer à l'aide des dixièmes, centièmes, millièmes...

On suit la même méthode que tout à l'heure : on compare les chiffres des dixièmes :

  • 14,024

  • 14,24

0 est plus petit que 2, donc 14,024 est plus petit que 14,24 ! Pas la peine d'aller chercher plus loin !

On va donc répondre :

$14,024 < 14,24$

Allez, question suivante !

139,48 et 139,480

Là encore, avant la virgule on a le même nombre : 139. Il va falloir les comparer à l'aide des chiffres après la virgule. On commence, dans l'ordre :

  • 139,48

  • 139,480

Les chiffres des dixièmes sont identiques, on ne peut pas savoir lequel est le plus grand. On passe aux centièmes :

  • 139,48

  • 139,480

Les centièmes sont identiques eux aussi ! Bon, on passe aux millièmes...
Ah mais il n'y a pas de chiffre des millièmes pour le premier nombre. Vous savez ce que ça signifie ? Que les millièmes correspondent à 0.

  • 139,480

  • 139,480

Et là, c'est le drame. :'(
On se rend compte qu'on ne peut pas savoir lequel de ces deux nombres est le plus grand : ils ont aussi le même chiffre des millièmes !
... A moins que... Si ces deux nombres ne sont pas différents, cela veut dire qu'ils sont... identiques. :D

Eh oui ! D'ailleurs, si vous regardez bien les nombres : "139,48 et 139,480", vous voyez que le second possède un 0 inutile à sa droite, que l'on peut enlever comme je vous l'ai dit. Il s'agit donc deux fois du même nombre, il faut mettre un symbole "=" entre les deux !

$139,48 = 139,480$

Mais... l'énoncé ne disait pas de mettre un symbole < ou > ?

Non, relisez bien l'énoncé : "Comparer les nombres suivants en utilisant < ou >, etc.". Il y a un "etc." à la fin !

Parfois, les profs sont un peu vicieux et veulent voir, sur des exercices comme ça, si vous savez prendre du recul et vous dire : "Bon sang mais c'est bien sûr !". L'exercice était tourné de telle sorte que vous vous attendiez à trouver un nombre plus grand qu'un autre... Mais les nombres étaient égaux.

D'autres fois comme ici, il faudra savoir prendre du recul, bien relire l'énoncé et ne pas hésiter à dire ce qui vous semble évident. Ne vous obstinez pas à dire qu'un nombre est plus grand qu'un autre si, de toute évidence, ils sont égaux ! ;)

Trouvez les nombres !

Enoncé

  1. On sait que a est un nombre entier tel que $3 < a \leq 8$. Trouver toutes les valeurs possibles pour a.

  2. On sait que y est un nombre décimal tel que $3,6 < y < 3,7$. Trouver deux valeurs possibles pour y.

Solution

Question A

On nous dit que a est un nombre entier situé comme ceci : $3 < a \leq 8$
On veut trouver toutes les valeurs de a. Heureusement c'est facile car il n'y en a pas une infinité. ;)

Vous pouvez dessiner une droite pour trouver les nombres situés entre 3 et 8, mais vous savez compter quand même, ça ne devrait pas être trop difficile. ;)

Le seul piège, c'est qu'il ne faut pas confondre le signe $<$ ("strictement inférieur à") et le signe $\leq$ ("inférieur ou égal à").
a ne peut pas être égal à 3, car 3 est plus petit que a. a est donc plus grand que 3. La première valeur possible pour a est 4.
Les valeurs suivantes sont : 5, 6, 7... et 8 ? Oui, 8 est possible, car le symbole $\leq$ nous dit que a peut être égal à 8.

La réponse est donc :

Citation

a peut prendre les valeurs suivantes : 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8
a ne peut pas être égal à 3 à cause du signe $<$, mais il peut être égal à 8 comme l'indique le signe $\leq$

Question B

Cette fois, on nous parle d'un autre nombre y qui est un nombre décimal.
$3,6 < y < 3,7$ donc y est compris entre 3,6 et 3,7.

... Ne me dites pas qu'il n'y a pas de nombres décimaux entre 3,6 et 3,7, je risquerais de me fâcher tout rouge. :colere:

On peut zoomer entre 3,6 et 3,7 comme je vous l'avais dit, et découvrir de nouveaux nombres décimaux : 3,61 ; 3,62 ; 3,63 ; 3,64...

Ah tiens ! On vient déjà de répondre à la question, on nous demandait deux valeurs possibles. ;)

Citation

3,61 et 3,62 sont deux valeurs possibles pour y, qui est compris entre 3,6 et 3,7.

Bien entendu, vous pouvez répondre ce que vous voulez. 3,68 marche aussi, de même que 3,645124. Ce sont toutes des réponses valables que vous pouvez donner. ^^

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite