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Mis à jour le 04/12/2019

Priorités, développements et factorisations

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Vous savez déjà faire des additions, des soustractions, des multiplications, des divisions... Oui mais tout ça à la fois ?
Si vous deviez faire de nombreux calculs différents d'un seul coup, sauriez-vous comment vous y prendre ? Si vous ne suivez pas les bonnes règles, vous risquez de trouver un faux résultat ! Pour faire des calculs en Maths, il existe des règles précises que l'on doit suivre.

Dans ce chapitre, nous allons découvrir ensemble ces règles. Je vous demanderai de bien les retenir, car vous en aurez besoin toute votre vie !
En respectant les techniques que nous allons voir, vous allez devenir de véritables ninjas des Maths. :ninja:

... Bon d'accord j'exagère, vous allez plutôt devenir des apprentis ninjas, mais c'est un début !

Les priorités de calcul

Les additions, soustractions, multiplications... Tout ça vous connaissez. "Facile !" même, vous allez me dire.

En effet, quand il n'y a qu'une opération à calculer, c'est facile :

$\(3+2 = 5\)$$\(6 \times 4 = 24\)$

Mais maintenant, imaginons que vous tombiez sur un calcul comme ceci :

$\(2+4 \times 3 = \text{?}\)$

Alors, $\(2+4 \times 3\)$, combien ça fait d'après vous ?
18 ?...
Perdu ! Ca fait 14 !

Hein quoi ? o_O
Pourtant je suis sûr d'avoir bien calculé : $\(2+4\)$ ça fait 6, et $\(6 \times 3\)$ ça fait 18

Eh bien non ! :D
Quand on doit calculer une expression qui mélange des additions et des multiplications (comme ici), on doit respecter un ordre de calcul.

La priorité des opérateurs

Récapitulons. Vous connaissez 4 opérations :

  • L'addition

  • La soustraction

  • La multiplication

  • La division

Si vous devez faire un calcul qui mélange ces opérations, il faut d'abord calculer les multiplications et les divisions ! Ces opérations sont prioritaires : elles doivent être faites en premier.
Une fois que vous avez fait toutes les multiplications et divisions, vous pouvez calculer les additions et soustractions.

On doit donc calculer dans l'ordre :

  1. Les multiplications et divisions...

  2. ... puis les additions et soustractions

Premier exemple

Reprenons mon calcul "piège" de tout à l'heure :

$\(2+4 \times 3 = \text{?}\)$

On a 2 opérations : une addition et une multiplication. On doit d'abord calculer la multiplication, puis ensuite l'addition.

Priorité de calcul

Le bon calcul à faire est donc :

$\(2+4 \times 3 = 2 + 12 = 14\)$

Quand les opérateurs ont la même priorité

Et si on a une multiplication et une division, dans quel ordre doit-on calculer ? Par exemple dans ce cas :
$\(2 \times 6 \div 3\)$

Il faut calculer les éléments de gauche à droite : calculez d'abord $\(2 \times 6\)$, puis divisez le résultat par 3.

$\(2 \times 6 \div 3 = 12 \div 3 = 4\)$

Quelques exercices pour s'entraîner

Pour vérifier si vous avez bien compris, essayez de faire ces quelques petits exercices puis regardez ma correction. :)

  1. $\(5 \times 3 + 1\)$

  2. $\(10 - 8 \div 4\)$

  3. $\(5 - 1 + 3 \times 2 + 1\)$

  4. $\(2 \times 2 - 1 + 9 \div 3 + 4\)$

 

Question A

$\(5 \times 3 + 1\)$

On a une multiplication et une addition. On commence par la multiplication : $\(5 \times 3 = 15\)$ (il faut connaître ses tables de multiplication ! ;) ).
Il ne nous reste plus qu'à ajouter 1 : $\(15 + 1 = 16\)$

Résumé du calcul : $\(5 \times 3 + 1 = 15 + 1 = 16\)$

Question B

$\(10 - 8 \div 4\)$

Une soustraction et une division. On commence par la division : $\(8 \div 4 = 2\)$.Il ne nous reste plus qu'à calculer $\(10 - 2 = 8\)$.

Résumé : $\(10 - 8 \div 4 = 10 - 2 = 8\)$

Question C

$\(5 - 1 + 3 \times 2 + 1\)$

Oulah, il y a plus d'opérations cette fois ! :o

Pas de panique, on commence par les multiplications et les divisions... Ici il y a juste une multiplication : $\(3 \times 2 = 6\)$. On place ce 6 dans l'opération, ce qui nous donne : $\(5 - 1 + 6 + 1\)$.

Cette fois, il ne nous reste plus que des additions et soustractions. Comme ces opérateurs ont la même priorité, on va les calculer dans l'ordre de gauche à droite en commençant d'abord par $\(5 - 1\)$.

J'écris le résumé des calculs sur plusieurs lignes pour que ce soit plus facile à lire. :)
En rouge vous pouvez voir la multiplication que j'ai dû effectuer en premier parce qu'elle est prioritaire :

$\(\begin{align*}5 - 1 + \color{red}3 \times 2\color{black} + 1 &=& 5 - 1 + \color{red}6\color{black} + 1\\ &=& 4 + 6 + 1 & \\ &=& 10 + 1 & \\ &=& 11\end{align*}\)$

Question D

$\(2 \times 2 - 1 + 9 \div 3 + 4\)$

Voilà à nouveau beaucoup d'opérations sur une seule ligne ! Toujours la même méthode : on repère les multiplications et divisions. On doit calculer $\(2 \times 2\)$ et $\(9 \div 3\)$ :
$\(2 \times 2 = 4\)$$\(9 \div 3 = 3\)$

On remplace ces opérations par leurs résultats dans le calcul :

$\(\begin{align*}\color{red}2 \times 2\color{black} - 1 + \color{red}9 \div 3\color{black} + 4 &=& \color{red}4\color{black} - 1 + \color{red}3\color{black} + 4\\ &=& 3 + 3 + 4\\ &=& 6 + 4\\ &=& 10\end{align*}\)$

La priorité des parenthèses

Les parenthèses sont prioritaires !

Parfois, on trouve des parenthèses dans les calculs :

$\(2 \times 3 \div (1 + 2) + 6\)$

Ces parenthèses sont très importantes : les parenthèses sont prioritaires sur tout !

Dans ce calcul, vous vous dites qu'il faut d'abord calculer $\(2 \times 3\)$ ? Eh bien non ! S'il y a des parenthèses, on doit d'abord calculer ce qui se trouve entre parenthèses puis le reste.

Ici, on doit donc d'abord calculer $\(1 + 2\)$ et mettre le résultat dans l'opération complète.

$\(\begin{align}2 \times 3 \div \color{red}(1 + 2)\color{black} + 6 &=& 2 \times 3 \div \color{red}3\color{black} + 6\\&=& 6 \div 3 + 6\\&=& 2 + 6\\&=& 8\end{align}\)$

Les priorités sont donc les suivantes :

  1. On calcule d'abord les parenthèses

  2. Puis les multiplications et divisions

  3. Puis les additions et soustractions

Retenez bien cet ordre ! Pour faire correctement vos calculs, il faut d'abord résoudre les parenthèses avant de faire le reste !

Quelques exercices

Essayons de faire ces quelques petits calculs pour nous entraîner :

  1. $\(4 \times 4 - 3 + 2 \times (6 - 3)\)$

  2. $\(2 + 8 \div (10 - 2) \times 2 + 4\)$

 

Question A

$\(4 \times 4 - 3 + 2 \times (6 - 3)\)$

Comme il y a une parenthèse, on commence d'abord par calculer ce qui se trouve à l'intérieur de la parenthèse : $\(6-3=3\)$

On remplace le résultat de la parenthèse (3) dans notre expression :
$\(4 \times 4 - 3 + 2 \times 3\)$

On peut ensuite calculer comme on a appris à le faire avant ! D'abord les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions !

$\(\begin{align}4 \times 4 - 3 + 2 \times 3 &=& 16 - 3 + 6\\&=& 13 + 6\\&=& 19\end{align}\)$

Question B

$\(2 + 8 \div (10 - 2) \times 2 + 4\)$

Oh ! Encore une parenthèse ! Quelle surprise ! :D

On commence par calculer le contenu de la parenthèse, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. Vous commencez à avoir l'habitude maintenant ! Allez je fais tout d'un coup. :)

$\(\begin{align}2 + 8 \div \color{red}(10 - 2)\color{black} \times 2 + 4 &=& 2 + 8 \div \color{red}8\color{black} \times 2 + 4\\&=& 2 + 1 \times 2 + 4\\&=& 2 + 2 + 4\\&=& 4 + 4\\&=& 8\end{align}\)$

Développer une expression

On va maintenant découvrir une autre règle de calcul : le développement d'une expression. C'est une technique extrêmement utile, alors écoutez bien. ;)

Qu'est-ce que le développement ?

Développement avec une addition

Prenons cette expression :

$\(2 \times (4 + 3)\)$

Vous savez maintenant la calculer : d'abord la parenthèse, puis la multiplication. Ca fait : $\(2 \times (4 + 3) = 2 \times 7 = 14\)$

Bon alors, quoi de neuf là-dedans ?

Il y a une autre façon de calculer le résultat qu'il faut absolument connaître ! Ca s'appelle... le développement ! Quand vous voulez multiplier un nombre (ici 2) par une parenthèse (ici 4 + 3), vous pouvez développer le calcul comme ceci :

$\(2 \times (4 + 3) = 2 \times 4 + 2 \times 3\)$

Qu'est-ce... qu'est-ce que... qu'est-ce qui s'est passé ? :waw:

Ne faites pas des têtes d'ahuris, ce n'est pas bien compliqué en fait. ^^
On a multiplié 2 par chacun des nombres de la parenthèse :

Développement

Regardons un autre exemple ensemble car il est très important que vous sachiez le faire tous seuls :

$\(3 \times (2 + 6) = 3 \times 2 + 3 \times 6\)$

Maintenant, il ne vous reste plus qu'à calculer le résultat (en commençant par les multiplications bien sûr !). Vous pouvez calculer $\(3 \times 2\)$ et $\(3 \times 6\)$ comme vous l'avez appris. Le développement est simplement une autre façon d'arriver au résultat.

Essayons de finir le calcul comme nous l'avons appris :

$\(\begin{align*}3 \times (2 + 6) &=& \color{red}3 \times 2\color{black} + \color{blue}3 \times 6\color{black}\\&=& \color{red}6\color{black} + \color{blue}18\color{black}\\&=& 24\end{align*}\)$

Développement avec une soustraction

Jusqu'ici, les parenthèses contenaient une addition. Imaginons maintenant qu'il y ait une soustraction :

$\(5 \times (3 - 2)\)$

Le développement se fait de la même façon, mais on doit conserver le signe de la soustraction !

$\(5 \times (3 \color{red}-\color{black} 2) = 5 \times 3 \color{red}-\color{black} 5 \times 2\)$

Comme vous le voyez, le signe "moins" a été conservé lorsqu'on a fait le développement. Pensez-y c'est très important !

Quelques exercices pour s'entraîner

Voici quelques expressions mathématiques. Développez-les comme on vient d'apprendre, puis calculez le résultat. :)

  1. $\(4 \times (1 + 3)\)$

  2. $\(2 \times (6 - 1)\)$

  3. $\(6 \times (6 - 3)\)$

 

Question A

$\(4 \times (1 + 3)\)$

Pour développer, on fait la multiplication avec chacun des éléments de la parenthèse. Ca nous donne :

$\(4 \times (1 + 3) = 4 \times 1 + 4 \times 3\)$

Voilà, le développement est fait, il ne nous reste plus qu'à calculer le résultat. :)

$\(\begin{align*}4 \times (1 + 3) &=& 4 \times 1 + 4 \times 3\\ &=& 4 + 12\\&=& 16\end{align*}\)$

Question B

$\(2 \times (6 - 1)\)$

Comme vous le voyez, il y a une soustraction à l'intérieur de la parenthèse. Il faut bien penser à conserver le signe "moins" lors du développement.
Ca nous donne :

$\(\begin{align*}2 \times (6 - 1) &=& 2 \times 6 - 2 \times 1\\&=& 12 - 2\\&=& 10\end{align*}\)$

Question C

$\(6 \times (6 - 3)\)$

Toujours aucune difficulté, à part qu'il ne faut pas oublier de conserver le signe "moins" quand vous faites le développement. ;)

$\(\begin{align*}6 \times (6 - 3) &=& 6 \times 6 - 6 \times 3\\&=& 36 - 18\\&=& 18\end{align*}\)$

Les formules avec des lettres

On pourrait se contenter de retenir la règle du développement avec un exemple comme celui-ci :

$\(2 \times (4 + 3) = 2 \times 4 + 2 \times 3\)$

... Mais en maths on préfère écrire une formule. Les formules servent de base aux calculs.

Dans les formules, les nombres sont remplacés par des lettres. Chaque lettre représente un nombre.
Ici, la formule du développement serait :

$\(k \times (a + b) = k \times a + k \times b\)$

Mais... où sont passés les nombres ? o_O

Je vous l'ai dit : on utilise des lettres qui servent de modèle. Chaque lettre correspond à un nombre différent.
Ne vous laissez pas impressionner par ces lettres. Elles servent juste à vous montrer comment calculer une expression dans le cas général.

Maintenant que l'on a appris à faire un développement, si je vous faisais découvrir son inverse : la factorisation !? :D
Allez, vous allez voir, ça va être amusant ça aussi !

Factoriser une expression

Comme je viens de vous dire, la factorisation c'est en fait l'inverse du développement.

  • Avec le développement, on "éclatait" le contenu d'une parenthèse : $\(\color{red}2 \times (4 + 3)\color{black} = 2 \times 4 + 2 \times 3\)$

  • Avec la factorisation, on fait le chemin en sens inverse : $\(2 \times 4 + 2 \times 3 = \color{red}2 \times (4 + 3)\color{black}\)$

Il faut savoir manipuler les nombres dans les deux sens, vous en aurez souvent besoin. Vous devez donc être aussi bien à l'aise avec les développements qu'avec les factorisations.

Comment factoriser ?

Cas d'une addition

Prenons un exemple, avec l'expression suivante :

$\(3 \times 4 + 3 \times 2\)$

On veut arriver à reconstruire les parenthèses, c'est-à-dire à factoriser l'expression. Pour y arriver, il faut repérer un facteur commun, c'est-à-dire un nombre présent dans chaque multiplication qui va servir à faire la factorisation.

Dans l'expression précédente, est-ce que vous voyez un facteur commun (un nombre identique dans chaque multiplication ?). Regardez bien :

$\(\color{red}3\color{black} \times 4 + \color{red}3\color{black} \times 2\)$

Eh oui, on a trouvé un nombre identique dans chacune des multiplications, c'est notre facteur commun !

On peut déjà écrire le début de la factorisation :

$\(3 \times (\text{?} + \text{?})\)$

A l'intérieur de la parenthèse, il suffit de placer les autres nombres de l'expression (4 et 2). Ca nous donne :

$\(3 \times (4 + 2)\)$

Cas d'une soustraction

Essayons maintenant de factoriser cette expression :

$\(6 \times 2 - 2 \times 5\)$

Cette fois, il y a le signe "-" de la soustraction, il faudra donc penser à le conserver lorsqu'on reconstruira la parenthèse en factorisant.

Quelle est la première étape déjà ? Ah oui, le facteur commun. Le voyez-vous ? C'est le nombre 2 !

$\(6 \times \color{red}2\color{black} - \color{red}2\color{black} \times 5\)$

On peut l'utiliser pour factoriser :

$\(2 \times (6 - 5)\)$

Quelques exercices

Factorisez puis calculez ces expressions :

  1. $\(5 \times 3 + 4 \times 5\)$

  2. $\(2 \times 7 + 7 \times 4\)$

  3. $\(9 \times 5 - 9 \times 3\)$

Question A

$\(5 \times 3 + 4 \times 5\)$

Le facteur commun est 5. On peut factoriser l'expression en : $\(5 \times (3 + 4)\)$. Voici la factorisation et le calcul du résultat :

$\(\begin{align*}5 \times 3 + 4 \times 5 &=& 5 \times (3 + 4)\\&=& 5 \times 7\\&=& 35\end{align*}\)$

Question B

$\(2 \times 7 + 7 \times 4\)$

Le facteur commun est 7 :

$\(\begin{align*}2 \times 7 + 7 \times 4 &=& 7 \times (2 + 4)\\&=& 7 \times 6\\&=& 42\end{align*}\)$

Question C

$\(9 \times 5 - 9 \times 3\)$

Le facteur commun est 9. Attention au signe "-" qu'il faut bien conserver :

$\(\begin{align*}9 \times 5 - 9 \times 3 &=& 9 \times (5 - 3)\\&=& 9 \times 2\\&=& 18\end{align*}\)$

Les formules avec des lettres

Les mathématiciens tiennent à écrire des formules, alors prenons l'habitude d'en voir ensemble. :)

Pour la factorisation, on a 2 formules (selon le signe) :

  • $\(k \times a + k \times b = k \times (a + b)\)$

  • $\(k \times a - k \times b = k \times (a - b)\)$

k, a et b sont, là encore, des nombres. Les mathématiciens écrivent d'ailleurs "Soient k, a et b des nombres" pour bien indiquer à quoi correspondent les lettres.

Ces formules permettent de bien visualiser comment faire les calculs. Elles indiquent ce qui se passe dans le cas général sans avoir à passer par des exemples.
Plus vous allez avancer en mathématiques, plus vous allez voir des formules comme celles-ci ! ;)

Vous avez découvert dans ce chapitre plusieurs notions très importantes dont vous allez vous servir pendant toute la suite de vos études !
Prenez le temps de bien les comprendre et surtout n'hésitez pas à relire ce chapitre jusqu'à ce que vous soyez complètement à l'aise avec la priorité des opérateurs, le développement et la factorisation !

Exemple de certificat de réussite
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