• Facile

Mis à jour le 04/12/2019

Les nombres relatifs

Connectez-vous ou inscrivez-vous gratuitement pour bénéficier de toutes les fonctionnalités de ce cours !

Les nombres n'ont pas fini de nous étonner : on a déjà vu qu'il existait une infinité de nombres (et donc qu'il était impossible de compter jusqu'à l'infini ;) )

Image utilisateur

... et qu'entre deux nombres entiers il y avait des nombres décimaux.

Image utilisateur

Il existe encore d'autres nombres que nous n'avons pas découvert jusqu'ici : les nombres relatifs. Nous allons faire la connaissance de nombres inférieurs à 0 (si si, c'est possible !). Comment fonctionnent-ils et à quoi servent-ils ? Comment faire des calculs avec des nombres relatifs ?
Nous allons voir tout cela ensemble ! :)

Pourquoi utiliser des nombres négatifs ?

Saviez-vous qu'il existe des nombres inférieurs à 0 ? Ce sont les nombres négatifs.

A quoi ça sert d'avoir des nombres négatifs ?

Après tout, jusqu'ici les choses étaient simples pour compter : 1, 2, 3, 4, 5, 6... On peut avoir 2 pommes dans les mains... mais pas -2 pommes ("moins deux pommes"). Ca n'a pas de sens bien sûr.

Pourtant, il y a plein de situations où les nombres inférieurs à 0 sont utiles. Prenez par exemple un ascenseur. Notre petit âne Zozor (la mascotte du Site du Zéro !) se trouve ici à l'étage -2 !

Zozor prend l'ascenseur

Qu'est-ce que ça veut dire l'étage "-2" ?

Un étage négatif, c'est un étage qui se trouve généralement sous le sol. L'étage 0 correspond au niveau du sol, et tous les étages en-dessous ont un signe "-" (moins) devant.
Regardez ce schéma pour comprendre où se trouve Zozor :

Schéma zozor et ascenseur

Comme vous le voyez, Zozor se trouve au sous-sol, à l'étage -2. Les étages qui ont un signe "-" sont situés sous le sol. Ce sont des étages en-dessous de 0 !

Voilà donc un exemple dans la vie courante où on utilise des nombres négatifs. Ils nous permettent d'aller en-dessous de 0 car il y a des situations comme celle-ci où on a besoin d'utiliser des nombres plus petits que 0.

Placer les nombres négatifs sur une droite

Essayons de placer ces nouveaux nombres sur une droite pour nous repérer. On va partir de cette droite avec des nombres que vous connaissez déjà :

Image utilisateur

Comme je vous l'ai dit, il y a des nombres plus petits que 0. Où sont placés les nombres les plus petits ? A gauche ! On va donc écrire les nombres négatifs à l'envers, vers la gauche en partant du 0 :

Image utilisateur

Les nombres négatifs sont avant le 0

En fait, il existe aussi une infinité de nombres négatifs. C’est exactement la même chose que pour les nombres positifs, mais en sens inverse. On pourrait donc compter sans jamais s’arrêter dans les nombres négatifs.

On dit qu’il y a deux infinis : un infini positif et un infini négatif. L’un à droite, l’autre à gauche :

Image utilisateur

Une infinité de nombres positifs et négatifs ! Ca commence à faire beaucoup…

Si vous visualisez bien tous ces nombres sur une droite, c’est parfait, je ne vous demande pas plus. :)

Retenez donc bien qu’on dit que les nombres sont positifs après le 0, et négatifs avant le 0.

Alors, les nombres 2 et -2 sont des nombres différents ?

Oui, comme vous le voyez sur la droite, ce ne sont pas du tout les mêmes nombres : ils ne sont pas placés au même endroit ! -2 est en fait l'opposé de 2 et se trouve de l'autre côté du 0 !

Vous pouvez voir que -2 et 2 sont chacun à la même distance du nombre 0 :

Image utilisateur

Et le nombre 0 lui ? Il est positif ou il est négatif ?

Bonne question, il est pile au milieu justement. Euh… joker ! :p

En fait, 0 est un nombre un peu spécial : il est positif ET négatif. Les deux à la fois quoi ! C’est pour cela qu’écrire -0, 0 (ou +0) revient au même. -0 et +0 représentent le même nombre. En revanche, -1 et +1 sont deux nombres différents (regardez sur la droite, -1 et 1 ne sont pas au même endroit !).

Comparer deux nombres relatifs

Avec les nombres relatifs, savoir quel nombre est le plus grand (ou le plus petit) devient un petit peu plus délicat.

Regardons ensemble cette droite avec des nombres relatifs :

Nombres les plus grands et plus petits

Comme vous le savez, les nombres les plus petits sont à gauche et les nombres les plus grands sont à droite. Mais dans ce cas, regardez bien, ça veut dire que...

Ca veut dire que -4 est plus petit que 2 ? :o

Eh oui ! -4 est un nombre négatif, il est plus petit que 0, qui est plus petit que 2. -4 est donc plus petit que 2 !

$-4 < 0 < 2$
donc
$-4 < 2$

Comparaison -4 et 2

Les nombres relatifs peuvent vous piéger, car on pourrait penser que "4" est plus grand que "2". Cependant, il faut bien repérer le signe "moins" : -4 est un nombre négatif, plus petit que 0 ("à gauche du 0"), donc il est bel et bien plus petit que 2.

Un autre exemple pour voir si vous avez bien compris. Lequel de ces deux nombres est le plus grand : -3 ou -6 ?

Réfléchissez un peu, puis regardez la réponse ci-dessous :

Le nombre le plus grand est -3 ! Eh oui, placez les nombres -3 et -6 sur une droite, puis regardez lequel est le plus à droite : c'est -3 !

Image utilisateur

On peut donc écrire :
$-3 > -6$
Visualisez les nombres sur une droite pour savoir lequel est le plus grand, ça marche à tous les coups. :)

La soustraction "impossible" devient possible !

Les nombres relatifs vont vraiment nous aider ! Grâce à eux, on va pouvoir calculer des soustractions que l'on croyait impossibles jusqu'à présent. Tenez par exemple :

$2-3 = \text{?}$

On disait jusqu'ici que cette soustraction était impossible. Or, si vous imaginez la soustraction sur une droite, vous allez vous rendre compte qu'il est possible de résoudre cette soustraction ! :D

Commençons par repérer le premier nombre de notre soustraction (2) sur la droite, ici en rouge :

Soustraction impossible : étape 1

Pour calculer $2-3$, il faut lui enlever 3. Il suffit de "reculer" de 3 cases sur la droite pour trouver le résultat :

Soustraction impossible : étape 2

Le résultat est -1 ! Comme vous le voyez, quand on peut aller en-dessous de 0, on peut calculer des soustractions que l'on croyait impossibles ! Ces soustractions donnent en fait des nombres négatifs.

On peut donc écrire :

$2-3 = -1$

Essayez de calculer d'autres opérations du même genre (en vous aidant de la droite au besoin) :

$3-5=\text{?}$

$1-4=\text{?}$

$2-6=\text{?}$

Réponses :

$3-5= -2$

$1-4=-3$

$2-6=-4$

Additionner et soustraire des nombres relatifs

Maintenant, je vous propose de compliquer un peu les choses. :diable:

Imaginons qu'il y ait des nombres négatifs dans les opérations... Ben oui : on vient de faire des opérations avec des nombres positifs uniquement : $2-1$, c'est le nombre 2 moins le nombre 1. Ce sont deux nombres positifs. D'ailleurs, on pourrait mettre un "+" devant pour bien montrer qu'ils sont positifs :

$(+2) - (+1)$

Bon, et alors, où veux-tu en venir ?

Au lieu de travailler avec des nombres positifs, imaginez qu'il y ait des nombres négatifs... Ca devient un peu plus compliqué à calculer ! Heureusement, tonton M@teo est là pour vous expliquer comment faire les calculs. :-°

Des parenthèses bien énervantes...

On va travailler avec des nombres relatifs. Pour bien repérer leur signe, on les entoure de parenthèses comme je viens de vous l'expliquer.

Voici une addition avec un nombre positif + un nombre négatif :

$(+5) + (-3) = \text{?}$

Ouah, mais ça fait beaucoup de signes tout ça ! o_O
Je suis un peu perdu là :(

Non rassurez-vous, ce n'est pas si difficile que ça. Quels nombres voyez-vous dans l'opération ? Il y a +5 et -3. On veut additionner +5 et -3. Pour éviter de "mélanger les signes", on écrit +5 et -3 entre parenthèses. Mais ces parenthèses nous embêtent. Elles compliquent les choses et on a du mal à voir comment calculer cette opération.

Votre mission, si vous l'acceptez, sera de supprimer ces parenthèses. Comme ça, on pourra faire le calcul plus facilement.
Oui, mais supprimer des parenthèses ne se fait pas n'importe comment, il y a des règles à respecter.

Retirer les parenthèses du premier nombre : facile !

Première chose à savoir : on peut retirer les parenthèses du nombre tout à gauche du calcul sans aucun problème. On peut écrire :

$+5 + (-3) = \text{?}$

Mais pourquoi on écrit +5 ? Je croyais qu'on pouvait juste écrire 5, sans le signe + ?

Vous avez raison, je viens de vous le dire : on peut enlever le signe +, il n'est pas utile. Quand il n'y a aucun signe devant, on sait que c'est un nombre positif. On peut donc "simplifier" l'écriture en écrivant :

$5 + (-3) = \text{?}$

Il reste quand même des parenthèses autour du -3 qui nous embêtent. On ne peut pas les enlever comme ça par magie. Ca ferait deux signes côte à côte (le + et le -).

Heureusement, il y a des règles très simples à suivre quand on a deux signes côte à côte comme ça ! Lisez bien ce tableau pour savoir comment combiner deux signes :

Signe 1

Signe 2

Résultat

Exemple

+

+

+

$3 + (+5) = 3 + 5$

+

-

-

$3 + (-5) = 3 - 5$

-

+

-

$3 - (+5) = 3 - 5$

-

-

+

$3 - (-5) = 3 + 5$

Comment combiner 2 signes qui se suivent

Comment lire ce tableau ? C'est simple : si vous avez un + et un - qui se suivent, vous pouvez les remplacer tous les deux par un - et retirer les parenthèses !

$5 + (-3) = 5 - 3$

C'est super facile ensuite de trouver le résultat. :)

$5 + (-3) = 5 - 3 = 2$

Je vais jamais pouvoir retenir ce tableau par coeur ! Je m'emmêle les pinceaux avec tous ces signes, aide-moi !

Bon ça tombe bien, il existe une astuce de super-héros pour retenir facilement ce tableau. Le temps que j'enfile mon costume de Zorro...
...
...
... Voilà. :zorro:

Donc voici l'astuce qui permet de retenir comment combiner deux signes. Imaginez un monde dans lequel il y a 2 camps : vos amis et vos ennemis. Vos amis sont les nombres positifs et vos ennemis sont les nombres négatifs (je sais c'est un gros délire, mais faites semblant de me suivre :-° ) :

Les amis de mes amis

Si vos amis ont des amis, ce sont eux aussi vos amis on est d'accord ?
Si vos amis ont des ennemis, ce sont vos ennemis.

Maintenant, remplacez dans ces phrases "amis" par "+" et "ennemis" par "-". Ca donne :

"Mes amis ont des amis, ce sont donc mes amis" => "+ et + donnent un +"
"Mes amis ont des ennemis, ce sont donc mes ennemis" => "+ et - donnent un -".

Voici un schéma pour vous aider à retenir :

Les amis de mes amis : calculs

C'est une astuce dont je me suis longtemps servi ! Quand je dois combiner deux signes, je repense à ces deux camps, les amis et les ennemis, et j'imagine : "Je dois combiner - et -, ça veut dire les ennemis de mes ennemis... ce sont mes amis ! Donc - et - donnent un +."

Un peu d'entraînement

Allez je fais un autre exemple avec vous :

$(+4) - (-7) = \text{?}$

On peut enlever la première parenthèse et le signe + :

$4 - (-7) = \text{?}$

Deux signes "-" qui se suivent... Vous avez oublié ce que ça donne ? Repensez à la phrase : "Les ennemis de mes ennemis sont mes amis". Donc ça correspond à... un signe "+" ! On peut calculer :

$4 - (-7) = 4 + 7 = 11$

Vous avez compris le principe ? Parfait, alors prouvez-le moi et calculez :

$(+1) - (+8) = \text{?}$

$(-3) + (+2) = \text{?}$

$(+5) - (-2) = \text{?}$

Réponses :

$(+1) - (+8) = 1 - 8 = -7$

$(-3) + (+2) = -3 + 2 = -1$

$(+5) - (-2) = 5 + 2 = 7$

Il faut bien connaître la règle des signes pour enlever les signes en trop... et ne pas hésiter ensuite à faire le calcul à l'aide d'une droite comme on l'a vu un peu plus tôt. ;)

Calculer la distance entre deux nombres

Ouf, rassurez-vous vous avez fait le plus dur juste à l'instant. :)

Maintenant que vous êtes devenus des pros du calcul avec les nombres relatifs, il me reste juste une dernière chose à vous montrer. Nous allons apprendre à calculer la distance entre deux points sur une droite.

Prenons les nombres -4 et 2 :

Distance entre deux nombres

On veut savoir quelle est la distance entre ces deux nombres, c'est-à-dire combien de cases les séparent.

Bien sûr, il est facile de dessiner une droite comme je viens de le faire et de compter le nombre de cases entre les deux : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ! Il y a 6 cases, donc la distance entre -4 et 2 est 6 !

Cependant, ce serait bien de calculer la distance sans avoir à dessiner une droite non ? Pour calculer la distance, c'est très simple : faites la soustraction entre le plus grand nombre et le plus petit !

Quel est le plus grand nombre ici ? -4 ou 2 ?
Vous devriez le savoir maintenant : c'est 2 !

Il faut faire la soustraction, donc on doit calculer $2 - (-4)$ (on met le nombre le plus grand en premier dans la soustraction).

Et c'est parti pour un calcul !

$2 - (-4) = 2 + 4 = 6$

Et voilà, on a trouvé la distance entre les deux nombres ! :D

A vous de jouer, trouvez la distance entre :

  • -2 et 6

  • 3 et -5

  • -4 et -1

Réponses :

Distance entre -2 et 6 : le nombre le plus grand est 6. On place donc 6 en premier dans la soustraction et on calcule : $6 - (-2) = 6 + 2 = 8$

Distance entre 3 et -5 : le nombre le plus grand est 3. On place donc 3 en premier dans la soustraction et on calcule : $3 - (-5) = 3 + 5 = 8$

Distance entre -4 et -1 : le nombre le plus grand est -1. On place donc -1 en premier dans la soustraction et on calcule : $-1 - (-4) = -1 + 4 = 3$

Vous voilà maintenant entrés dans le monde merveilleux des nombres relatifs. :p

Et pour ce qui est du merveilleux, vous n'avez pas fini de découvrir des choses, croyez-moi !
Mais pour aujourd'hui, on va s'arrêter là, ce sera déjà bien. ^^

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite