Mis à jour le 05/12/2013
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Des signaux à tous les étages

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Dans le chapitre précédent, nous avons pris le temps de bien comprendre ce qu'est le traitement du signal et ses applications.

À partir de maintenant, nous allons mettre les mains dans le cambouis. Et on va tout de suite définir ces signaux dont je vous parle depuis le début sans vous dire vraiment à quoi ils ressemblent. Nous verrons aussi la notion d'énergie associée à un signal.

En quelle dimension ?

Un signal, un signal, un signal,...

Nous allons construire notre premier signal. Reprenons du début, nous avions dit qu'un signal est représentatif d'une grandeur physique.

Citation : Wikipédia

On appelle grandeur physique toute propriété de la nature qui peut être quantifiée par la mesure ou le calcul, et dont les différentes valeurs possibles s'expriment à l'aide d'un nombre généralement accompagné d'une unité de mesure.

Notre grandeur est donc quantifiable par un nombre. C'est une bonne chose, il serait par exemple difficile de faire des calculs sur des température définies par des mots (chaud, froid, glacial,...). D'ailleurs quel serait le résultat de $3\times \text{glacial }+\text{ ti\`ede}$ ? Il est quand même plus pratique de manipuler des nombres suivant une convention qu'on connait. Si il fait $20\,^{\circ}{\rm C}$, une augmentation de $3\,^{\circ}{\rm C}$ fera qu'il fera $20+3=23\,^{\circ}{\rm C}$. Easy, isn't it ? ;)

Le signal est donc représenté par le biais de nombres. Quoi de mieux qu'un axe pour représenter différents nombres ?

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Un point (ici les 3 en rouges) représente un nombre. Sa valeur est représenté par la position du point sur l'axe. Après, à vous de graduer comme bon vous semble votre axe du moment que c'est cohérent !

La première dimension

Est ce qu'on peut définir tout un signal par un seul nombre ? Non, me diriez vous. Et vous auriez raison. Ce qui porte vraiment l'information, c'est la variation de cette valeur. Pour reprendre l'exemple de la température, on va s'intéresser à sa valeur à différents moments de la journée. On construit donc un signal à partir de la variation de notre grandeur physique. Mais par rapport à quoi ? C'est à vous de voir ! Dans la majorité des cas, ça sera le temps ; mais ça peut très bien par rapport à une longueur, un angle, une température, une fréquence, etc.

Quand la variation du signal ne dépend que d'une variable, on parlera de signal unidimensionnel. Notre signal est construit dans un espace à une dimension. Et un nouvel axe va venir porter cette dimension.

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On peut donc pour chaque point de notre dimension associer une valeur à notre grandeur physique. En le faisant tout le long de la dimension, on peut construire des choses comme ça :

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Et voilà notre premier signal !

Est ce que ça ne vous rappellerais pas un peu vos cours de maths ? Et si j'écris ça ? :-°

$\begin{align} f: \mathbb{R} & \mapsto \mathbb{R} \\x & \rightarrow f(x)\end{align}$

Et oui ! On peut voir les signaux comme des fonctions mathématiques. Ça correspond exactement à ce que je vous ai dit. Pour chaque point de la dimension (i.e. $x$), on associe une valeur (i.e. $f(x)$). On peut donc voir la fonction $f$ comme étant notre signal.

Vous remarquerez que les ensembles d'arrivés et de départs sont $\mathbb{R}$. Ça veut dire deux choses :

  • qu'on peut récupérer la valeur de notre grandeur physique à n'importe quel instant et avec n'importe quellle précision (par exemple $f(3,4)$ ou $f(34243,4126744367439538914)$

  • que notre grandeur physique peut prendre une infinité de valeurs, c'est à dire avec la possibilité de tendre vers l'infini et d'être définie avec une précision infinie (peut-être que $f(3)=0,3$ ou $f(3)=0,1278654954730$

C'est plutôt une bonne description des signaux qui nous entourent. Mais nous verrons que ça va nous amener assez rapidement quelques petits problèmes pour des applications concrètes !

En tout cas, c'est une très bonne nouvelle car on va pouvoir utiliser plein de résultats de mathématiques pour manipuler et comprendre nos signaux. On va pouvoir faire de l'analyse, du calcul intégral, du calcul matriciel, des développements en sé... Eh non, partez pas, revenez ! :o

Et si je vous montrais des vrais signaux ?

Voici la température d'une station météo un jour de novembre.

  • Grandeur physique : température en degrés

  • Dimension : le temps

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Sur ces deux images, on a la représentation de deux sons. C'est moi-même en train de dire la voyelle 'a' et la consonne 'r'.

  • Grandeur physique : un signal électrique proportionnel à la vibration de l'air.

  • Dimension : le temps

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Je vous ai dit qu'on pouvait voir les signaux comme des fonctions. Dans un monde mathématique parfait où les licornes créent des arcs-en-ciel*, c'est vrai. Mais concrètement, il est très difficile pour ne pas dire impossible de trouver la forme analytique d'un signal. On ne travaille donc en fait qu'avec les images de ces fonctions, c'est à dire qu'on récupérera, grâce à nos systèmes de mesure, un maximum de couples $(x,f(x))$ qui caractérisent le signal. Mais ne vous inquiétez pas, il y a de quoi faire.

(*): À moins que ça soit 'Mon Petit Poney'...

Une dimension de plus !

Pour le moment, notre signal n'a qu'une seule dimension, mais on pourrait en rajouter une, non ?

Si vous ne me croyez, je vous donne tout de suite un exemple de signal bidimensionnel :

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Si vous croyez que je me fiche de vous, réfléchissez y encore une fois ! Finalement, le pixel d'une image est représentatif d'une grandeur physique : l'intensité lumineuse. Pour une image comme ci-dessus, ça correspond au niveau de gris (plus la valeur est grande, plus le gris devient clair et inversement ; les bornes étant le noir et le blanc). Pour les images en couleurs, c'est juste 3 grandeurs physiques (rouge, bleu, vert).

Et les deux dimensions ? Et bien, c'est seulement la largeur et la hauteur de l'image. Pour retrouver la position d'un pixel, il suffit de connaitre son numéro de ligne et de colonne. On peut donc voir une image comme une fonction mathématique à deux variables :

$\begin{align} f: \mathbb{R}^2 & \mapsto \mathbb{R} \\(x,y) & \rightarrow f(x,y)\end{align}$

Si vous n'êtes pas convaincu, voilà une autre représentation de l'image :

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On voit bien que l'image peut se représenter comme une fonction mathématique qui peut s'étendre sur deux dimensions.

L'exemple de l'image est le plus frappant pour le signal dimensionnel, mais il y en a plein d'autres. Par exemple, si je mesure l'évolution de la température au cours du temps en différents points d'une barre de métal, j'ai un signal bidimensionnel :

  • Grandeur physique : température en degrés

  • Dimension n°1 : la position sur la barre

  • Dimension n°2 : le temps

Encore une autre...

Pourquoi s'arrêter en si bon chemin ? Rajoutons encore une dimension.

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Une vidéo est l'exemple typique d'un signal tri-dimensionnel. C'est finalement un simple enchainement de signaux bidimensionnels (i.e. les images) au cours du temps :

  • Grandeur physique : intensité lumineuse

  • Dimension n°1 : position sur la hauteur de l'image

  • Dimension n°2 : position sur la largeur de l'image

  • Dimension n°3 : le temps

Pour les autres dimensions, je me permettrais de citer un grand homme :

"Vers l'infini et au-delà"

Buzz l'éclair (1995)

Le mot de la fin

Vous avez peut-être l'impression qu'on a enfoncé des portes ouvertes en parlant simplement de fonctions, mais je voulais prendre le temps de construire cet outil qui est à la base du traitement du signal. Quelque soit le signal, quelque soit son origine, sa valeur maximale, sa durée,... on pourra finalement le représenter sous la forme d'un objet mathématique qu'on maitrise complément. C'est là la force du traitement du signal : être capable de donner des outils mathématiques capable de gérer avec tous les types de signaux.

La nature des signaux

La périodicité

Qu'est ce que la périodicité ? Et plus précisément, qu'est qu'un signal périodique ? On peut écrire la définition mathématique :
$\exists T \in \mathbb{R}, \forall k \in \mathbb{N}, f(x)=f(x+kT)$
D'accord. Si vous n'en n'avez pas saisi le sens, je peux vous l'écrire en français :

Un signal est dit périodique si et seulement si la variation de son amplitude répète un même motif suivant une période T

Et comme il n'y a rien de mieux qu'un schéma, prenons un signal périodique :

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On voit bien les deux définitions équivalentes que je vous ai données : la répétition d'un même motif suivant une période $T$, ou la valeur de l'amplitude qui est égale à tous les multiples de la période $T$.

Plutôt que période, vous avez surement du plutôt entendre parler de fréquence d'un signal (sonore par exemple). Les deux notions sont liés par une égalité très simple :
$T=\frac{1}{f}$
$T$ est la période en secondes et $f$, la fréquence du signal en Hertz ou $s^{-1}$.

Mais ne nous attardons pas là-dessus, nous reparlons de fréquences plus en profondeur très bientôt. J'aimerais mettre l'accent sur une notion particulière. Reprenons notre dernière définition mathématique et déroulons-là en faisant varier $k$ dans $\mathbb N$ :

$f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=f(x+3T)=...=f(x+34565T)=...$

Et n'oublions pas les entiers négatifs :

$...=f(x-300T)=...=f(x-2T)=f(x-T)=f(x)$

La définition mathématique du signal périodique entraine que le signal doit être défini sur $\mathbb R$ tout entier. En effet si le signal n'est pas défini au point, par exemple, $x+400T$ alors la définition du signal périodique tombe à plat car $f(x)\ne f(x)=f(x+400T)$

Un signal périodique est donc défini sur un support non borné.
Expliquons ces deux mots :

  • support : intervalle des points où la fonction est définie

  • borné : intervalle ayant des limites hautes et basses

Le signal périodique s'étend sur un support qui n'a pas de limites, et il peut donc tendre vers $-\infty$ et $+\infty$ sans soucis. D'un point de vue mathématique, il n'y a pas de problème et la définition est satisfaisante. Physiquement, c'est beaucoup moins convenable. Si on utilise ces fonctions périodiques pour tenter de modéliser nos signaux dans notre monde réel, on a un problème. Lequel ?

Faisons l'hypothèse un instant que tous les signaux qui nous entourent soient à support non borné. Cela voudraient dire que tous ces signaux existent depuis toujours bien avant le Big-bang et continueront bien après votre mort et la destruction de la planète Terre par les aliens. Donc le signal de votre voix ou d'une émission de radio existent depuis toujours ! Complétement contradictoire, non ?

Cette simili-démonstration par l'absurde montre que nos signaux sont à support borné. Ils commencent à un moment donné et s'arrêtent à un autre et en fait plus important encore, notre observation de ces mêmes signaux ne peut durer qu'un temps fini !

Les signaux périodiques sont centraux dans la construction de la théorie mathématique du traitement du signal pour la modélisation des signaux, mais cette différence entre un monde mathématique où les outils peuvent être définis sur des supports non bornés et le monde physique où cette considération n'est plus valable va nous entrainer quelques soucis.

La causalité

Causal. Voilà un mot qu'on entend peu, le dictionnaire le définira comme 'Qui implique une cause à un effet'. Ça n'a pas l'air au premier abord, mais il trouve tout son sens en traitement du signal.

Reprenons un signal quelconque :

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Vous remarquerez que j'ai gradué l'axe des abscisses avec un zéro. Il peut vous semblez anodin, mais il n'en est pas moins important. J'ai dit dans un des points précédents que les signaux périodiques s'étendaient sur un support non borné et que physiquement, ça causait quelques soucis. La causalité entraine que le signal n'existe qu'à partir de ce zéro qui marque le début du signal. Il n'existe pas de façon magique depuis la nuit des temps, il a un début ! Il y a une cause qui a crée cet effet.

$f(t) \text{ est causal} \Leftrightarrow \forall t <0, f(t)=0$

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Ce signal est causal, au contraire de sa version précédente qui ne l'était pas.

Cette notion de causalité peut sembler non pertinente pour le moment mais elle reviendra comme base théorique dans la partie sur le filtrage. Pour le moment, retenez ce mot de vocabulaire.

Energie et puissance d'un signal

Toute transmission d’information est liée à une transmission d’énergie.

Quand on veut transmettre un signal, ça ne se fait pas sans un peu d'huile de coude. Si vous voulez parler, il va falloir actionner votre diaphragme pour envoyer de l'air dans votre conduit vocal. Si vous voulez envoyez un e-mail, votre ordinateur a intérêt à être branché sur le réseau électrique. Les photons qui se propagent jusqu'à votre rétine pour y projeter une image ne sont pas arrivés là par magie. Tous ces procédés utilisent une source d'énergie pour pouvoir se déplacer. Et en se déplaçant, ils transmettent de l'information.

Question : Comment caractériser l'énergie d'un signal ?

Quand je parle à voix basse, j'utilise peu d'énergie. Si on traçait le signal de ma voix, il aurait d'assez faibles amplitudes. Au contraire, si je me mets à crier, je vais mettre beaucoup plus d'énergie dans ma voix et le signal atteindra des amplitudes beaucoup plus fortes.

On peut donc construire une estimation de l'énergie à partir des amplitudes du signal. Allons y pas à pas. Qu'est ce qui est le plus logique ? On aimerait connaitre la puissance à un instant donnée. À ce moment-là, on parle de puissance instantanée :

$P(t) = |x(t)|^2$

La puissance est donc bien directement lié à l'amplitude du signal. Mais pourquoi cette valeur absolue et ce carré ?

  • Un signal peut avoir des valeurs négatives. Si on n'utilisait pas la valeur absolue et qu'on conserverait le signe, on se retrouverait avec un signal qui peut avoir une puissance négative ou avec les équations qui vont suivre un signal à énergie nulle. C'est absurde. Vous pourriez objecter que le carré suffirait à éviter les valeurs négatives. Oui, si le signal est à valeurs réelles, mais si c'est un signal à valeurs complexes ? :-°

  • En électronique, la puissance d'un signal électrique est lié à son intensité élevé au carrée. Sa définition en traitement du signal reste cohérente car les deux domaines sont liés, c'est pourquoi il y a un carré qui traine.

On sait évaluer la puissance en un point, maintenant comment l'évaluer sur un certain temps ? Imaginons que notre signal soit défini sur 2 points.
On pourrait écrire sa puissance comme ceci :
$P=\frac{1}{2} \left( |x(0)|^2+|x(1)|^2 \right)$
Sur 3 points :
$P=\frac{1}{3}\left( |x(0)|^2+|x(1)|^2+|x(2)|^2 \right)$
Et ainsi de suite avec $N$ points:

$P=\frac{1}{N}\left( |x(0)|^2+|x(1)|^2+...+|x(N)|^2 \right)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N |x(n)|^2$
Finalement, calculer la puissance sur $N$ points du signal revient à calculer la moyenne des puissances instantanés. Mais il reste un souci, on a dit un peu plus haut que les signaux avaient pour ensemble de départ $\mathbb R$. Donc dès que vous prenez un bout du signal, aussi petit soit-il, vous y retrouverez une infinité de points. Donc si on veut calculer notre puissance avec notre formule, ça veut dire qu'on va devoir sommer une infinité de points. Ça risque d'être (à peine) long. Nous ne sommes pourtant pas dans une impasse. Je passe sur la preuve mathématique, mais le fait de faire tendre notre somme vers un nombre infini de termes nous permet d'utiliser un grand outil des mathématiques : l'intégrale.

Prenons un signal $x(t)$ quelconque. Découpez-y un bout de durée $T$. Et pour calculer la puissance moyenne, appliquez :

$P(t_0,T) = \frac{1}{T}\int_{t_0-\frac{T}{2}}^{t_0+\frac{T}{2}} P(t) dt = \frac{1}{T}\int_{t_0-\frac{T}{2}}^{t_0+\frac{T}{2}}|x(t)|^2 dt$

On voit bien qu'on utilise la puissance instantané $P(t)=|x(t)|^2$. Le $dt$ nous rappelle qu'on parcourt notre signal suivant la variable $t$ entre les bornes $t_0+\frac{T}{2}$ et $t_0-\frac{T}{2}$. On considère donc la portion de signal de taille $T$ centré autour de $t_0$. L'intégrale $\int$ est là pour sommer la contribution de l'infinité de points compris dans la portion. Et tout ça sans oublier le $\frac{1}{T}$ car la puissance est définie comme une énergie délivré par unité de temps.

La puissance moyenne du signal se déduit simplement comme étant défini par :

$P = \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}|x(t)|^2dt$

On fait notre calcul intégral sur l'ensemble du signal en faisant tendre les bornes vers les deux infinis.

Et enfin on y arrive. On a dit que la puissance correspondait à l'énergie fournie par unité de temps. Il suffit donc de considérer toutes les contributions des points sans moyenner le résultat par la durée du phénomène. L'énergie s'écrit de façon plus simple que la puissance :

$E = \int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2 dt$

Question : Quels sont les caractéristiques énergétique des signaux ?

On peut estimer que le signal est à amplitude bornée si $\forall t \in \mathbb{R}, |x(t)|<+\infty$. Ca correspond bien sûr à une réalité physique, il serait absurde de voir un point ayant une amplitude infinie et donc une puissance instantané infinie autrement que pour une considération de modélisation mathématique.

Nous distinguerons deux autres ensembles de signaux. Le premier rassemble tout les signaux à énergie infinie. C'est le cas par exemple des signaux périodiques qui sont définis sur un support non borné. Intégrer la puissance instantané qui est une fonction toujours positive sur tout $\mathbb R$ fait tendre l'énergie vers l'infini. Ils ont aussi la caractéristique d'être à puissance moyenne non nulle. Ça n'a bien sûr pas de sens physiquement (un système qui produit une énergie infinie, ça ferait longtemps qu'on aurait éteint toutes les centrales...). Ça montre la limitation du modèle mathématique face à la réalité.

Le deuxième est donc, par contraposée, la réunion de tous les signaux à énergie finie. Ils ont aussi la caractéristique d'être à puissance moyenne nulle. Tous les signaux de la vie réelle, qui sont tous définis sur un support borné, sont bien sûr à énergie finie.

Résumé

Pour finir ce chapitre haut en couleurs, nous allons écrire un petit tableau. Nous avons discuté du fait qu'en traitement du signal les signaux sont vus comme des fonctions. Tout ça nous permet d'utiliser tous les domaines des mathématiques. Cependant, les hypothèses qu'on fait dans nos modèles mathématiques ne sont pas souvent applicables au monde réel. Voici donc un tableau qui résume les différences entre signaux et fonctions que nous avons vu en partie dans ce chapitre.

Monde réel (signaux)

Monde mathématique (fonctions)

Un signal possède une énergie finie

Une fonction peut posséder une énergie théorique infinie

Un signal est causal et à support borné

Une fonction peut être non causal et à support non borné

Les signaux sont à valeurs réelles

Les valeurs des fonctions peuvent appartenir à d'autres ensembles que $\mathbb R$

Un signal est continu temporellement

Une fonction peut présenter des discontinuités en certains points

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite