Mis à jour le 05/12/2013
  • Facile

Le bruit, une notion relative

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Notre monde n'est point parfait et il mène la vie dure aux traiteurs de signaux.

Le bruit, notre nouvel ennemi numéro 1 ?

Le même pour tout le monde ?

Qu'est ce que pour vous le bruit ?

Vous pourriez me citer des exemples comme votre petit frère qui pleure, le moteur du camion-poubelle à 7h le matin, la pluie qui tape au carreau, une porte qui claque, un micro-ondes en marche voir le dernier titre pop à la mode à la radio. Et il y encore plein d'autres choses qu'on pourrait énoncer. Pour résumer, on pourrait considérer le bruit comme étant tout ce qui est nous désagréable à l'oreille et donc non désiré.

Et en traitement du signal ?

En traitement du signal, le bruit n'a pas exactement le sens, mais reste dans le même ordre d'idée. Nous avons dans le premier chapitre, que l'étude d'un signal était intéressante parce que il est porteur d'information. Mais ce n'est pas vrai pour tous les signaux qu'on observe. Le bruit est peu le Mr Hyde de l'information. On désignera un signal comme étant du bruit quand il est non désiré et surtout non porteur d'information.

Sous le terme de bruit, on fait donc référence à la somme de touts ces signaux qui vont venir perturber nos observations en :

  • se rajoutant et se superposant au dessus du signal

  • dégradant le signal original

  • créant des artefacts (des signaux artificiels qui peuvent sembler réels)

On pourrait résumer ça comme ça :

$\huge \text{Signal} = \text{Information} + \text{Bruit}$

Ça reste bien sûr une vision simpliste, mais cette fausse équation mathématique résume bien l'idée de différencier dans un signal d'un côté la partie utile porteuse d'informations et de l'autre le bruit qui n'en apporte pas et va même dégrader l'information portée par le signal utile.

Je vous propose d'écouter un signal audio très parlant. Ce fichier contient un signal de parole provenant d'une speakerine parlant en anglais.

Écouter la radio ! (217Ko, OGG)
Cependant, le signal radio est fortement perturbé par le grésillement qu'on entend en fond. Donc dans ce signal, il y a un mélange entre un signal de parole (l'information) et des grésillements du à la qualité de la chaine d'émission et de réception radio (le bruit).

Je ne vous ai cité que des exemples impliquant de l'audio. La notion de bruit est très intuitive avec les sons car on la vit en permanence au quotidien. Mais pour un traiteur de signaux, le bruit est un challenge permanent qui existe dans tous les domaines. Pour vous montrer un exemple en traitement d'image,

Image utilisateur

Ce bout de photo correspond à la prise d'un ciel bleu. On s'attend donc à avoir un fond bleu uniforme avec peut-être un léger dégradé. Grossièrement, on a ça, mais si on se penche un peu plus sur la photo, on peut voir des imperfections, des traces violettes,... on est en fait loin de l'uniformité. C'est toutes ces choses qu'on peut qualifier de bruit dans une image. Ici, il a été crée par la chaine d'acquisition de l'image (capteur CCD, échantillonnage, compression,...).

Un dernier exemple en image. Voici un signal unidimensionnel quelconque :

Image utilisateur

Rajoutons y un peu de bruit et on peut arriver à ça...

Image utilisateur

Qu'est ce qui est bruit ? Qu'est ce que ne l'est pas ?

Je ne pourrais que vous répondre : ça dépend !

Ça dépend de l'expérience et de l'observation que vous êtes en train de mener et de facto quels signaux vous intéressent. Prenons un exemple. Vous êtes en pleine discussion avec trois autres personnes que nous nommerons habilement Riri, Fifi et Loulou. Au début, vous discutez à quatre et vous prenez donc la parole (à peu près) chacun à votre tour. À ce moment-là, si la pièce est silencieuse, on pourra considérer qu'il n'y a pas de bruit, le seul signal acoustique présent dans la salle est la parole du locuteur.

Au bout d'un moment, la discussion diverge et vous commencez à ne plus parler qu'avec Fifi tandis que Riri et Loulou discutent de leur côté sur un autre sujet. On a donc deux discussions en parallèle. Bien sûr, la parole se diffuse dans l'air dans toutes les directions à la fois. Tout le monde entend donc finalement une version mixé des deux conversations. De votre point de vue, seul la parole de Fifi est un signal utile alors que les discours de Riri et Loulou peuvent être considérés comme du bruit. Au contraire, pour Riri la discussion entre vous et Fifi est du bruit alors que seul la parole de Loulou est un signal de parole.

Bruit ou pas bruit ? Ça dépend ! C'est toujours une question de point de vue.

Qui est le plus fort ?

Il y a une notion qui est importante avec le bruit : c'est sa puissance. En traitement du signal, il y a au final aucune situation sans bruit puisque le simple fait d'utiliser une chaine de mesure crée des sources de bruit. On considère en fait un environnement sans bruit quand il est suffisamment négligeable face aux signaux qu'on veut capter. Quand il n'est pas négligeable, son niveau de puissance va influer sur les performances de notre système.

Par exemple, quand vous êtes en discothèque et que vous voulez parler à votre voisin, la musique (qu'on peut considérer comme source de bruit pour un moment) va gêner la propagation de votre voix. À ce moment-là, vous avez deux stratégies : soit vous augmentez votre volume de voix au risque de vous faire mal à la gorge, soit vous diminuez le volume de la musique en vous plaçant dans un endroit un peu plus calme. Dans les deux cas, on tente de faire varier la différence de volume (et donc de puissance) entre le signal et le bruit.

Il serait donc intéressant de construire un indicateur qui pourrait nous renseigner sur le niveau de bruit et sur son influence sur le signal utile. Habituellement, on sert de ce qu'on appelle le Rapport signal sur bruit couramment abrégé RSB qu'on peut définir suivant deux échelles.

Échelle linéaire

Soyons méthodiques. Comment construire le RSB pour qu'il soit un indicateur fiable. Quels sont ces caractéristiques ?

  • Il doit prendre en compte le signal et le bruit.

  • Il doit trouver un moyen de quantifier leur importance, leur force.

  • Il doit réussir à mettre en valeur la différence de force entre le signal et le bruit.

L'écriture du RSB ne va pas chercher midi à quatorze heures :

$\text{RSB} = \frac{P_{signal}}{P_{bruit}}$

La force du signal (ou du bruit) est quantifié par sa puissance dont on a vu la définition dans le chapitre précédent. On prend bien en compte les deux parties. Et l'exercice qui suit va vous permettre de démontrer que le RSB est pertinent pour quantifier la différence de puissance.

Exercice : Est-ce qu'un RSB de 1 est préférable à un RSB de 10 si on veut conserver notre signal ?

La réponse est non. On peut réécrire notre formule sous cette forme.

$\text{RSB}\times P_{bruit} = P_{signal}$
Donc si $RSB = 10$, alors $10\times P_{bruit} = P_{signal}$.
La partie du signal qui est rattaché au bruit est donc 10 fois moins puissante que celle qui porte l'information.

Par contre si $RSB = 1$, alors $P_{bruit} = P_{signal}$.
À ce moment-là, les puissances sont équivalentes. Le signal utile est beaucoup plus perturbé et en partie masqué par le bruit.

On cherche donc à avoir un $RSB$ le plus grand possible. Il n'y a pas de limite théorique haute, ça peut tendre à l'infini, mais votre système sera limitant car il ne peut pas délivrer une puissance infinie. La limite basse est par contre de $0$ quand $P_{bruit} >> P_{signal}$ qui un cas peu enviable et difficile à gérer.

$RSB>1$

Signal plus puissant que le bruit

$RSB=1$

Signal aussi puissant que le bruit

$RSB<1$

Signal moins puissant que le bruit

Échelle logarithmique

Moi, je ne suis pas complétement satisfait alors je vous propose une définition alternative du RSB :

$\text{RSB}_{dB} = 10\times\log_{10}\left(\frac{P_{signal}}{P_{bruit}}\right)$

Qu'est ce que vous en dites ? Pour rappel ou si vous ne l'aviez jamais vu avant, $\log_{10}$ correspond au logarithme en base 10 dont vous trouverez un tracé ici. Il peut se définir à partir du logarithme naturel tel que $\log_{10}(x)= \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \approx \frac{\ln(x)}{2.303}$

Je vous rappelle deux propriétés très intéressantes du logarithme :
$\begin{align}\forall (a,b) \in \mathbb{R}^+,& \log_{10}(a \times b)= \log_{10}(a)+\log_{10}(b) \\& \log_{10}(\frac{a}{b})= \log_{10}(a)-\log_{10}(b)\end{align}$
Il a donc le pouvoir de transformer le produit (la division) de deux nombres en la somme (la soustraction) de leurs logarithmes.

C'est bon, vous avez compris ? Allez hop, chapitre suivant... :ninja:

Attends, attends. On avait un RSB avec une définition super simple qui marchait bien et tu veux le changer en rajoutant un log sans raison comme ça ? o_O

Ah... :euh: ce n'est pas suffisant ? D'accord.

Reprenons notre définition et traçons un graphique :
$\text{RSB}_{dB} = 10\times\log_{10}\left(\frac{P_{signal}}{P_{bruit}}\right) = 10\times\log_{10}\left(RSB\right)$

Image utilisateur

L’abscisse correspond au rapport de puissance $\frac{P_{signal}}{P_{bruit}}$, l'ordonné au RSB. Dans le cas de notre première définition, la relation est triviale puisque le RSB vaut exactement le rapport de puissance, il suffit donc de tracer $y=x$. Dans l'autre cas, on trace $y=10 \log_{10}(x)$. Donc pour un même rapport de puissance, le RSB ne sera pas le même suivant qu'on prenne l'échelle linéaire ou l'échelle logarithmique (cf. l'exemple des trois points rouges quand le rapport de puissance vaut 20).

L'échelle linéaire est la plus intuitive bien sûr. Une variation de $P_{signal}$ ou de $P_{bruit}$ entraine une variation directement proportionnelle du RSB. Vous me diriez que la vie est belle et qu'il n'y pas besoin de se compliquer la vie avec un logarithme.

Avant de vous justifier son utilisation, faisons quelques calculs. Imaginons que la puissance du signal utile soit exactement deux fois supérieur à la puissance du bruit donc que $P_{signal} = 2 \times P_{bruit}$. On peut réinjecter ça dans l'équation du RSB en décibels :

$\text{RSB}_{dB} = 10\times\log_{10}\left(\frac{P_{signal}}{P_{bruit}}\right)=10\times\log_{10}\left(\frac{2\times P_{bruit}}{P_{bruit}}\right)=10\times\log_{10}\left(2\right)=+3\text{ dB}$
On peut donc en conclure qu'un rapport signal sur bruit de $+3\text{ dB}$ correspond à un rapport de puissance 2 entre le signal et le bruit.

On peut faire ce calcul pour d'autres valeurs :

Rapport de puissance

RSB en décibels

$0,0001$

$-60\text{ dB}$

$0,001$

$-40\text{ dB}$

$0,01$

$-20\text{ dB}$

$0,1$

$-10\text{ dB}$

$0,5$

$-3\text{ dB}^*$

$1$

$+0\text{ dB}$

$2$

$+3\text{ dB}^*$

$10$

$+10\text{ dB}$

$100$

$+20\text{ dB}$

$10000$

$+40\text{ dB}$

$1000000$

$+60\text{ dB}$

(*) : En réalité $\Tiny 10 \times \log_{10}(2) = 3,0102999...$, mais l'approximation à +3dB est communément admise.

Faisons un autre calcul. Imaginons un signal dont le RSB est fixé. On veut faire augmenter ce RSB de 3 décibels. Quel variation cela va entrainer sur le rapport de puissance ? Vous pouvez essayer de le faire en vous rappelant les propriétés du logarithme que je vous ai redonnées précédemment.

$\begin{align}\text{RSB}_{dB}+3\text{dB} &= 10\times\log_{10}\left(\frac{P_{signal}}{P_{bruit}}\right)+10\times\log_{10}\left(2\right) \\&= 10 \times \left( \log_{10} \left(\frac{P_{signal}}{P_{bruit}} \right) + \log_{10}\left(2\right) \right) \\&= 10 \times \left( \log_{10} \left( 2 \times \frac{P_{signal}}{P_{bruit}} \right) \right) \\\end{align}$
Rajouter 3 décibels correspond toujours à doubler la puissance du signal (ou à diviser par deux la puissance du bruit). On peut appliquer les résultats du tableau précédent. Par exemple, ajouter 20 décibels va multiplier par 100 le rapport de puissance.

L'échelle va modifier la répartition des valeurs. Pour les grandes valeurs, il va y avoir une atténuation. Pour les rapports de puissance inférieurs à 1, le RSB va passer en négatif et tendre de plus en plus vite vers l'infini quand on se rapproche de 0. Un rapport de puissance de 0 est bien sûr impossible (L'un des deux signaux doit être à énergie infinie...).

La répartition des valeurs change, mais sans rien dégrader. Comme la fonction logarithme est monotone et croissante, alors le comportement reste quand même similaire à celui de l'échelle linéaire : les maximas se trouveront toujours au même et une augmentation du rapport de puissance crée une augmentation du RSB (et inversement).

Alors, au final pourquoi l'échelle logarithmique c'est plus mieux ? :euh:

Image utilisateur

Ce signal est la variation de la puissance moyenne d'un signal audio. La première courbe en rouge correspond à l'échelle linéaire et la bleue à l'échelle logarithmique. De quoi s'en rend-t-on compte ? On a complétement distordu la répartition des données sur l'axe des ordonnées.

  • Les valeurs maximales ont été réduites (de 500 à 60). La présentation des données sur cette échelle est utile quand elles couvrent une large bande de valeurs. Passer au logarithme permet de réduire la taille de cette bande de façon considérable. Cette stratégie est par exemple utilisé pour tracer les réponses en fréquences des filtres en électronique où les deux axes sont gradués sur une échelle logarithmique (on parle alors de repère log-log).

  • Cette distorsion fait apparaitre le signal sous un autre jour. Les grandes contributions sont minimisés alors qu'au contraire les faibles valeurs sont mis en valeur. Regardez la différence de taille pour le premier pic suivant l'échelle ! Passer à cette représentation permet de mieux voir la dynamique du signal. On peut par exemple au milieu l'apparition d'un bruit de fond qui était plus difficile sur l'autre courbe.

Rappelons que :

$RSB_{dB}>0$

Signal plus puissant que le bruit

$RSB_{dB}=0$

Signal aussi puissant que le bruit

$RSB_{dB}<0$

Signal moins puissant que le bruit

Cette propriété $\log_{10}(ab)= \log_{10}(a)+\log_{10}(b)$ qui peut sembler anodine est très intéressante. Par exemple, quand on a une cascade de systèmes qui vont modifier le RSB, sa variation totale est simplement égale à la somme des variations de chaque système. Et une variation positive correspondra toujours à un gain et une variation négative à une atténuation.

Il est aussi intéressant de noter que certains de nos sens comme l'audition obéissent à des échelles logarithmiques. La perception qu'on a de l'amplitude ou de la fréquence des sons n'est pas linéaire et s'approche plus de lois logarithmiques. Il est donc pertinent d'utiliser les mêmes échelles.

Pour finir, je vais vous montrer un exemple de signal dégradé par du bruit à différents niveaux de RSB. C'est un signal audio et sur la bande, on retrouve de la parole, un bruit d'alarme, un bruit de porte, etc. J'ai ensuite rajouté artificiellement du bruit. Ce bruit est dit blanc et a des propriétés très intéressantes que nous verrons plus tard.

Niveau de bruit

Signal bruité

Signal original

Image utilisateurImage utilisateur

$+25 \text{ dB}$

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$+4 \text{ dB}$

Image utilisateurImage utilisateur

$-12 \text{ dB}$

Image utilisateurImage utilisateur

On peut voir qu'au final, le signal est noyé dans le bruit. Vous êtes surement en train de vous dire qu'un tel niveau de bruit détruit complétement le signal et que ça serait une perte de temps de tenter d'en tirer quelque choses. Il n'y a plus d'information viable ! Nous n'allons pas abandonner comme ça. C'est vrai que, de ce point de vue temporel, la tâche peut sembler impossible. Alors pourquoi ne pas changer de point de vue ?

Vous êtes à la fin ce cours. D'autres chapitres sont encore à venir !

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