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  • Moyenne

Mis à jour le 10/10/2016

Liberté et contrainte

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Liberté

Prenons donc un point M, de coordonnées (x ; y) et imaginons que, dans un premier temps, ce point se promène librement dans le plan :

Point qui se promène dans le plan, sans contrainte. Ses coordonnées varient sans cesse.
Point qui se promène dans le plan, sans contrainte. Ses coordonnées varient sans cesse.

Laissons-le un moment se mouvoir à sa guise. Pour le dire autrement, laissons-lui la bride sur le cou. C'est une expression qu'on prend parfois à contresens. La bride, c'est ce qui sert à brider un cheval, à le diriger. Si l'on lâche les rênes et qu'on les laisse sur le cou de l'animal, alors le cheval est libre d'aller où bon lui semble. Je sais, je déborde un peu du cadre. On a dû me lâcher la bride.

Lorsque le point M se déplace, les valeurs de x et de y varient.

Égalité

À présent, fini de rigoler. Les déplacements désordonnés du point M commencent à nous agacer. C'est pourquoi nous allons lui imposer une contrainte. Nous décrétons que l’ordonnée du point M doit être égale à son abscisse. Cette contrainte peut s’écrire :

$\[y=x\]$

Je vous propose de considérer cette égalité comme un ordre adressé au point M : « que y soit égal à x ! ». Autrement dit : « que ton ordonnée soit égale à ton abscisse ! ».

Le point M, agité mais obéissant, perd alors une bonne partie de sa liberté de mouvement. L'ordre qui lui est adressé limite ses déplacements, sans toutefois le paralyser totalement : il lui reste encore des tas de positions possibles. Il peut par exemple venir se placer en (1;1), en (2;2), en (3;3) ou en (0;0). Les coordonnées x et y peuvent être négatives : peut se trouver aussi en (-1;-1), en (-2;-2). N'oublions pas non plus que les coordonnées ne sont pas forcément des entiers, donc M peut  se trouver encore en (1/2 ; 1/2), ou en (1/3 ; 1/3) :

Quelques positions possibles du point M, lorsque son abscisse reste toujours égale à son ordonnée
Quelques positions possibles du point M, lorsque son abscisse reste toujours égale à son ordonnée

Fraternité

Si, à présent, on affiche en même temps toutes les positions qui sont permises au point M, voyez-vous quelle figure cela va donner ? Il s’agit de considérer ces positions, toutes ensembles. Autrement dit :

Quel est l’ensemble de tous les points du plan dont l’ordonnée est égale à l’abscisse ?

Prenez le temps de réfléchir à la question posée avant de lire la suite. 

Ce
Ce penseur de Rodin un peu stylisé servira, dans ce cours, à vous suggérer de prendre le temps de réfléchir avant de poursuivre votre lecture. Je remercie Philippe Fauvel d'avoir eu la gentillesse de réaliser ce dessin.
Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite