• 4 heures
  • Moyenne

Mis à jour le 10/10/2016

Coefficient directeur

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Réponse

On obtient une droite, dont la pente est plus accentuée que celle de la droite précédente :

Ensemble
Ensemble de tous les points du plan dont l'ordonnée est le double de l'abscisse.

Inclinaisons

Le coefficient de la première équation n'était pas visible, mais on peut considérer que c'était le nombre 1. En effet, écrire y = x revient à écrire y = 1x. Si l'on prend un coefficient inférieur à 1, on obtiendra une droite moins inclinée que la première :

Ensemble
Ensemble de tous les points du plan dont l'ordonnée est égale au tiers de l'abscisse.

Si l'on se promène sur la droite dans le sens de la lecture, ça monte. Si l'on veut que ça descende, il faut choisir un coefficient négatif. Par exemple, -1 :

Ensemble des points dont l'ordonnée est l'opposé de l'abscisse.
Ensemble des points dont l'ordonnée est l'opposé de l'abscisse.

Ce qu'on a mis en évidence, c'est qu'en modifiant le coefficient, on modifie la direction de la droite. C'est pourquoi on parle de coefficient directeur.

Pente

Le coefficient directeur est aussi ce que l'on appelle la pente de la droite. Lorsqu'on dit qu'une route a une pente de 15%, cela signifie qu'on monte de 15m lorsqu'on avance horizontalement de 100m :

Pente
Pente

Pour obtenir la pente, on divise la distance parcourue verticalement (15m) par la distance parcourue horizontalement (100m) :

$\[\frac{{{\text{ }}15{\text{ m }}}}{{{\text{ }}100{\text{ m }}}} = \frac{{{\text{ }}15{\text{ }}}}{{{\text{ }}100{\text{ }}}}{\text{ }} = {\text{ }}15{\text{ }}\% {\text{ }} = {\text{ }}0,15\]$

Mais comme, sur le panneau, la voiture descend, on devrait dire que la pente est de $\(\textbf{-15%}\)$.

Je ne suis pas sûr d'avoir tout suivi...

D'accord. Reprenons l'exemple de la droite d'équation $\(y=2x\)$  :

On monte de 6 unités lorsqu'on avance de 3.
On monte de 6 unités lorsqu'on avance de 3.

J'ai placé deux points A et B sur cette droite. Lorsqu'on va de A à B, on monte de 6 unités, pour une avancée horizontale de 3 unités. La pente est donc de "6 pour 3", ou encore $\(\frac{{{\text{ }}6{\text{ }}}}{3}\)$, c'est-à-dire 2. On retrouve ainsi le coefficient directeur : le 2 dans l'équation y = 2x. La pente est égale au coefficient directeur.

Mais comment avez-vous choisi les positions des points A et B ?

Peu importe où sont les points entre lesquels on mesure la pente. On aurait tout aussi bien pu calculer la pente de O à : on monte de 4 unités lorsqu'on avance de 2 ; on a donc une pente de "4 pour 2", c'est-à-dire $\(\frac{{{\text{ 4 }}}}{2}\)$, ce qui donne encore 2. La pente, heureusement, ne dépend pas de l'endroit où vous la mesurez. Si vous parcourez un chemin deux fois plus long, vous montez deux fois plus, mais vous avancez aussi deux fois plus horizontalement. Or la pente est un quotient. Si vous doublez à la fois son numérateur et son dénominateur (ou si vous préférez son dividende et son diviseur), vous ne changez rien au résultat.

D'accord, mais alors pourquoi employer deux mots différents, si c'est la même chose ?

En réalité, le coefficient directeur n'est égal à la pente que si le repère est orthonormé. Pour le dire vite, un repère est orthonormé lorsque ses axes sont perpendiculaires et gradués avec la même unité. Si ce n'est pas le cas, si vous penchez l'axe des ordonnées ou si vous dilatez l'unité d'un des axes, vous déformez la figure. Les angles et donc les pentes en sont affectées. Et alors la pente ne coïncide plus avec le coefficient directeur. 

Puisque vous n'étiez pas sûr d'avoir compris, un petit exercice sera sans doute le bienvenu :

Exercice

Quelle est la pente de cette droite ?

Répondez avant de passer à la suite.
Répondez avant de passer à la suite.

   

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite