• 4 heures
  • Moyenne

Mis à jour le 10/10/2016

Ordonnée à l'origine

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Réponse

La pente est de $\(\frac{{{\text{ }}1{\text{ }}}}{2}\)$ , ou si vous préférez, 0,5. (Ou encore 50%.)

Il est possible aussi que vous vous soyez demandé quelle était la taille des carreaux.
En réalité, peu importe que les côtés des carreaux soient d'un centimètre ou d'un kilomètre ; cela ne change rien à la pente. Je vais expliquer cela dans le paragraphe suivant, que vous pouvez sauter allègrement si la notion de pente vous est limpide.

Notion de rapport

Si l'on divise 15 éléphants par 5 éléphants, ça ne fait pas 3 éléphants, ça fait 3 tout court. Parce que le quotient, c'est ce par quoi il faut multiplier le diviseur pour retrouver le dividende :

Notion de rapport
La division est l'opération inverse de la multiplication. Lorsqu'on multiplie le dividende par le quotient, on doit retrouver le diviseur.

En effet, pour trouver le quotient (ce mot signifie "combien de fois" en latin), on cherche combien de fois il y a 5 éléphants dans 15 éléphants. La réponse est 3. Si l'on écrit cela en écriture fractionnaire, on peut voir les unités s'éliminer, comme s'élimineraient des variables :

$\[\frac{{{\text{ }}15{\text{ éléphants }}}}{{5{\text{ éléphants}}}} = \frac{{15}}{5} = 3\]$

De même, 3 cm divisé par 6 cm, ça fait $\(\frac{1}{2}\)$  tout court :

Notion de rapport
Notion de rapport

$\[\frac{{{\text{ }}3{\text{ cm }}}}{{6{\text{ cm}}}} = \frac{{3}}{6} = \frac{{1}}{2} \]$

Lorsqu'on divise deux grandeurs de même nature, on obtient un nombre pur, sans unité. C'est ce qu'en mathématiques on appelle un rapport.

J'ai pris le temps de faire ce détour, car la notion de rapport aide à comprendre bien des choses, en mathématiques. Elle n'est plus tellement enseignée à l'école. Je l'ai comprise en lisant l'article rapport dans le Dictionnaire des Mathématiques Élémentaires de Stella Baruk. Elle est aussi expliquée dans le Dico des Mathématiques, du même auteur.

Faire monter et descendre la droite

C'est un hasard, si toutes les droites, pour l'instant, passent par l'origine ?

Bonne question.:)

Si l'on veut que la droite puisse passer au dessus ou en dessous de l'origine du repère – l'origine est le point de coordonnées (0;0) – il faut encore compliquer un peu l'équation en ajoutant une constante. Par exemple :

$\[y=2x\textbf{ +1}\]$

Droite d'équation y=2x+1
Droite d'équation y = 2x+1

Et on a le droit, de mettre comme ça un "+1" dans l'équation ?

Oui. On fabrique ainsi une nouvelle équation. La question n'est d'ailleurs pas de savoir si on a le droit ou non, mais si cela a du sens ou pas. Du moment que vous écrivez une égalité contenant deux variables x et y, vous pouvez considérer qu'elle donne un ordre au point dont nous parlions au début, donc que cela a bien un sens. 

Mais si on complique l'équation et que ça ne donne pas une droite, ce ne sera plus une équation de droite ?

Exactement ! Si ça ne produisait pas une droite (et rien ne nous garantit que ça en produira toujours une), ce serait une équation... d'autre chose. Si ça produit un hippopotame, c'est une équation d'hippopotame. En règle générale, les équations fabriquées à partir des opérations élémentaires de l'algèbre, lorsqu'elles ne produisent pas des droites, produisent des courbes. Nous en parlerons un peu plus loin, si vous le souhaitez. Mais revenons à notre équation y = 2x +1. Cette équation est encore suffisamment simple pour que la relation imposée entre l'abscisse et l'ordonnée soit bien régulière et produise une droite. 

Cette droite passe au-dessus de l'origine. Pour qu'elle passe en dessous, il aurait suffi d'ajouter une constante négative (ou si vous préférez de soustraire une constante positive). Par exemple :

Droite d'équation y=2x-2
Droite d'équation y=2x-2

Lecture graphique

Graphiquement, cette constante que l'on ajoute est directement observable : c'est la hauteur à laquelle la droite vient couper l'axe des ordonnées :

Lecture graphique de l'ordonnée à l'origine
Lecture graphique de l'ordonnée à l'origine

Cela s'explique très bien : si le point $\(M\left( {x;y} \right)\)$  se promenant sur la droite, arrive exactement sur l'axe des ordonnées, alors son abscisse s'annule ; autrement dit, x vaut 0. Or, si l'on remplace x par 0 dans l'équation, l'ordonnée y devient égale à cette "constante que l'on ajoute".

Dans « y = 2x + 1 », lorsque x s’annule, y vaut +1.
Dans « y = x – 2 », lorsque x s’annule, y vaut –2.

La "constante que l'on ajoute" est l'ordonnée du point d'intersection entre la droite et l'axe des ordonnées. Comme c'est un peu long à dire, on l'appelle plus simplement et de façon un peu abusive, l'ordonnée à l'origine.

En modifiant le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine, on peut mettre en équation presque toutes les droites du plan. Seules les droites "verticales" (parallèles à l'axe des ordonnées, plus précisément), se mettent en équation d'une façon un peu différente.

Pourriez-vous proposer une équation pour la droite suivante ?

Droite parallèle à l'axe des ordonnées

Droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite