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J'ai tout compris !

Mis à jour le 04/02/2020

Quantifier un signal

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Dans ce chapitre, vous allez voir qu'un signal est un vecteur. Je vous montrerai comment le décomposer sur des vecteurs de base. Enfin, vous verrez comment obtenir des valeurs comme la puissance, l'énergie, ou la valeur efficace du signal grâce au produit scalaire.

Un signal est un vecteur

Dans le cadre de cours, un signal 1D sera considéré comme un tableau de valeurs ordonnées :

signal:[58891184]

Cette façon de représenter un signal devrait vous rappeler quelque chose, non ? Elle est très proche de la façon que l'on a de représenter un vecteur.

C'est la raison pour laquelle vous allez représenter les signaux en utilisant un formalisme très proche de celui des vecteurs. Les composantes de ce vecteur sont donc les valeurs successives du signal.

Voici comment vous pouvez créer ce signal en syntaxe Matlab :

%Les points-virgules servent à créer un vecteur colonne
u = [5 ; 8 ; 8 ; 9 ; 11 ; 8 ; 4]

Décomposer un signal en composantes

Mettez de côté la représentation d'un signal sous la forme de tableau dont je viens de vous parler. Considérez-le maintenant uniquement comme un vecteur. Vous pouvez donc le décomposer sur des vecteurs de base.

u=u1[1000]+u2[0100]++uN[0001]

Vérifiez que vous avez bien saisi ! Quelles sont les valeurs de u1, u2, etc. Dans le cas de l'exemple ci-dessus, que vaut N dans notre exemple ?

Ici, les vecteurs de base sont :

δ1=[1000], δ2=[0100],

Cette décomposition correspond à une projection sur les vecteurs de base. Autrement dit, vous venez d'utiliser un produit scalaire (peut-être sans le savoir) car la notion de projection est éminemment reliée à la notion de produit scalaire !

Le produit scalaire permet d'obtenir des grandeurs simples

Dans l'exemple précédent, u1 est obtenu via le produit scalaire de u avec le vecteur de base δ1 :
u1=u,δ1

En Octave/Matlab, vous pouvez obtenir le produit scalaire de deux vecteurs en faisant le produit terme à terme .*  puis en sommant chacun des termes avec la fonction sum.

%On définit deux vecteurs
v1 = [1 ; 2 ; 0 ; 4]
v2 = [2 ; 0 ; 3 ; -1]
%On en calcule le produit scalaire
sum(v1 .* v2)

L'outil "produit scalaire" vous sera très utile pour accéder facilement à tout un tas de grandeurs utiles associées à un signal. Je vais vous montrer tout de suite comment obtenir sa valeur moyenne, sa valeur efficace et sa puissance grâce à un produit scalaire particulier.

Valeur moyenne

La valeur moyenne s'obtient par :

moy(u)=1NNi=1u(i)

qui en Matlab s'écrit :

% On crée un vecteur aléatoire de taille 10 pour faire des tests
u = rand(10,1);
%Moyenne: mean(u) fait ça d'un coup
moy = sum(u) / length(u)

Valeur efficace

La valeur efficace est obtenue par :

eff(u)=1Nu,u=1NNi=1(u(i))2

qui en Matlab s'écrit :

%La valeur efficace
eff = sqrt(sum(u .* u) / length(u))

Énergie

L'énergie est obtenue par :

E(u)=u,u=Ni=1(u(i))2

qui en Matlab s'écrit :

% L'énergie est le produit scalaire de u avec lui-même
Energie = sum(u .* u)

Puissance

La puissance est obtenue par :

P(u)=1Nu,u=1NNi=1(u(i))2

qui en Matlab s'écrit :

% La puissance
Puissance = sum(u .* u) / length(u)

Conclusion

Vous verrez plus loin que la décomposition fréquentielle d'un signal est aussi le résultat d'un produit scalaire.

Vous savez maintenant quantifier un signal. Dans le prochain chapitre, vous allez voir comment ces outils de base peuvent servir à évaluer la qualité d'un modèle.

Exemple de certificat de réussite
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