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  • Moyenne

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J'ai tout compris !

Mis à jour le 18/02/2020

Abordez encore plus de mesures

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Il existe beaucoup d'autres mesures couramment utilisées en statistiques. Ce chapitre vous en donne quelques unes supplémentaires.

Taux de croissance

Vous entendez souvent parler de la "croissance économique" n'est-ce pas ? La croissance d'un pays, c'est l'augmentation de son Produit Intérieur Brut (PIB) entre une année $\(N\)$ et l'année précédente $\(N-1\)$ .

Il est donné par

$\[taux\ de\ croissance = \frac{PIB^N-PIB^{N-1}}{PIB^{N-1}}\]$

 (où $\(PIB^N\)$ est le $\(PIB\)$ à l'année $\(N\)$ )

Si on veut l'exprimer en pourcentage, il suffit de le multiplier par 100.

On peut généraliser cela à n'importe quelle variable X (au lieu du PIB) et à n'importe quelle durée (au lieu de l'année). Si on note $\(x_t\)$ la valeur observée d la variable X à l'instant $\(t\)$ , alors le taux de croissance (empirique) entre l'instant 0 et l'instant $\(t\)$ vaut :

$\[\tau_{t/0} = \frac{X_t-X_0}{X_0}\]$

Ainsi, si :

  • $\(\tau_{t/0} > 0\)$ , c'est qu'il y a une hausse de la variable X entre l'instant 0 et $\(t\)$ .

  •  $\(\tau_{t/0} < 0\)$ , c'est qu'il y a une baisse de la variable X entre l'instant 0 et $\(t\)$ .

Moyennes

Il existe de nombreuses moyennes différentes. Par défaut, le terme "moyenne" désigne la moyenne arithmétique, que nous avons déjà vu dans le chapitre sur les tendances centrales.

Il existe également la moyenne géométrique, notamment utilisée dans le calcul du taux de croissance moyen. Elle permet par exemple de calculer la croissance annuelle moyenne du chiffre d'affaires d'une entreprise : si celui-ci augmente de 20 % les 2 premières années puis de 10 % les 4 années suivantes, puis reste stable la dernière année, alors le calcul à réaliser est le suivant :

$\[\left[ \left( 1.2\right) ^{2}\times\left( 1.1\right) ^{4}\times\left( 1\right) \right] ^{\frac{1}{7}}-1\simeq0.114=11.4\%\]$

J'ai aussi en stock la moyenne harmonique, notamment utilisée dans le calcul des moyennes de pourcentages et des rapports. Par exemple, si un automobiliste roule à 60 km/h à l’aller et à 30 km/h au retour, alors sa vitesse moyenne n’est pas égale à la moyenne arithmétique (45 km/h) mais à la moyenne
harmonique (40 km/h) :

$\[\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{30}}\]$

Elle est aussi utilisée quand on veut trouver un bon compromis entre deux mesures $\(a\)$ et $\(b\)$ (toutes deux positives) où $\(a\)$ grandit quand $\(b\)$ diminue. Pour rester dans les exemples d'automobilistes, disons que $\(a\)$ désigne la vitesse à laquelle on roule, et $\(b\)$ une mesure de sécurité de la conduite. A partir d'un certain point, si $\(a\)$ est trop important, alors la conduite sera très peu sûre et donc $\(b\)$ sera très bas. On veut trouver un bon compromis entre vitesse et sécurité. On peut le faire par la moyenne harmonique : $\(2\times\frac{a\times b}{a+b}\)$ 

Ainsi, si $\(a\)$ est très proche de 0 ou si $\(b\)$ est très proche de 0, alors la moyenne harmonique sera aussi proche de 0 : le compromis est mauvais. Si $\(a\)$ et $\(b\)$ sont tous les deux assez grands, alors la moyenne harmonique sera grande ; une grande vitesse qui conserve cependant une grande sécurité est un bon compromis.

Si vous faites du machine learning, vous devrez évaluer la performance de vos modèles statistiques. Vous serez confronté à la F-mesure, qui cherche à faire un compromis entre la mesure de rappel et la mesure de précision. La F-mesure utilise donc la moyenne harmonique du rappel et de la précision.

Pour finir, il y a la moyenne quadratique, qui est notamment utilisée pour évaluer la performance d'un modèle statistique. Vous pouvez la retrouver ici, sous le nom de RMSE (Root Mean Square Error).

Aller plus loin : La formule générale d'une moyenne

La formule générale d'une moyenne est donnée par :

$\[\mathcal{M}_{p}=\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}a_{i}^{p}\right) ^{\frac{1}{p}}\]$

On remarque ici que :

  •  $\(\mathcal{M}_1\)$ est la moyenne arithmétique $\(\overline{x}\)$ ;

  •  $\(\mathcal{M}_2\)$ est la moyenne quadratique ;

  •  $\(\mathcal{M}_{-1}\)$ est la moyenne harmonique $\(H\)$ .

Exemple de certificat de réussite
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