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Mis à jour le 17/12/2019

Initiez-vous au filtrage en fréquence

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Le filtrage en fréquence consiste à filtrer une image en modifiant son spectre :  on applique donc le filtrage dans le domaine fréquentiel.

Ceci permet de contrôler l’action réalisée sur chacune des fréquences de l’image. Ainsi, on peut décider d’atténuer les hautes fréquences ou au contraire de les amplifier. Nous verrons comment cela se traduit dans l’image.

Nous nous concentrerons sur le filtrage linéaire. Nous présenterons différents types de filtres : les filtres passe-bas et passe-haut, ainsi que le filtre rehausseur. L’effet de ces filtres sera illustré sur des images réelles. Nous verrons qu’on peut ainsi lisser ou flouter une image, ou encore accentuer les contours et les textures.

Principe du filtrage en fréquence

Le principe du filtrage en fréquence est le suivant (voir le schéma) :

  • Le spectre IM de l'image à filtrer im est calculé par TFD-2D ;

  • Le spectre IM obtenu est multiplié par une fonction de pondération H(u,v) , appelée fonction de transfert du filtre. On obtient ainsi le spectre filtré ~IM ;

  • Une TFD-2D inverse est appliquée sur  ~IM pour obtenir l'image filtrée ~im.

Principe du filtrage fréquentiel. La fonction de transfert du filtre H(u,v) est représentée ici avec les valeurs à 0 en noir et les valeurs à 1 en blanc
Principe du filtrage fréquentiel. La fonction de transfert du filtre H(u,v) est représentée ici avec les valeurs à 0 en noir et les valeurs à 1 en blanc.
  • Si H(u,v)>1 : la fréquence (u,v) est amplifiée ;

  • Si H(u,v)<1 : la fréquence (u,v) est atténuée ;

  • Si  H(u,v)=1 : la fréquence (u,v) est inchangée ;

  • Si H(u,v)=0 : la fréquence (u,v) est supprimée.

Filtres passe-bas, passe-haut, réhausseur

Filtrage passe-bas : filtre idéal et filtre gaussien

Le filtrage passe-bas consiste à conserver les basses fréquences et supprimer les hautes fréquences.

On aura donc H(u,v)=1 pour les basses fréquences et H(u,v)=0 pour les hautes fréquences.

On donne ci-dessous 2 exemples de filtres passe-bas : le filtre idéal et le filtre gaussien.

Le schéma du filtre 1D  H(u) ci-dessous est celui utilisé pour les signaux 1D (par exemple les signaux temporels sonores). Il donne aussi l'allure de H(u,v) le long de l'axe u ou de l'axe v.

Exemples de filtres passe-bas 1D
Exemples de filtres passe-bas 1D

La figure ci-dessous montre deux exemples de filtres passe-bas bidimensionnels, c'est-à-dire l'image correspondant à H(u,v) , où la valeur 0 est représentée en noir et la valeur 1 est représentée en blanc.

Exemples de filtres pass-bas 2D
Exemples de filtres passe-bas 2D.

La figure ci-dessous illustre l'impact du rayon du filtre sur l'image filtrée.

Impact du rayon du filtre : comparaison sur l'image Lena
Impact du rayon du filtre : comparaison sur l'image Lena.

Plus on supprime de hautes fréquences, plus l'image est floutée.

On voit également apparaître des « effets de rebond », c'est-à-dire la duplication des contours. Pour éviter cet effet, il est préférable d'utiliser des filtres passe-bas avec une transition douce entre les fréquences conservées et les fréquences coupées. Ce type de filtre  évite l'effet de rebond, comme illustré sur l'exemple ci-dessous.

Comparaison filtre idéal et filtre gaussien
Comparaison filtre idéal et filtre gaussien.

Le filtre idéal n'est donc pas l'idéal !

Toutes les notions vues en traitement du signal sur le filtrage (fréquence de coupure, gain, etc.) s'appliquent bien sûr pour le traitement d'image.

Filtrage passe-haut : filtre idéal et filtre gaussien

Inversement, le filtrage passe-haut consiste à conserver les hautes fréquences et supprimer les basses fréquences.

Les filtres passe-haut idéal et gaussien sont illustrés ci-dessous.

Exemples de filtres passe-haut 1D
Exemples de filtres passe-haut 1D.

Les filtres passe-haut 2D correspondants H(u,v) sont donnés ci-dessous. La valeur 0 est représentée en noir et la valeur 1 est représentée en blanc.

Exemples de filtres passe-haut 2D
Exemples de filtres passe-haut 2D.

La figure ci-dessous montre le résultat obtenu pour ces deux filtres sur l'image Lena.

Résultats du filtrage passe-haut
Résultats du filtrage passe-haut : comparaison entre filtre idéal et filtre gaussien. Pour une meilleure visibilité du résultat, la valeur 127 a été rajoutée pour l'affichage : le gris correspond donc à une valeur nulle en sortie du filtrage.

On voit que dans les zones unies ou dégradées, le filtre passe-haut renvoie une valeur proche de zéro. Seules restent les informations représentées par les hautes fréquences.

On voit donc que le filtrage passe-haut produit des valeurs proches de 0 dans les zones unies ou dégradées, qui correspondent aux basses fréquences supprimées par le filtrage. Le filtrage passe-haut conserve uniquement les éléments correspondant aux hautes fréquences dans l'image : les détails, textures et contours de l'image.

Le filtrage passe-haut est couramment utilisé pour l'extraction de contours.

Filtrage réhausseur

Le principe du filtre réhausseur est d'amplifier les hautes fréquences, tout en conservant les basses fréquences. Il permet donc de rehausser les contours et les détails dans une image.

La réalisation d'un filtre réhausseur consiste simplement à ajouter la valeur 1 à un filtre passe-haut. Ainsi les basses fréquences sont inchangées et les hautes fréquences sont amplifiées.

Un facteur de pondération α peut être appliqué sur la partie passe-haut pour régler l'amplitude du rehaussement.

Hrehaussement(u,v)=1+α Hpassehaut(u,v)
Filtres réhausseurs 1D
Filtres réhausseurs 1D.

La figure ci-dessous montre l'effet du rehaussement sur une image naturelle. Le contraste au niveau des contours est accentué. L'image paraît plus contrastée et plus nette.

Résultat du filtre réhausseur sur une image. Le filtre est représenté avec une échelle allant de 0 (noir) à 2 (blanc). Le gris au centre correspond à la valeur 1.
Résultat du filtre rehausseur sur une image. Le filtre est représenté avec une échelle allant de 0 (noir) à 2 (blanc). Le gris au centre correspond à la valeur 1.

En conclusion, le filtrage en fréquence permet différents traitements globaux sur une image, en contrôlant l'impact du traitement sur chacune des fréquences contenues dans l'image.

Ceci permet en particulier de supprimer un bruit s'il est bien localisé en fréquence : par exemple, des stries régulières dans une même direction peuvent être supprimées en annulant les fréquences correspondantes par filtrage en fréquence.

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite