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Mis à jour le 06/01/2020

Abordez les aspects probabilistes de la fiabilité

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Définition probabiliste

Selon la définition de la commission électrotechnique internationale (CEI 50191), la fiabilité est la « caractéristique d'un dispositif exprimée par la probabilité qu'il accomplisse une fonction requise, dans des conditions données, pendant une durée donnée. » D’un point de vue probabiliste, la fiabilité est la probabilité qu’un système  S soit non défaillant de manière continue pendant l’intervalle de temps [0,t] , i.e.

R(t)=P(S soit non défaillant sur [0,t])

Soit X(t) une variable booléenne aléatoire signifiant l’état du système S, i.e.

X(t)={1S est non défaillant à l'instant t0S est défaillant à l'instant t

Donc la fiabilité s’écrit comme la probabilité que l'état du système X à un instant u soit égal à 1 (c'est-à-dire non défaillant) pour tout instant u dans l’intervalle [0,t], i.e.  R(t)=P(X(u)=1,u[0,t])

Soit T la variable aléatoire mesurant la durée de fonctionnement de l’entité/système avant la première défaillance.

D’après la définition, on obtient l’autre interprétation de la fonction de fiabilité,

R(t)=P(T>t)

La fonction de répartition de T s'écrit :

F(t)=P(Tt)

C’est la raison pour laquelle  F(t) est appelé défiabilité.
Donc elle est le complément de la fiabilité, i.e.

F(t)=1R(t)=R(t)

Propriétés de la fonction de fiabilité

Comme  F(t) est une fonction croissante 

dFdt0

 et varie entre 0 et 1  0F(t)1 

la fonction de fiabilité R(t) est alors une fonction décroissante de t

dRdt0

et qui varie entre 1 et 0  0R(t)1 

Dans la majorité des cas, on a l’hypothèse : à l’état initial t = 0, le système est sûrement non défaillant :

P(X(0)=1)=1

C'est-à-dire, la  fonction de fiabilité est égale à 1 en t=0, i.e.   R(0)=1 et alors  F(0)=0 

Calculez le MTTF

La densité de probabilité de la variable aléatoire T est la dérivée de la fonction de répartition F(t) dans les domaines où elle est continue :

f(t)=dF(t)dt=dR(t)dt

D’après sa définition, F(t) est l’intégrale de la densité f(u) de moins l’infinie et l’instant t. f(t) représente la densité de la variable T.

F(t)=tf(u)du

Ici f(t)dt est la probabilité que la défaillance du système arrive entre l’instant t et t+dt  f(t)dt=P(t<Tt+dt) 

 f(t) a physiquement la dimension de l’inverse d’un temps (i.e. une fréquence) et est non négative. Nous savons que le MTTF du système est l’espérance mathématique de la variable aléatoire T.

MTTF=E(T)

donc par la définition de l'espérance nous savons

MTTF=+tf(t)dt

Comme la durée de bon fonctionnement avant la première défaillance est toujours une valeur positive, MTTF peut s’écrire

MTTF=+0tf(t)dt

 en remplaçant la densité  f(t) par  dR(t)dt nous avons 

MTTF=+0tdR(t)

et par l'intégration par partie

MTTF=[tR(t)]+0++0R(t)dt

Sachant que  [tR(t)]+0=0 (la limite de R(t) tend vers 0 très rapidement quand  t+ ),

 MTTF=+0R(t)dt

Calcul empirique de la fiabilité

Considérons maintenant une population de N0 entités/systèmes ayant la même fonction de distribution de durée de vie avant (la première) défaillance  T1,T2,T3,...,TN0 . Soit N(t) la variable aléatoire discrète représentant le nombre d’entités non défaillantes à l’instant t  N(t)=I(t,+)(T1)+I(t,+)(T2)+I(t,+)(T3)+...+I(t,+)(TN0) où

  I(t,+)(U)={1 si u>t0 sinon   

Alors la fiabilité empirique de la fonction de fiabilité  R(t)  est donnée par la proportion de survivants à l’instant t et le nombre des systèmes identiques observés (à l’instant t=0)  R(t)=N(t)N0  

Dans le chapitre suivant, nous allons nous intéresser plus particulièrement au taux de défaillance.           

Exemple de certificat de réussite
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