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Mis à jour le 06/01/2020

Distinguez les différents types de systèmes

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L'évaluation de la fiabilité (= disponibilité) des systèmes non réparables repose sur la représentation graphique en diagrammes de fiabilité (BDF) et des axiomes et des théorèmes classiques en probabilités (probabilités totales, probabilités composées, théorème de Bayes….).

Dans un système réparable, il est possible d’utiliser de façon aisée les BDF dans le cas de systèmes réparables simples. Ce sont des modèles séries, des modèles parallèles simples et des systèmes se ramenant à une combinaison de modèles série et parallèle.

Deux hypothèses sont exigées :

  • utilisation d’un bloc une seule fois dans le BDF ;

  • existence d’autant de réparateurs que de blocs (indépendance des  stratégies de maintenance).

Dans ce cas, la disponibilité du modèle série du système est égale au produit des disponibilités de tous les composants ou sous-systèmes. La disponibilité du modèle parallèle simple peut également être exprimée en remplissant les fiabilités par les disponibilités dans l’équation de fiabilité du système.

Système série

On dit qu'un système est un système série si le bon fonctionnement du système nécessite le bon fonctionnement des tous ses composants simultanément. C’est-à-dire : un seul des composants est en panne, le système est en panne. La représentation d’un système série en BDC est alors comme son nom : tous les composants sont liés successivement de l’entrée vers la sortie:

Exemple s'un système série
Exemple d'un système série

Le temps de vie (de bon fonctionnement) du système est égal au temps de vie minimal des composants :

Ysys=min(T1,...,Yn)

La fonction de structure d’un système série est donnée par le minimum ou le produit des états des composants du système :

φ(x)=min(x1,x2,...,xn)=dixi

La fiabilité du système est la probabilité de φ(x)=1 ,

P(φ(x)=1=P(x=1,x2=1,...,xn=1)

En supposant que les composants soient indépendants, cette probabilité est transférée au produit de fiabilité de tous les composants :

P(φ(x)=1)=P(x1=1)P(x2=1)...P(xn=1)

En temps réel, nous obtenons :

R(t)=R1(t)R2(t)...Rn(t)

avec R(t)  la fiabilité du système et  Ri(t)   la fiabilité du composant i .

Avec les hypothèses :

  1. Utilisation d’un bloc une seule fois dans le BDF.

  2. Existence d’autant de réparateurs que de blocs (indépendance des stratégies de maintenance), nous avons :

A(t)=A1(t)A2(t)...An(t)

où   A(t)  désigne la disponibilité du système et   Ai(t)  la disponibilité du composant i .

Si tous les composants ont respectivement un taux de défaillance constantλ1,λ2,...λn , la fiabilité du système R(t)  est donnée par :

R(t)=R(0)etni=1λi

Nous pouvons conclure que le taux de défaillance du système est égal à la somme des taux défaillance des tous les composants du système :

λ=ni=1λi

C’est aussi un taux de défaillance constant, donc on pourra également de calculer le MTTF du système.

En ajoutant l’hypothèse de R(0)=1 , la fiabilité du système devient :

R(t)=etni=1λi

Nous voyons bien que la durée de vie suit une loi exponentielle.

Le temps moyen avant la première défaillance est alors égal à 1 sur le taux de défaillance du système. Il est donné par :

MTTF=1ni=1λi

Système parallèle

Le dual d’un système série est un système parallèle. Le système garde sa bonne fonctionnalité si au moins un de ses composants est non défaillant. Dans un système parallèle, tous les éléments fonctionnent en permanence (redondance active).

Exemple d'un système parallèle
Exemple d'un système parallèle

La défaillance du système tombe si et seulement si tous les composants sont en panne simultanément. Dans ce cas-là, la fonction de structure est donnée par :

φ(x)=max(x1,x2,...,xn)=1ni=1(1xi)

Comme les composants ne sont pas réparés durant la mission, le temps de vie du système est égal au maximum des temps de vie parmi ses composants :

Ts=max(T1,T2,...,Tn)

Comme le système série, ensuite, on pourra également trouver des expressions de la fiabilité,  du taux de défaillance et du temps moyen avant la première défaillance.

Pour la fiabilité, comme les cas possibles sont nombreux, on regarde d’abord le cas contraire : la probabilité de défaillance du système. Comme la défaillance du système ne peut arriver que sur défaillance de tous les éléments, nous avons :

P(φ(x)=0)=P(x1=0,x2=0,,xn=0)

Encore nous supposons que les composants soient indépendants, donc cette probabilité est transférée au produit de la probabilité de défaillance de tous les composants :

P(φ(x)=0)=P(x1=0)P(x2=0),,P(xn=0)=ni=1P(xi=0)

Sachant que la fiabilité est le complémentaire de la probabilité de défaillance, nous avons l’expression de la fiabilité du système : 1 moins le produit des compléments des fiabilités de tous ses composants :

P(φ(x)=1)=1ni=1(1P(xi=1))

En temps réel, la fiabilité et la disponibilité deviennent :

R(t)=1ni=1(1Ri(t))

avec  R(t)   désignant la fiabilité du système et Ri(t)   la fiabilité du composant i .

Avec les hypothèses :

  1. Utilisation d’un bloc une seule fois dans le BDF.

  2. Existence d’autant de réparateurs que de blocs (indépendance des stratégies de maintenance), nous avons :

A(t)=1ni=1(1Ai(t))

où  A(t)   désigne la disponibilité du système et  Ai(t)   la disponibilité du composant  i .

Supposons que les éléments ne soient pas réparés durant la mission. Les expressions de taux de défaillance et le MTTF pour un système parallèle, sachant R(t)=1, ne sont pas autant simples que celles de système série :

λ(t)=RR=1Rni=1λieλitnj=1,ji(1eλit)

MTTF=ni=11λini=1ji1λi+λj+ni=1jikji1λi+λj+λk+...+(1)n+11ni=1λi

Système k-sur-n

Les systèmes série et parallèle peut être généralisés par un système appelé système k-sur-n.

Un système k-sur-n est composé de  composants. Le système est en bon état si au moins k  ( 1kn ) composants parmi n sont en bon état. La défaillance du système tombe quand n-k+1 composants ou plus sont en panne simultanément.

La fonction de structure d’un système k-sur-n est donnée par :

φ(x)={1si ni=1xik0sinon

Dans le système k-sur-n, un système série est un système n-sur-n, et un système parallèle 1-sur-n.

R(t)=Ni=kCinri(t)(1r(t))ni

A(t)=Ni=kCinai(t)(1r(t))ni

Exemple d'un système k-sur-n
Exemple d'un système k-sur-n

Supposons que les n composants aient la même fonction de fiabilité r(t) et disponibilité a(t). D’après les équations que nous avons étudiées précédemment, nous pouvons facilement obtenir l’expression de la fiabilité et de la disponibilité.

Ici, nous allons voir deux exemples de système à structure élémentaire : système parallèle-série et système série-parallèle.

Systèmes parallèle-série et série-parallèle

Un système parallèle-série est formé de r blocs montés en série, et chaque bloc i constitue un système parallèle de ij   composants j=1,...,r .

Exemple d'un système parallèle-série
Exemple d'un système parallèle-série

Système série-parallèle

Un système série-parallèle est formé de  blocs montés en parallèle, et chaque bloc  constitue un système série de ij   composants j=1,...,r .

Exemple d'un système série-parallèle
Exemple d'un système série-parallèle

Un contre-exemple est le système du pont.

Système pont

Exemple d'un système pont
Exemple d'un système pont

Un système pont n’est pas un système à redondance k sur n car il n’est pas possible de réduire ce système à une combinaison série-parallèle ou k sur n. Les équations des structures élémentaires ne sont pas compatibles directement dans notre cas. Pour calculer la fiabilité et la disponibilité du système pont, on utilise le théorème des probabilités conditionnelles.

Le système peut être transféré à deux systèmes à structure élémentaire en précisant l’état du composant numéro 3 (noté C3).

Si C3 est en panne, on pourra le remplacer par une coupure. Alors le système pont devient un système parallèle-série où le sous-système série des composants numéros 1 et 4 est en parallèle avec le sous-système des composants numéros 2 et 5. La fiabilité et la disponibilité s’écrivent respectivement comme ceci :

RX3=0(t)=1(1R1(t)R4(t))(1R2(t)R5(t))

AX3=0(t)=1(1A1(t)A4(t))(1A2(t)A5(t))
Exemple d'un système pont
Exemple d'un système pont

Si C3 est en bon état, on pourra le remplacer par une ligne. Le système pont devient un système série-parallèle où le sous-système parallèle des composants numéros 1 et 2 est en série avec le sous-système parallèle des composants numéros 4 et 5. La fiabilité et la disponibilité s’écrivent respectivement :

RX3=1(t)=(1(1R1(t))(1R2(t)))(1(1R1(t))(1R2(t)))
AX3=1(t)=(1(1A1(t))(1A2(t)))(1(1A1(t))(1A2(t)))

Exemple de système série-parallèle
Exemple de système pont en série-parallèle

La fiabilité/disponibilité du système pont est égale à la somme de la fiabilité/disponibilité du système pont sachant que C3 est en panne et de celle du système pont sachant que C3 est en bon état. Les fiabilités/disponibilités conditionnelles sont obtenues par le théorème de probabilité conditionnelle.

  R(t)=(1-R_3 (t))R_{X_3=0} (t)+R_3 (t) R_{(}X_3=1} (t)    =(1R3(t))(1(1R1(t)R4(t))(1R2(t)R5(t)))+R3(t)(1(1R1(t))(1R2(t)))(1(1R1(t))(1R2(t)))=P(X3=0)(1(1A1(t)A4(t))(1A2(t)A5(t)))+P(X3=1)(1(1A1(t))(1A2(t)))(1(1A1(t))(1A2(t)))=(1A3(t))(1(1A1(t)A4(t))(1A2(t)A5(t)))+A3(t)(1(1A1(t))(1A2(t)))(1(1A1(t))(1A2(t)))  

Passons à la construction des arbres de défaillance !

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite